研究生单独考试题(4)

2xa, x04. 已知5.

d1[f(x3)]，则f(x) . dxx  xecosxx2sin3x1dx .

1x x6. 曲线y 2cost2dt在点(2,0)处的法线方程为 .

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）

1xsin, x01. 设函数f(x)，则f(x)在x0处( ). xx, x0（A）连续且可导 （B）连续但不可导 （C）不连续但可导 （D）既不连续又不可导 2. 设limh0f(x0h)f(x0)存在, 则此极限为( ).

h（A）f(x0) （B）[f(x0)] （C）f(x0) （D）[f(x0)]

3. 设f(x)为奇函数，且x0时f(x)0，则f(x)在[10,1]上的 最大值为( ).

（Ａ）f(10) （Ｂ）f(1) （Ｃ）f(10) （Ｄ）f(1) 4. 设f(x)为连续的偶函数，则( ). （A）f(x)的每一个原函数是奇函数 （B）f(x)的每一个原函数是偶函数 （C）f(x)只有一个原函数是奇函数

（D）f(x)的任一个原函数既不是偶函数又不是奇函数 5. 设f(x)是以T为周期的连续函数，则I aT af(x)dx的值( ).

（A）依赖于a,T （B）依赖于a,T和x （C）依赖于T,x，不依赖于a （D）依赖于T，不依赖于a 6.曲线ysinx(0x)与x轴围成的图形绕x轴旋转一周所成 的旋转体的体积为( ).

4422（Ａ） （B） （C）2 （D）

3333三、解答下列各题（本题共3小题，每小题8分，满分24分）

11.计算极限limxx2ln(1).

xxx2t12.已知函数yf(x)由方程组y所确定，

tey132求f(x),f(x),f(1). 3.计算定积分 2 01cos2xdx.

四、（10分）某铁路的隧道的截面拟建成矩形加半圆，截面的面积

为10平方米，问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从 而使建造时所用的材料最省?

arctanx五、（10分）当x0时，证明ln(1x).

1x六、（8分）设f(x)在[a,b]上连续(0ab)，在(a,b)内可导，证明

在(a,b)内存在,使得f()2abf().

七、（10分）设zf[x(y),xy]，其中f具有二阶连续偏导，具

2z有一阶导数，求.

xy八、（10分）计算二重积分Isiny2dxdy，其中D由x1，yx1，

Dy2围成.

九、（10分）设是由z4x2y2和zx2y2围成的闭区域，

将三重积分zdv分别化为直角坐标下，柱面坐标下和球面坐标

下的三次积分，并计算其值. 十、（10分）求幂级数2n12nx的收敛域（要求讨论端点情况）及 n12n12n1的和. n2n1和函数，并求数项级数十一、（10分）设f(x)具有二阶连续导数，f(0)0，f(0)1，且

[xy(xy)f(x)y]dx[f(x)x2y]dy0为全微分方程，求f(x)

及此全微分方程的通解.