上海市杨浦区学年第二学期高三年级教学质量检测数学(理科)试卷.04.16

数学理科试卷

2008.4．16

一 题 号 1---12 得 分 复核人 二 13---16 17 18 19 三 20 21 22 ★考生注意：1、试卷中使用向量的符号 ax,y 与 ax,y 表示意义相同．

2、本试卷共有22道题，满分150分，考试时间120分钟．可使用符合规定的计算器答题． 得 分 １. 不等式

评 卷 人 一．填空题（本大题满分48分）

本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.

x0的解为 ． 1x2. 若z１1i,z1z22，则z2＝ ．

3. 若集合A＝{xx2x30}，B＝{xxa}，且AB，则实数a的取值范围是 ． 4. 方程42xx123＝0的解是 ．

x11的反函数是yf1(x)，则f ． x225. 若函数f(x)6. 若直线axby1与圆x2y21相切，则实数ab的取值范围是 ． 7. 在ABC中，若B60,AC3,AB8. 过抛物线y6，则A ．

12x焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程41的分数，m为m为 ．

9. 无穷等比数列{an}的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：

正整数），若该数列的各项和为3，则a1a2 ．

10. 某校一学习小组有6名同学，现从中选2名同学去参加一项活动，至少有1名女生参加

的概率为

4，则该学习小组中的女生有 名． 5x|cossin|22(为参数，0），则该曲线的普通方11．若曲线的参数方程为1y(1sin)2程为 ．

12. 若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则AP(PBPD)的取值范围

是 ． 得 分 评 卷 人 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.

13. 设函数f(x)的定义域为R，且f(x)是以3为周期的奇函数，f(1)1,f(2)loga2

（a0，且a1），则实数a的取值范围是 （ ） (A)

a1 (B)

11a1或a1 (C) a1 (D) 0a1 2214. 以Sn , Tn分别表示等差数列an , bn的前n项和，若

Sna7n，则5的值为Tnn3b5（ ）

(A) 7 (B)

21372 (C) (D)

83415. 在极坐标系中，曲线＝4sin((A)直线3)关于 （ ）

335(C)直线轴对称 （D）极点中心对称

616. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC＝（2，）轴对称 (B)点中心对称

2；AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为

A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若

GDEF，则线段DF的长度的取值范围为 （ ）

(A)[11512，1） （B）[，) （C）(1 （D）(，） ，2）52525

三、解答题 （本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

得 分 评 卷 人 17．（本题满分12分）

在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心．

（1） 求三棱锥A1D1EF的体积；

（2） 求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）

得 分 评 卷 人 18. （本题满分12分）

已知复数z12cosisin，z21i(3cos)，其中i是虚数单位，R．

（1）当cos

D1 A1 F D A E B1

C1

C B

3时，求z1z2； (2) 当为何值时，z1z2． 3 得 分 评 卷 人 19. （本题满分14分）

f(x)，f(x)g(x)设函数F(x)＝ ，

g(x)，f(x)g(x)其中f(x)log2(x21)，g(x)log2(x7)．

（1）在实数集R上用分段函数形式写出函数F(x)的解析式； （2）求函数F(x)的最小值．

得 分 评 卷 人 20. （本题满分14分）

建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为63平

方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段．．．．．．．BC与．

两腰长的和）要最小． ．．．．．

（１）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？

（２）如防洪堤的高限制在[3,23]的范围内，外周长最小为多少米？

B 60 A C h D 得 分 评 卷 人

21. （本题满分16分）

2已知向量ax1 , -x，b1 , 2 n21 （n为正整数），

函数f(x)ab，设f(x)在(０，)上取最小值时的自变量x取值为an． （１）求数列{an}的通项公式；

（２）已知数列{bn}，对任意正整数n，都有bn(4an－5)1成立，设Sn为数列{bn}的

前n项和，求limSn；

n2、An(n,an)、中是否存在两点Ai , Aj （３）在点列A1(1,a1)、A2(2,a2)、A3(3,a3)、(i , j为正整数)使直线AiAj的斜率为１？若存在，则求出所有的数对(i,j)；若不存在，请你写出理由．

22. （本题满分18分）

得 分 评 卷 人 在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F(x,y)0中，以

(x,y)(为非零的正实数）代替(x,y)得到曲线C2的方程

F(x,y)0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换(x,y)(x,y)称为“伸缩

变换”，称为伸缩比．

x2y2（1）已知曲线C1的方程为1，伸缩比2，求C1关于原点“伸缩变换”后

94所得曲线C2的方程；

x2y22（2）射线l的方程y1经“伸缩变换”后得到椭x(x0)，如果椭圆C1：1642圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且AB2，求椭圆C2的方程； （3）对抛物线C1：y22p1x，作变换(x,y)(1x,1y)，得抛物线C2：y22p2x；

对C2作变换(x,y)(2x,2y)得抛物线C3：y22p3x，如此进行下去，对抛物线

．若Cn：y22pnx作变换(x,y)(nx,ny),得抛物线Cn1：y22pn1x，1p11,n()n，求数列 pn的通项公式pn．

2

上海市杨浦区2007学年第二学期高三年级教学质量检测

数学试卷参考答案及评分标准 2008.4.16

一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

1．0x1； 2. 1＋i； 3. ｛aa3}； 4. xlog23；

121x1；rcos文a（等） ； 248129.； 10.文理3； 11.理x2y(1x2，y1), 文 -2.； 32112.[-2，]．

45. 2； 6. [，]； 7.75； 8. 理y1122

二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

题 号 理 科 文 科

三．（第17至22题）

13 C C 14 B D 15 C C 16 A B

17.解：

（1）VA1D1EFVEA1D1F1111． （体积公式正确3分）------------（6分） 33（2）取A1D1的中点G，所求的角的大小等于GEF的大小，-------------------（8分） 在RtGEF中tanGEF2，所以EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小是2arctan2． -------------------------------------------------------（12分） 2（建坐标系解答参照本标准给分）．

18.解： （1）cos12322, 则cos,sin，------------------------------------(2分)

333z1z2z1z22cosisin1i3cos4cos2sin213cos22．

-----------------------------------（6分）

(2) z1＝z2，由两复数相等的充要条件可得2cos1sin－3cos，----------------------- （8分）

2k,kz3∴得2k－，kz．-----------------------------------------（12分）

3＝k－,kz32cos13（另解： 得sin 2k－，kz）

32sin－3cos19.解：

22log2(x1)，log2(x1)log2(x7)解：（1）F(x)＝ ，---------------（12log2(x7)，log2(x1)log2(x7)分）

令log2(x1)log2(x7)，得xx60，--------------------------（3分）

2log2(x1),x3或x3解得：x3或x3，（5分）F(x)．-------（8分）

log(x7),3x3222log2(x1),x1x7(写出：F(x)-------------------------------- （4分)） 2log2(x7),x1x722

（2）当x3或x3时，F(x)log2(x21)，设ux2110，ylog2u在[10,)上

递增，所以F(x)minlog210-----------------------------------------------------------------（10分） （说明：换元及单调性省略不扣分）

同理，当3x3，F(x)minlog27；----------------------------------（12分） 又log27log210xR时，F(x)minlog27．---------------------------（14分） 另解：因为F(x)是偶函数，所以只需要考虑x0的情形，-------------------------------（9分） 当0x3，F(x)log2(x27),当x0时，F(x)minlog27；---------------（11分） 当x3时，F(x)log2(x21)，当x3时，F(x)minlog210；-------------（12分）

xR时，F(x)minlog27．------------------------------------------（14分）

20.解

理科评分标准： 解（1）

1 63(ADBC)h， ----------------------------------------------------------（1分）

2AD＝BC+2×hcot60=BC+

23 h，-------------------------------------------------------------（2分）

3

63633123(2BCh)h，BC h．-------------------------------------------（3分）23h32h633 h，------------------------------（4分）h3sin60设外周长为l，则l2ABBC3h63 62；------------------------------------------------------------------------------（6分）

h63，即h6时等号成立． h当3h外周长的最小值为62米，此时渠高h为6米．---------------------------------------------（8分）

(2) 外周长为l=3h6363(h), hh666h1(h2h1)(1)0,l是h的增函数，h2h1h1h2------------------------------------------------------（12分）

设3h1h223，则h2lmin336353(米)．-------------------------------------------------------------（14分） 3

20文科评分标准：

解：AD＝BC+2×hcot60=BC+

23

h，------------------------------------------------------（2分） 3

631123(ADBC)h(2BCh)h，---------------------------------------------（3分） 223BC633h．----------------------------------------------------------------------------------（4分） h3设外周长为l，则l2ABBC2h633 h，-----------------------------（7分）h3sin603h63 62；----------------------------------------------------------------------------（10分）

h63，即h6时等号成立．----------------------------------------------------（12分） h当3h外周长的最小值为62米，此时渠高h为6米．-----------------------------------------（14分） 21.解：

(1)f(x)ab(x21,x)(1,2n21)x22n21x1-----------（２分）

抛物线的顶点横坐标为x取得最小值，所以an

理科评分标准： （2）bn

n210，开口向上，在(０，)上当xn21时函数

n21； --------------------------------------------------------------（4分）

111111[]．---（6分） 224(n1)54n1(2n1)(2n1)22n12n1111111Sn[(1)()()]，--------------------------------（8分）

23352n12n1111limSnlim(1)； ---------------------------------------------------（10分） nn22n12（3）任取Ai、Aj(i、jN,ij)，设AiAj所在直线的斜率为kij，则

i21j21i2j2kijijij(ij)(i21aiaj2j1）iji12j121． -----------------------------------------------------------（16分）

xn（另解：对于An(n,an)，设，则y2x21(x1,y2)，一条渐近线方

2yn1程为yx，显然满足条件的点列中任两点连线不与直线y＝x平行，故斜率不为1.） 文科评分标准：

（２）bnan1an(n1)21n212n1,------------------------------（6分）

22则Sn2[(n1)nn]n23n, ---------------------------------------（8分） 2nlimSnCn2n23nlim2． ------------------------------------------（10分） nn(n1)222a2010a20082010210082(20102008)(20102008)（3）k＝4018． 2010200822----------------------------------------------（16分）

22.解

x2(2x)2(2y)2y21；----------------（4分） （1）由条件得1，得C2：9944（2）理科评分标准：

C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换(x,y)(x,y)(0)，

得到C22x2162y24 1， ----------------------------------------（5分）

2yx(x0)43262解方程组得点A的坐标为( ,)；-------------------（7分）2233xy11642x(x0)y43262解方程组得点B的坐标为( ,)；-------------------（8分）222233xy1416AB(2214343226262＝2，---------------（10分） )()＝

33332，--------------------------(11分) 32化简后得3840，解得12，2x2y2x221．-------------------------（12分）y1或因此椭圆C2的方程为 3694（漏写一个方程扣1分）

文科评分标准：

y22x，由伸缩变换得(y)22x，则y221x，令

116,则＝1． 16------------------------------（10分）

（3）理科评分标准：

对Cn：y22pnx作变换(x,y)(nx,ny) 得抛物线Cn1：(ny)22pnnx，得y22pnnx，

又y2pn1x,pn12pnn，即

pn112n， ---------------------（14分） pnnppp2p3p4n－1n＝222232n1, pn2pn1p1p2p31pnn(n1)123(n1)则， --------------------------------------（16分） 222p1（另解：

pn12npn,pn2n1pn12(n1)(n2)21p111n(n1)22p1）

p11，pn22

文科评分标准：

n(n1)． -------------------------------------------（18分）

C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换(x,y)(x,y)(0)，

得到C22x2162y24 1， --------------------------------------------（12分）

2yx(x0)43262解方程组得点A的坐标为( ,)--------------------（14分）2233xy11642x(x0)y43262解方程组得点B的坐标为( ,) ------------------（15分）222233xy1416AB(2214343226262＝2，---------------（17分） )()＝

33332， 32化简后得3840，解得12，2x2y2x221．-------------------------（18分）因此椭圆C2的方程为 y1或

3694（漏写一个方程扣1分）