一.选择题
规律探索
称为 a 的差倒数，如：2 的
1. （2019•ft东省济宁市 •3 分）已知有理数 a≠1，我们把差倒数是
＝﹣1，﹣1 的差倒数是
＝．如果 a1＝﹣2，a2 是 a1 的差倒数，
a3 是a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数……依此类推，那么 a1+a2+…+a100 的值是（ ） A．﹣7.5
B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
【考点】数字的变化
【分析】求出数列的前 4 个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++ ＝﹣，再求出这 100 个数中有多少个周期，从而得出答案． 【解答】解：∵a1＝﹣2， ∴a2＝ ＝，a3＝
＝，a4＝
＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣， ∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣ ）﹣2＝﹣ 故选：A．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的
＝﹣7.5，
因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 2.
b a
（ 2019• 广 东 深 圳 •3 分 ） 定 义 一 种 新 运 算 ：
k n xn1dx an bn ， 例 如 ：
h
2 xdx k h，若 x2dx 2 ，则 m=（ ）
2 2 5m
m A. -2 【答案】B 【解析】
B. 2
5
C. 2 D. 2 5
m
x2dx m1 (5m)1
5m
1 1 2 2 ，则 m= ，故选 B. m 5m 5
3.（2019，ft东枣庄，3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（
）
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A.
B． C． D．
【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为 10，据此可得． 【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为 10， 符合此要求的只有
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为 10．
4. （2019•湖北十堰•3 分）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，
，…，若第 n 个数为，则 n＝（ A．50
B．60
）
C．62
D．71
【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是 1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是 1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第 n 个数为时 n 的值，本题得意解 决．
【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，）， （，，），（，，，），…，
∴ 分 母 为 11 开 头 到 分 母 为 1 的 数 有 11 个 ， 分 别 为
，
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∴第 n 个数为，则 n＝1+2+3+4+…+10+5＝60， 故选：B．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
5. （2019•湖北武汉•3 分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2… 已知按一定规律排列的一组数：250、251.252.…、299.2100．若 250＝a，用含 a 的式子表示这组数的和是（ ） A．2a2﹣2a
B．2a2﹣2a﹣2
C．2a2﹣a
D．2a2+a
【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律： 2+22+23+ … +2n ＝ 2n+1 ﹣ 2 ， 那么 250+251+252+ … +299+2100 ＝ （ 2+22+23+ … +2100 ） ﹣
（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可． 【解答】解：∵2+22＝23﹣2； 2+22+23＝24﹣2； 2+22+23+24＝25﹣2； …
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2， ∴250+251+252+…+299+2100
＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249） ＝（2101﹣2）﹣（250﹣2） ＝2101﹣250， ∵250＝a，
∴2101＝（250）2•2＝2a2， ∴原式＝2a2﹣a． 故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律， 并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣ 2．
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二.填空题
1. （2019•江苏连云港•3 分）如图，将一等边三角形的三条边各 8 等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号 0、1.2.3.4.5.6.7.8，将不同边上的序号和为 8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示 （水平方向开始，按顺时针方向），如点 A 的坐标可表示为（1，2，5），点 B 的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点 C 的坐标可表示为 （2，4，2） ．
【分析】根据点 A 的坐标可表示为（1，2，5），点 B 的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【解答】解：根据题意得，点 C 的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
2.（2019•浙江衢州•4 分）如图，由两个长为 2，宽为 1 的长方形组成“7”字图形。
（1） 将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形 ABCDEF，其中顶
点 A 位于 x 轴上，顶点 B，D 位于 y 轴上，O 为坐标原点，则 的值为 .
（2） 在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点 F1 ， 摆放第三个“7”字图形得
顶点 F2 ， 依此类推，…，摆放第 a 个“7”字图形得顶点 Fn-1 ， …，则顶点 F2019 的坐标为 .
【答案】 （1）
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（2）（ ， ）
【考点】探索图形规律
【解析】（1）依题可得，CD=1，CB=2， ∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°， ∴∠BDC=∠OBA， 又∵∠DCB=∠BOA=90°， ∴△DCB∽△BOA， ∴
；
（ 2 ）根据题意标好字母，如图，
依题可得：
CD=1，CB=2，BA=1， ∴BD=
，
，
，OA=
，
由（1）知 ∴OB=
易得：
△OAB∽△GFA∽△HCB，
∴BH=
，CH= ，AG= ，FG= ，
∴OH=
+ = ，OG= + = ，
∴C（ ， ），F（ ， ），
∴由点 C 到点 F 横坐标增加了
，纵坐标增加了 ，
……
∴Fn 的坐标为：（
+
n，
+
n），
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∴F2019 的坐标为：（ ）， 故答案为：
，（
+ ×2019， + ×2019）=（ ，405
，405 ）.
【分析】（1）根据题意可得 CD=1，CB=2，由同角的余角相等得∠BDC=∠OBA，根据相似
三角形判定得△DCB∽△BOA，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母， 根据题意可得 CD=1，CB=2，BA=1，在 Rt△DCB 中，由勾股定理求得 BD=
，由（1）知
，从而可得 OB=
，OA=
，结合题意
，AG=
易得：△OAB∽△GFA∽△HCB，根据相似三角形性质可得 BH= ，CH=
，FG=
，从而可得
C（ ， ），F（ ， ），观察这两点坐标知由点 C 到点 F 横坐标增加
了 ，纵坐标增加了 ，依此可得出规律：Fn 的坐标为：（ + n，
+ n），将 n=2019 代入即可求得答案.
3. (2019 甘肃省天水市)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2019 个图形中共有 个〇． 18.【答案】6058 【解析】
解：由图可得，
第 1 个图象中〇的个数为：1+3×1=4， 第 2 个图象中〇的个数为：1+3×2=7， 第 3 个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第 4 个图象中〇的个数为：1+3×4=13， ……
∴第 2019 个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058 个〇， 故答案为：6058．
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根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第 2019 个图形中〇的个数．
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律， 利用数形结合的思想解答．
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4. (2019 甘肃省陇南市)（4 分）已知一列数 a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第 9 个数是 13a+21b ． 【分析】由题意得出从第 3 个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
【解答】解：由题意知第 7 个数是 5a+8b，第 8 个数是 8a+13b，第 9 个数是 13a+21b， 故答案为：13a+21b．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第 3 个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．
5. （2019•甘肃武威•4 分）已知一列数 a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第 9 个数是 13a+21b ．
【分析】由题意得出从第 3 个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
【解答】解：由题意知第 7 个数是 5a+8b，第 8 个数是 8a+13b，第 9 个数是 13a+21b， 故答案为：13a+21b．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第 3 个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．
6 （2019•广东•4 分）如题 16-1 图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度.
如图所示，小明按题 16-2 图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么
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小明用 9 个这样的图形（题 16-1 图）拼出来的图形的总长度是 （结果用含 A.b 代数式表示）．
【答案】a+8b
【解析】每个接触部分的相扣长度为（a-b），则下方空余部分的长度为 a-2（a-b）=2b-a，3
个拼出来的图形有 1 段空余长度，总长度=2a+（2b-a）=a+2b；5 个拼出来的图形有 2 段空余长度，总长度=3a+2（2b-a）=a+4b；7 个拼出来的图形有 3 段空余长度，总长度 =4a+3（2b-a）=a+6b；9 个拼出来的图形有 4 段空余长度，总长度=5a+4（2b-a） =a+8b.
【考点】规律探究题型
7 （2019•甘肃•3 分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 .1 幅图中有 1 个菱形， 第 2 幅图中有 3 个菱形，第 3 幅图中有 5 个菱形，如果第 n 幅图中有 2019 个菱形，则 n＝ 1010 ．
【分析】根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 2×2﹣1＝3 个，第 3 幅图中有 2×3﹣1＝5 个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个，继而即可得出答案．
【解答】解：根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个． 第 2 幅图中有 2×2﹣1＝3 个． 第 3 幅图中有 2×3﹣1＝5 个． 第 4 幅图中有 2×4﹣1＝7 个． …．
可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个． 故第 n 幅图中共有（2n﹣1）个． 当图中有 2019 个菱形时， 2n﹣1＝2019， n＝1010，
故答案为：1010．
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【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．
8.（2019，ft东枣庄，4 分）观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣），
＝1+＝1+（﹣），
＝1+＝1+（﹣），
…
请利用你发现的规律，计算：
+
+
+…+
，
其结果为 2018
．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：
+
+
+…+
＝1+（1﹣）+1+（ ﹣）+…+1+（ ＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+＝2018
，
．
﹣
﹣）
故答案为：2018
【点评】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9.（2019，ft东淄博，4 分）如图，在以 A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片 ABC 中，将 B
角折起，使点 B 落在 AC 边上的点 D（不与点 A，C 重合）处，折痕是 EF．
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如图 1，当 CD＝ AC 时，tanα1＝； 如图 2，当 CD＝AC 时，tanα2＝如图 3，当 CD＝AC 时，tanα3＝……
依此类推，当 CD＝
AC（n 为正整数）时，tanαn＝
．
； ；
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：观察可知，正切值的分子是 3，5，7，9，…，2n+1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…， 2n+1， ∴tanαn＝
， ＝
中的中间一个． ．
故答案为：
．
【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10.（2019▪湖北黄石▪3 分）将被 3 整除余数为 1 的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第 20 行第 19 个数是 625 ．
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第 20 行第 19 个数是多少，本题得以解决．
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【解答】解：由图可得，
第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，…，则前 20 行的数字有：1+2+3+…+19+20
＝210 个数，
∴第 20 行第 20 个数是：1+3（210﹣1）＝628， ∴第 20 行第 19 个数是：628﹣3＝625， 故答案为：625．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第 n 个数可以表示为 1+3（n﹣1）．
11.（2019▪贵州黔东▪3 分）下面摆放的图案，从第 2 个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转 90°得到，第 2019 个图案与第 1 个至第 4 个中的第 3 个箭头方向相同（填序 号）．
【分析】根据图形可以看出 4 个图形一循环，然后再 2019÷4＝504…3，从而确定是第 3
个图形．
【解答】解：2019÷4＝504…3，
故第 2019 个图案中的指针指向与第 3 个图案相同， 故答案为：3
【点评】主要考查了图形的变化类，学生通过特例分析从而归纳总结出规律是解决问题的关键．
（2019•湖南怀化•4 分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数.21
墙”，则整面“分数墙”的总面积是 n﹣1 ．
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【分析】由题意“分数墙”的总面积＝2× +3× +4× +…+n× ＝n﹣1．
【解答】解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1， 故答案为 n﹣1．
【点评】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
.31（2019•ft东省滨州市 •5 分）观察下列一组数： a1＝，a2＝，a3＝，a4＝
，a5＝
，…，
（用含 n
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 n 个数 an＝
的式子表示）
【考点】数字的变化类
【分析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为 2n+1；观察分子的，1，3，6， 10，15，…，可知规律为
，即可求解；
【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为 2n+1， 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为
，
∴an＝
＝ ；
；
故答案为
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【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
（2019•ft东省聊城市•3 分）数轴上 O，A 两点的距离为 4，一动点 P 从点 A 出发，按以.41
下规律跳动：第 1 次跳动到 AO 的中点 A1 处，第 2 次从 A1 点跳动到 A1O 的中点 A2 处， 第 3 次从 A2 点跳动到 A2O 的中点 A3 处， 按照这样的规律继续跳动到点 A4 ， A5 ， A6，…．，An．（n≥3，n 是整数）处，那么线段 AnA 的长度为 4﹣ （n≥3，n 是 整数）．
【分析】根据题意，得第一次跳动到 OA 的中点 A1 处，即在离原点的长度为×4，第二次从 A1 点跳动到 A2 处，即在离原点的长度为（）2×4，则跳动 n 次后，即跳到了离原点的长度为（）n×4＝【解答】解：由于 OA＝4，
所有第一次跳动到 OA 的中点 A1 处时，OA1＝OA＝ ×4＝2， 同理第二次从 A1 点跳动到 A2 处，离原点的（）2×4 处， 同理跳动 n 次后，离原点的长度为（）n×4＝故线段 AnA 的长度为 4﹣数）．故答案为：4﹣ ．
（n≥3，n 是整
，
，再根据线段的和差关系可得线段 AnA 的长度．
【点评】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
三.解答题
1.（2018▪广西池河▪3 分）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第 1 个数 a1＝4，
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第 5 个数 a5＝5，且任意三个相邻的数之和为 15，则第 2019 个数 a2019 的值是 6 ． 【分析】由任意三个相邻数之和都是 15，可知 a1.a4.a7.…a3n+1 相等，a2.a5.a8.…a3n+2 相等， a3.a6.a9.…a3n 相等，可以得出 a5＝a2＝5，根据 a1+a2+a3＝15 得 4+5+a3＝15，求得 a3， 进而按循环规律求得结果．
【解答】解：由任意三个相邻数之和都是 15 可知：
a1+a2+a3＝15， a2+a3+a4＝15， a3+a4+a5＝15， …
an+an+1+an+2＝15，
可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1， a2＝a5＝a8＝…＝a3n+2， a3＝a6＝a9＝…＝a3n， 所以 a5＝a2＝5， 则 4+5+a3＝15， 解得 a3＝6， ∵2019÷3＝673，
因此 a2017＝a3＝6． 故答案为：6．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第 1.4.7…个数之间的关系， 第 2.5.8…个数之间的关系，第 3.6.9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．
2. （2019•ft东省济宁市 •8 分）阅读下面的材料：
如果函数 y＝f（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2，
（1） （2） 若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），则称 f（x）是增函数； 若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f（x）是减函数．
例题：证明函数 f（x）＝（x＞0）是减函数． 证明：设 0＜x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）＝ ﹣
＝
＝
．
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∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．
∴＞0．即 f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数 f（x）═（x＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数 f（x）＝ f（﹣1）＝
+x（x＜0），
+（﹣2）＝﹣ ；
+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝
（1）计算：f（﹣3）＝ ﹣ ，f（﹣4）＝ ﹣
（2）猜想：函数 f（x）＝
（3）
+x（x＜0）是 增 函数（填“增”或“减”）；
请仿照例题证明你的猜想．
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2） 由（1）结论可得；
（3） 根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立．
【解答】解：（1）∵f（x）＝∴f（﹣3）＝ 故答案为：﹣
﹣3＝﹣ ，﹣
+x（x＜0）， ，f（﹣4）＝
﹣4＝﹣
（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3） ∴函数 f（x）＝故答案为：增 （3）设 x1＜x2＜0，
+x（x＜0）是增函数
∵f（x1）﹣f（x2）＝∵x1＜x2＜0，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0
+x1﹣ ﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣ ）
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∴f（x1）＜f（x2） ∴函数 f（x）＝
+x（x＜0）是增函数
【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
3．(2019 安徽)（8 分）观察以下等式： 第 1 个等式：＝+， 第 2 个等式：＝+， 第 3 个等式：＝+第 4 个等式：＝+第 5 个等式：＝+……
， ， ，
按照以上规律，解决下列问题：
（1） 写出第 6 个等式：
；
（用含 n 的等式表示），并证
（2） 写出你猜想的第 n 个等式：
明．
【分析】（1）根据已知等式即可得； （2）根据已知等式得出规律 可．
【解答】解：（1）第 6 个等式为：故答案为：
；
，
，再利用分式的混合运算法则验证即
（2）
证明：∵右边＝∴等式成立，
＝左边．
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故答案为： ．
【 点评】 本题主要考查数字的变化规律， 解题的关键是根据已知等式得出
的规律，并熟练加以运用．
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