(完整版)2019年全国中考数学真题分类汇编13：规律探索

规律探索

一、选择题

1。 （2019年山东省菏泽市）在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到的指令是：从原 点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度, 其移动路线如图所示,第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An， 则点A2019的坐标是（ )

A．（1010，0） B．（1010，1） 【考点】坐标、平移、规律探索

C．（1009，0） D．（1009，1）

【解答】解：A1（0,1），A2（1，1）,A3（1，0），A4（2，0），A5（2,1），A6（3，1),…，2019÷4＝504…3，

所以A2019的坐标为（504×2+1，0）, 则A2019的坐标是(1009，0）． 故选：C．

2. (2019年山东省济宁市)已知有理数a≠1，我们把数是

＝﹣1，﹣1的差倒数是

称为a的差倒数，如：2的差倒

＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2

的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是( ） A．﹣7。5 【考点】规律探索 【解答】解：∵a1＝﹣2， ∴a2＝

＝,a3＝

＝，a4＝

＝﹣2，……

B．7.5

C．5.5

D．﹣5。5

∴这个数列以﹣2,，依次循环，且﹣2++＝﹣, ∵100÷3＝33…1，

∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣故选：A．

＝﹣7。5,

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3. （2019年山东省枣庄市）如图,小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图 片，适合填补图中空白处的是( ）

A． B． C． D．

【考点】规律探索、图形的变化规律

【解答】解：由题意知,原图形中各行、各列中点数之和为10， 符合此要求的只有

故选:D．

4. （2019年四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把数为

＝﹣1，﹣1的差倒数

称为a的差倒数，如2的差倒

＝,已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差

倒数,a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（ ） A．5

B．﹣

C．

D．

【考点】规律探索、数字的变化规律 【解答】解：∵a1＝5，

a2＝a3＝

＝＝

＝﹣，

＝,

a4＝…

＝＝5,

∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环， ∵2019÷3＝673， ∴a2019＝a3＝,

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故选：D．

5。 （2019年云南省）按一定规律排列的单项式：x,－x，x,－x，x，…… 第n个单项式是（ )

A。（－1）n－1x2n－1 B.（－1）nx2n－1 C.（－1）n－1x2n＋1 D。（－1）nx2n＋1 【考点】规律探索、数字的变化规律

【解答】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用(1)n1或(1)n1,

(n为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为2n1,故选C 6。 （2019年广西贺州市）计算A．

B．

+

+C．

+

+…+

D．

的结果是（ ）

3

5

7

9

11

【考点】规律探索、数字的变化规律、有理数的混合运算 【解答】解：原式＝＝＝

．

故选：B．

7.（2019年河南省)如图，在△OAB中，顶点O（0,0）,A（﹣3，4），B(3，4）， 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结 束时，点D的坐标为( ）

A．（10，3） B．(﹣3,10） C．（10，﹣3） D．(3，﹣10）

【考点】规律探索、旋转

【解答】解:∵A(﹣3,4）,B(3,4）， ∴AB＝3+3＝6， ∵四边形ABCD为正方形, ∴AD＝AB＝6， ∴D（﹣3，10）， ∵70＝4×17+2，

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∴每4次一个循环，第70次旋转结束时,相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，

∴点D的坐标为（3，﹣10）． 故选：D．

8. （2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下:,，，，，，，，,，…，若第n个数为，则n＝（ ) A．50

B．60

C．62

D．71

【考点】规律探索、数字的变化

【解答】解:,，，,，，，，，,…，可写为：,（,）,（，，）,（，,，），…,

∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为∴第n个数为,则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60， 故选：B．

9. (2019年内蒙古赤峰市)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：

①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ )

，

A．2

2019

B． C． D．

【考点】规律探索、中点四边形

【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开， 第一次：余下面积第二次：余下面积第三次：余下面积

, ， ，

,

当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为故选：C． 二、填空题

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1。 （2019年山东省滨州市）观察下列一组数：

a1＝，a2＝，a3＝，a4＝,a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利

用其中规律，写出第n个数an＝ （用含n的式子表示） 【考点】规律探索、同底数幂的乘法

【解答】解：观察分母，3，5，9,17，33，…,可知规律为2n+1, 观察分子的，1，3,6，10，15，…，可知规律为

，

∴an＝＝；

故答案为

;

2。 (2019年山东省枣庄市）观察下列各式：

＝1+

＝1+（1﹣），

＝1+＝1+(﹣）,

＝1+

＝1+（﹣），

…

请利用你发现的规律，计算：

+

++…+，

其结果为 ．

【考点】规律探索、二次根式的化简 【解答】解:

+

+

+…+

＝1+（1﹣)+1+(﹣）+…+1+(﹣）

＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣

＝2018

，

故答案为：2018

．

3.（2019年四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作

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Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°,再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去,则点A2019的坐标为 ．

【考点】解直角三角形、规律探索 【解答】解：由题意得，

A1的坐标为（1，0）, A2的坐标为（1,

），

），

A3的坐标为（﹣2，2

A4的坐标为（﹣8,0）， A5的坐标为（﹣8，﹣8A6的坐标为（16，﹣16A7的坐标为（64,0）, …

由上可知，A点的方位是每6个循环，

与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2

n﹣1

)， ），

，其纵坐标为0， ，纵坐标为2

n﹣2

与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2

n﹣2

， ，

与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2

n﹣2

，纵坐标为2

n﹣2

n﹣1

,纵坐标为0, ，纵坐标为﹣2

n﹣2

与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2∵2019÷6＝336…3,

n﹣2

, ，

n﹣2

，纵坐标为﹣2

n﹣2

∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内,其横坐标为﹣2故答案为：(﹣2

2017

n﹣2

＝﹣2

2017

，纵坐标为2

2017

，

,2

2017

）．

4.(2019年江苏省扬州市)如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC上从左到右一次取

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点D1、D2、D3、D4…；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB与点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2;过点D3作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E3、F3…，则 4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019)= ． 【考点】相似三角形，比例性质、规律探索 【解答】∵D1E1∥AB D1F1∥AC

∴

D1E1CD1DFBD1 1 ABCBACBC∵AB=5 AC=4 ∴

D1E1CD1DFBD1 1 5CB4BCD1E1D1FCD1BD1BC1 54CBBCBC∴

∴4D1E+5D1F=20

有2019组，即2019×20=40380

5. （2019年浙江省衢州市）如图,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形。

（1)将一个“7\"字图形按如图摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上,顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点,则

的值为________ 。

（2）在(1）的基础上，继续摆放第二个“7\"字图形得顶点F1 , 摆放第三个“7”字图形得顶点F2 ， 依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1 ， …，则顶点F2019的坐标为________ . 【考点】探索图形规律、相似三角形 【解答】(1）依题可得，CD=1,CB=2, ∵∠BDC+∠DBC=90°,∠OBA+∠DBC=90°， ∴∠BDC=∠OBA， 又∵∠DCB=∠BOA=90°， ∴△DCB∽△BOA， ∴

;

（ 2 ）根据题意标好字母,如图，

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依题可得:

CD=1，CB=2，BA=1， ∴BD=

，

， ，

由（1）知 ∴OB= 易得：

，OA=

△OAB∽△GFA∽△HCB， ∴BH= ∴OH= ∴C（

，CH= +

=

，AG= ，OG=

，FG= +

，

= ，

， ）,F( ， ），

，纵坐标增加了 ，

∴由点C到点F横坐标增加了 ……

∴Fn的坐标为：( + ∴F2019的坐标为：（ + 故答案为：，(

n，

+ n)， +

×2019）=（

,405

),

×2019,

，405 ）.

6。 （2019年甘肃省天水市)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，

第2019个图形中共有 个〇．

【考点】规律探索、图形的变化

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【解答】解：由图可得，

第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4， 第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7， 第3个图象中〇的个数为:1+3×3＝10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13， ……

∴第2019个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058个〇， 故答案为：6058．

7。 （2019年甘肃省）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝ ．

【考点】规律探索、图形的变化

【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2×2﹣1＝3个． 第3幅图中有2×3﹣1＝5个． 第4幅图中有2×4﹣1＝7个． …．

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n幅图中共有（2n﹣1）个． 当图中有2019个菱形时， 2n﹣1＝2019，

n＝1010， 故答案为：1010．

8。 （2019年甘肃省武威市）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b,……,按照这个规律写下去，第9个数是 ．

【考点】规律探索、数字的变化规律

【解答】解:由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b， 故答案为:13a+21b．

9. （2019年黑龙江省伊春市）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4,得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、

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△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去,则S2019＝ ．

【考点】规律探索、正方形的性质、勾股定理 【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形， ∴OA＝AA1＝A1B1＝1， ∴S1＝

＝，

∵∠OAA1＝90°, ∴AO1＝

2

＝，

∴OA2＝A2A3＝2， ∴S2＝同理可求:S3＝∴Sn＝2

n﹣2

＝1，

＝2，S4＝4…，

， ,

2017

∴S2019＝2

2017

故答案为：2．

10。 （2019年辽宁省本溪市）如图,点B1在直线l:y＝x上，点B1的横坐标为2,过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边,向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2;以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边,向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4;…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为 （结果用含正整数n的代数式表示）

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【考点】规律探索、相似三角形的性质

【解答】解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴,C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……

∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2, ∴点B1的纵坐标为1, 即：OD＝2，B1D＝1，

图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，

∴点C1的横坐标为：2++（），

点C2的横坐标为：2++（）+（)×+（）＝+（）×+（）

点C3的横坐标为:2++（）+（）×+（）+（)×+（）＝+()×+（）×++（）

2

0

0

1

1

2

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

2

3

点C4的横坐标为：＝+（)×+(）×+（）×+(） ……

点∁n的横坐标为：＝+（）×+（）×+（）×+(）×+(）×……+(）＝+[（）+（)×+（）+（)+（)……］+（）＝故答案为：

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

n﹣1

n﹣1

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三、解答题

1。 (2019年安徽省）观察以下等式:

211第1个等式：=，

111311第2个等式:=，

226211第3个等式：=,

5315211第4个等式：=,

7428211第5个等式：=，

9545……

按照以上规律,解决下列问题：

（1)写出第6个等式： ;

（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明。 【考点】规律探索、分式的加减法

211【解答】(1）=

11666211（2） =2n-1nn（2n-1）112n-1+12证明：∵右边====左边.

nn（2n-1）n（2n-1）2n-1∴等式成立