六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版

第八讲 行程问题（二）

教学目标：

1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；

2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题； 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”；

4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题．

知识精讲：

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用v甲,v乙；t甲,t乙；s甲，s乙来表示，大体可分为以下两种情况：

1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就

等于他们的速度之比。

s甲v甲t甲s甲s乙，这里因为时间相同，即,所以由 tttt，t乙乙甲甲vvsvt乙甲乙乙乙得到ts甲s乙s甲v甲，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 v甲v乙s乙v乙2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之

比等于他们速度的反比。

s甲v甲t甲，这里因为路程相同，即s甲s乙s，由s甲v甲t甲，s乙v乙t乙 svt乙乙乙得sv甲t甲v乙t乙，

v甲t乙，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。 v乙t甲行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法

行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，

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在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．

例题精讲：

模块一、时间相同速度比等于路程比

【例 1】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后

继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？

【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路

程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三

4554231个全程，与第一次相遇地点的距离为(1)个全程．所以 A、 777772B两地相距30105 (千米)．

7个全程中甲走了

【例 2】 B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送

另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。

【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：

A10分钟10分钟B10分钟C

因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：

（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所

以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信

A10分钟10分钟B10分钟5分钟5分钟C

当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信 在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟）， 此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟 所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）

（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟

【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行

60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？

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【分析】 甲、乙两人速度比为80:604:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了

43全程的，乙走了全程的．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，

7743所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的．由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程

77334331比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了，所以甲停留期间乙行了，所以A、

7477441B两点的距离为607=1680(米)．

4

【例 4】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相

遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 10 千米．那么 A、B 两地相距多少千米？ 【解析】 两车相遇时甲走了全程的

54，乙走了全程的，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，99此时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5: 6，所以甲到达 B 地时，乙又走了

4685811，距离 A地450 (千米)． ，所以 A、 B 两地的距离为1095159154545

【例 5】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点

时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下午 3 点时，

两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45  千米，故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。

【例 6】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡

路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？

【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．

从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．

如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路． 所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路． ⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第

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二小时内用在走平路上的时间为253051小时，其余的小时在走上坡路； 66因为第一小时比第二小时多走了15千米，而

11小时的下坡路比上坡路要多走30157.5千

661小时，所以在第一小时中，有2米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为157.5151112小时是在下坡路上走的，剩余的小时是在平路上走的． 2633因此，陈明走下坡路用了

215717小时，走平路用了小时，走上坡路用了1小时．

36666327⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是:4:7．那么下坡路的

36速度为30157105千米/时，平路的速度是每小时1051590千米，上坡路的速度是每74小时903060千米．

277那么甲、乙两地相距1059060245(千米)．

366

模块二、路程相同速度比等于时间的反比

【例 7】 甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此

时甲、乙共行了35千米．求A，B两地间的距离．

【分析】 甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为4:3，那么在3小时内的路程之

4比也是4:3；又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为3520千米，即A，B两

34地间的距离为20千米．

【例 8】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到

达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？

【解析】 由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）

从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）.

【例 9】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相

遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．

【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，

根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分．

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【例 10】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上

学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？

【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相511.6同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是，因此，走上坡路5118为1:118:11，需要的时间是2，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，8888所以，上坡速度是平路速度的倍．

11

3【例 11】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的时，出

5了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？

333【分析】 当以原速行驶到全程的时，总时间也用了，所以还剩下50(1)20分钟的路程；修理完

555毕时还剩下20515分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:154:3，根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为4:3，因此每分钟应比

4原来快750750250米．

3小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采用比例法简便．

【例 12】 (2008“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的

34前进，最终到达目的地晚1.5小时．若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时，然后同样以原速的

3前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为________公里． 43【解析】 如果火车出发1小时后不停车，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.50.51小时，在一

4小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花14333小时，现在要花14344小时，若出发1小时后又前进90公里不停车，然

3前进，则到达目的地仅晚10.50.5小时，在一小时以后的那段路程，原计划4所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花0.54331.5小时，现在要花后同样以原速的

0.54342小时．所以按照原计划90公里的路程火车要用31.51.5小时，所以火车的原

速度为901.560千米／小时，整个路程为6031240千米．

【例 13】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小

时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划

的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为： 5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．

【例 14】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离

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后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？

【解析】 车速提高 20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为1(1)6小

时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为1(1的时间为6456101)4小时．所以前面按原速度行使13315小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的33556 318

【例 15】 一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行

驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达．那么甲、乙两地相距多少千米？

【分析】 车速提高20%，速度比为5:6，路程一定的情况下，时间比应为6:5，所以以原速度行完全程的

65时间为16小时．

6以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高25%，速度比为4:5，所用时间比

405410应为5:4，提前40分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要小时，所以以原

60531088速行驶120千米所用的时间为6小时，甲、乙两地的距离为1206270千米．

333

【例 16】 甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程．乙火车上午8:00从B站开往A站，开

出若干分钟后，甲火车从A站出发开往B站．上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A、B两站的距离的比是15:16．甲火车从A站发车的时间是几点几分？

［分析］甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知．由此可以求得甲火车单

独行驶的距离与总路程的比．

根据题意可知，甲、乙两车的速度比为5:4．

从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5:415:12，而相遇点距A、B两站的距离的比是15:16．说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小时所走路程的

1也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也就是15分钟．所以甲火车从A161216．4站发车的时间是8点15分．

模块三、比例综合题

【例 17】 小狗和小猴参加的100米预赛．结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作

聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米．小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？

【解析】 小猴不会如愿以偿．第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它们的速度比为100:9010:9；

9那么把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了1109910米，离终点还差1米，所以它还是比小狗晚到达终点．

【例 18】 甲、乙两人同时从 A地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，

此时甲、乙共行了 35 千米．求 A， B 两地间的距离．

【解析】 甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定

所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）

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两个人速度比为：甲：乙=4：3

当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份， 所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A、B两地间距离为20千米

【例 19】 A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市．开车后1小时A车出了事故，B和C车

照常前进．A车停了半小时后以原速度的

4继续前进．B、C两车行至距离甲市200千米时B车54继续前进．结果到达乙市的时间C5车比B车早1小时，B车比A车早1小时，甲、乙两市的距离为 千米．

4【分析】如果A车没有停半小时，它将比C车晚到1.5小时，因为A车后来的速度是C车的，即两车行5

5小时的路A车比C车慢1小时，所以慢1.5小时说明A车后来行了51.57.5小时．从甲市到乙市车要行17.51.57小时．

同理，如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，说明B车后来行了50.52.5小时，

2这段路C车需行2.50.52小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的．

72故甲、乙两市距离为2001280(千米)．

7

【例 20】 甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分

钟前曾到过的地方．此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲．甲每小时行多少米？

［分析］根据题意，乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，所以甲、乙的速度之比为

2:2.258:9，乙的速度是甲的速度的1.125倍；

乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为3:3.754:5．加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍；

由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为5001.251.1254000米/小时．

出了事故，C车照常前进．B车停了半小时后也以原速度的

【例 21】 甲、乙两人分别骑车从A地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12 分钟后丙也骑车从A地出发去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？

丙甲B3乙ADE3C

［分析］ 丙的速度为7.5215千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了15123千米后60与甲、乙同时出发．

如图所示，相当于甲、乙从A，丙从B同时出发，丙在C处追上甲，此时乙走到D处，然后丙掉头走了3千米在E处和乙相遇．

从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了321.5千米，故CD为4.5千米．那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了34.57.5千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了7.5千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了7.54.512千米，因此速度为12112(千米/小时)．

【例 22】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山

速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当

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乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，

说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍， 就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。

两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）

【例 23】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5米处．一列火车以每小时84千米的速度

从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头3米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？

【分析】设铁路桥长为x米．

x在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为(5)米，火车走的路程为(3x3)米；

2xx在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为(50.5)(4.5)米，火车走的路程为(4x0.5)米；

22xx两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了(5)(4.5)(x0.5)米，火车一共走

22了(3x3)(4x0.5)(7x3.5)米； 因为(7x3.5)是(x0.5)的7倍，所以火车速度是小狗速度的7倍，所以小狗的速度为84712(千米/时)；

x因为火车速度为小狗速度的7倍，所以(3x3)7(5)，解此方程得：x64．

2所以铁路桥全长为64米，小狗的速度为每小时12千米．

【例 24】 如图，8点10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方

形ABCD的边走向D点，甲8点20分到D后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发，丙由D向A走去，8点24分与乙在E点相遇，丁由D向C走去，8点30分在F点被乙追上，则连接三角形BEF的面积为 平方米．

ADA甲E丙DBC乙BFC

【分析】如图，由题意知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说

7明甲、乙速度是丙、丁速度的4106倍．因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用

3770705810(分钟)，走AE用4(分钟)．

333375840 因为乙走BAAE用14分钟，所以丙走AB用14(分钟)．

333409 因为AB长60米，所以丙每分钟走60(米)．于是求出

329589 AE87(米)，ED418(米)，BCAEED8718105(米)．

232 SBEFS矩形ABCDSBAESEDFSFCB601056087218452151052 63002610405787.52497.5(平方米)．

第 8 页 共 10 页 第八讲 行程问题（二）

【例 25】 如图，长方形的长AD与宽AB的比为5:3，E、F为AB边上的三等分点，某时刻，甲从A点

出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5．他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

AEFBCD

［分析］长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重

合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上．

所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况．

将长方形的宽3等分，长5等分后，将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段．所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况．

对于甲的运动进行讨论： 6 8 10 16 时间(单位时间) 2 …… 4 12 14 C C C C C 地点 A A A 对于乙的运动进行讨论： 3 10 18 19 26 27 时间(单位时间) 2 …… 11 C C 地点 B A B A D D 对于丙的运动进行讨论： 3 10 18 19 26 27 时间(单位时间) 2 …… 11 C C 地点 B A B A D D 需要检验的时间点有2、3、10、11、…… 2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件．

3个单位时间的时候甲在AD上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相当于4分钟． 10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形． 所以再过40分钟．三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？ 课后作业

练习1. 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速

度的

3，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的7地点恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？

【解析】 甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，

第 2007 次相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3×（2008×2-1）=12045 份，所以总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米.

练习2. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2，他们第一次

相遇后甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？

【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2，

相遇后，甲、乙两人的速度比为3120%:2130%3.6:2.618:13；到达B地时，

即甲又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是18:13，即乙的路程为21341．乙189第 9 页 共 10 页 第八讲 行程问题（二）

45从相遇后到达A还要行3份的路程，还剩下311(份)，正好还剩下14千米，所以1份这样

995的路程是1419(千米)．

9A、B两地有这样的325(份)，因此A、B两地的总路程为：93245(千米)．

练习3. 小明和小刚进行100米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变)．当小刚跑了90米时，小明距离终

点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？

【分析】当小刚跑了90米时，小明跑了1002575米，在相同时间里，两人的速度之比等于相应的路程

之比，为90:756:5；在小刚跑完剩下的1009010米时，两人经过的时间相同，所以两人的

525路程之比等于相应的速度之比6:5，则可知小明这段时间内跑了10米，还剩下

63255022516米．

333

练习4. 客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3小时后客车到达甲地，货车离乙地还有22

千米，已知货车与客车的速度比为5:6，甲、乙两地相距多少千米？

【分析】 货车与客车速度比5:6，相同时间内所行路程的比也为5:6，那么客车走的路程为

6522132(千米)，为全程的一半，所以全程是1322264(千米)．

6

5练习5. 甲、乙两人从A，B两地同时出发，相向而行．甲走到全程的的地方与乙相遇．已知甲每小

111时走4.5千米，乙每小时走全程的．求A，B之间的路程．

3【分析】 相同的时间内，甲、乙路程之比为5:1155:6，因此甲、乙的速度比也为5:6，所以乙的速

61度为4.55.4千米/时．两地之间的路程为：5.4116.2千米．

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