Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 ＠理论研究、研发设计＠ 初始误差修正的多智能体一致性迭代学习控制 伍 凤，支４ 山 ＷＵ Ｑｉａｏｆｅｎｇ．ＬＩＵ Ｓｈａｎ 浙江大学控制科学与工程学系，杭州３ １ ００２７ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｅｊ ｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３ １ ００２７，Ｃｈｉｎａ ＷＵ Ｑｉａｏｆｅｎｇ．ＬＩＵ Ｓｈａｎ．Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｍｕｌｔｉ—ａｇｅｎｔ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｗｉｔｈ ｉｎｉｔｉａｌ ｅｒｒｏｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１４，５０（１）：２９—３５． Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｏｎｓｉｄｅｒｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ－－ｔｉｍｅ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ａ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｍｕｌｔｉ－－ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｅｘｅｃｕｔｉｎｇ ａ ｇｉｖｅｎ ｒｅｐｅｔｉｔｉｖｅ ｔａｓｋ．Ｔｈｅ ｖｉｒｔｕａｌ ｌｅａｄｅｒ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｆｉｘｅｄ ｔｏｐｏｌｏｇｙ．Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｋｎｏｗｎ ｉｎｉｔｉａｌ ｓｔａｔｅｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｓｉｒｅｄ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ，ａ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｉｎｉｔｉａｌ ｓｔａｔｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｖｅｒｙ ａｇｅｎｔ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ．Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｅｒｒｏｒｓ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｉｎｉｔｉａｌ ｓｔａｔｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｅｖｅｒｙ ａｇｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｓｉｒｅｄ ｒｔａｊｅｃｔｏｒｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ｐｅｒｆｅｃｔ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ－ｔｉｍｅ ｉｓ ａｖａｉｌａｂｌｅ．Ｓｉｍｕｌａｔｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｌｓｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ—ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ；ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅ；ｆｉｎｉｔｅ－ｔｉｍｅ；ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ；ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ 摘 要：研究了重复运行的分布式多智能体系统在有限时间内的一致性问题。针对具有固定拓扑结构的多智能体 系统，在期望轨迹对应的初始状态未知，且系统存在干扰的情况下，引入虚拟领导者技术，提出了一种同时对各智能 体的输入和初始状态误差进行迭代修正的分布式学习控制算法。收敛性分析表明，该算法能够消除由于各智能体 初始状态和期望轨迹对应的初始状态不同而引起的各智能体输出不能完全跟踪期望轨迹的状况，实现系统在有限 时间内的完全跟踪；仿真结果也证明了算法的有效性。 关键词：多智能体系统；分布式；有限时间；一致性；迭代学习控制 文献标志码：Ａ 中图分类号：ＴＰ２７３＋．２２ ｄｏｉ：１０．３７７８￣．ｉｓｓｎ．１００２．８３３１．１３０６－０２２４ ｌ 引言 能体系统的一致性问题已经有了大量的研究成果 。 。 多智能体系统是由多个可计算的智能体组成的集合， Ｖｉｃｓｅｋ［ 等人首次提出了分布式智能体系统的一致性问 其中每个智能体是一个物理的或者抽象的实体，能作用于 题；ＪａｄｂａｂａｉｅｔＳ］粗略地证明了在分布式控制系统中，通过 自身和环境，并与其他智能体通讯，共同合作去完成一个 “最近近邻规则”跟随者智能体的所有状态都可以和领 任务。多智能体技术具有广泛的应用背景，可用于航天 导者智能体的状态同步；Ｒｅｎ 提出了一种虚拟领导者 器、无人驾驶飞行器、移动机器人和车辆控制 。等方面。 方法，虚拟领导者可以被看成是每一个智能体公共的参 多智能体系统的一致性问题，是指多智能体系统中 考信号；ＫｈｏｏＤ０］证明了通过局部通讯跟随着智能体可以 的每个智能体在某些量（速度、位置等）上与其他智能体 跟踪领导者的时变的状态，并且还考虑到智能体间耦合 趋于相同。一致性问题是多智能体研究的基本问题 ， 的时延和通道噪声。 如典型的多机器人系统的跟踪问题、编队问题和搬运问 以上研究都是考虑多智能体系统的渐近一致性问 题等均可以转化为多智能体系统的一致性问题。多智 题，即系统中的各个智能体的状态是逐渐趋于一致的。 基金项目：国家自然科学基金（Ｎｏ．６１２７３１３３）。 作者简介：伍巧凤（１９８８一），女，硕士研究生，主要研究方向为多智能体和移动机械臂一致性研究；刘山（１９７Ｏ一），男，博士，副教 授，主要研究方向为智能控制理论与技术，机器人技术，工业过程控制。Ｅ—ｍａｉｌ：２１１３２０５１＠ｚｊｕ．ｅｄｕ．ｃａ 收稿日期：２０１３．０６．２０ 修回日期：２０１３．０８．２０ 文章编号：１００２－８３３１（２０１４）０１—００２９—０７ ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 但有些多智能体系统的任务是重复的，如工业生产线上 的多机械臂协同操作，此时，渐近一致性的要求显然太 在通讯联系。 经典的迭代学习控制要求每次迭代运行时，系统的 初始状态与期望跟踪轨迹所对应的初始状态相同，这在 低了，一般要求实现有限时间内的完全一致性 。 。众 所周知，针对重复运行系统的迭代学习控制方法可以实 现有限时间内的完全跟踪问题，并且对于干扰和不确定 性具有很好的抑制作用。将迭代学习控制方法运用于 分布式多智能体系统中不容易做到。因为各个智能体 的动态方程一般都不相同，且多智能体系统跟踪的不是 个真实的物体，只是由虚拟领导者产生的给定期望参 一多智能体系统，去解决多智能体系统有限时问内的完全 致性问题是可行的技术思路 。Ａｈｎ等ｕ 就利用 迭代学习方法去解决多智能体系统的编队问题；Ｊｉａ 也 一考轨迹，所以期望轨迹针对各智能体所对应的真实初始 状态Ｘ， （０）是未知的。 本文在期望参考轨迹所对应的各智能体的初始状态 未知的情况下，采用一种对系统输入和期望轨迹对应的 将迭代学习方法引入到多智能体系统的踪控制问题 中。在这些研究中，一个必需的条件是要求每次迭代 时，每个多智能体的初始状态与期望轨迹对应的初始状 态相同，但在很多实际问题中，期望轨迹对应的初始状 态可能是未知的，在此情况下，上述多智能体系统的迭 代学习控制方法都无法设定初始状态值。 针对执行重复任务的多智能体系统，为解决由于每 个智能体的初始状态和期望轨迹对应的初始状态不同 而引起的系统输出不能完全跟踪期望轨迹的问题，受单 个系统的迭代学习控制的初始状态误差修正技术ｎ ｕ的 启发，本文提出了同时对各智能体的输入和初始状态分 别进行迭代学习的分布式控制方案，以实现系统有限时 问内的完全一致性。 ２ 问题描述 考虑一个包含干扰的重复运行的分布式多智能体 系统，由ｎ个智能体组成，第ｉ个智能体的动力学方程为： Ｉ ． （ｆ）＝ （ｆ） ． （ ）＋Ｂ（ｔ）ｕｆ ，（ｆ）＋’Ｉ，洫（ｆ） ，．、 ＩＹ ＝Ｃ（ｔ）ｘ （ｆ）＋＇， （ｆ） … 其中ｉ＝１，２，…，ｎ，ｔ和ｋ分别表示时问和迭代运行次数， ， （ ）∈Ｒ 为智能体ｉ的状态，Ｕ （ ）∈Ｒ 为控制输入， （ｆ）∈Ｒ ，Ｗ （ｆ）∈Ｒ 和ｖ （ｆ）∈Ｒ 竹扰 假设Ｙ （ｆ）∈Ｒ 为任意给定的有限时间ｔ∈［０，Ｔ］内 的期望参考轨迹，对于执行重复任务的多智能体系统 （１），本文希望通过迭代运行，最终寻找到各智能体的合 适的控制输入，使各智能体的运行轨迹在有限时间 ［０，Ｔ］内与期望轨迹Ｙ （ｆ）完全一致。 上述目标等价于分布式多智能体系统有限时问内 的一致性问题，即寻找合适的控制输入Ｕ （ｆ）满足： Ｊｉ 【 （ｆ）一Ｙ （ｆ）］＝０，ｉ＝１，２，…，ｎ，ｔ ｅ［ｏ，Ｔ】 （２） 换句话说，一致性目标（２）意味着要找到一个合适的 迭代学习控制算法，随着迭代次数的增加，多智能体系统 中的各智能体均在有限时间内收敛于期望的参考轨迹。 由于所考虑的多智能体系统具有分布式结构，本文 假设期望的参考轨迹Ｙ （ｆ）的信息并不是每个智能体都 能直接获得，而是只有部分智能体能够直接获得。为 此，假设参考轨迹Ｙ （ｆ）由一个虚拟领导者” 产生，能够 直接获得参考轨迹信息的智能体与虚拟领导者之间存 初始状态同时进行学习修正的迭代学习控制算法，以实 现分布式多智能体系统有限时间内的完全跟踪。也就意 味着，多智能体系统的初始状态ｘ，（０）可以从任意状态开 始，并最终收敛于期望轨迹对应的真实初始状态Ｘ， （０）。 本文考虑 个智能体和一个虚拟领导者，其中 个 智能体之间的关系可以采用一个无向带权图Ｇ＝ ，￡Ａ） 来表示，如文献［２２１。图Ｇ的 个节点ｏ＝枷 ，Ｄ －－，。 ｝ 表示ｎ个智能体，（ ，Ｊ）Ｅ ｓ Ｄ×Ｄ为图的边，ｉ和，的联 系用带权邻接矩阵 表示，其对角线元素ｄ．．＝０，若ｉ和 之间有联系，则口 ＝ａｊ ＞０且‘，∈ ，Ⅳｊ＝｛ ｝为节点ｉ 的邻居节点集合。图Ｇ的Ｌａｐｌａｃｉａｎ矩阵定义为： Ｌ＝Ｄ——Ａ 其中，Ｏ＝ｄｉａｇ［ｄ ，ｄ：，…，ｄｎ］，ｄ ＝∑ 。当加入虚拟领 Ｊ∈Ｎ 导者时，ｎ个智能体（图Ｇ表示）和虚拟领导者组成图 。智能体ｉ与虚拟Ｇ，Ｓ．＝０领导者之间的联系用Ｓ，表 示，表示智能体ｉ与虚拟领导者没有联系，Ｓ，＞０表示智 能体ｉ与虚拟领导者有联系。 定义１如果图中任意两个节点之间都存在一条路 径，则图为连通子图，如图１（ａ）所示。 定义２ ｎ个智能体由图Ｇ表示，且图Ｇ由Ｐ（Ｐ≥１） 个连通子图组成。在图中加入虚拟领导者，形成新的图 。如果图Ｇ的每个连通子图中至少有一个节点与虚 拟领导者有联系，则称图 为连通图，如图１（ｂ）所示。 （ａ）连通子图 （ｂ）连通图 图１连通子图和连通图 伍巧凤，刘 山：初始误差修正的多智能体一致性迭代学习控制 备注１智能体只能从虚拟领导者和邻居智能体那 得到信息，即使它们之间存在联系，虚拟领导者也不能 Ｘｍ＋１（０）＝ （０）一 曰（０）缈｛∑ａｊｅ址（ｏ）一ｅｊ，ｋ（０）］＋ （０））（１０） ，ＥＮｉ 得到智能体的信息。 备注２智能体间和智能体与领导者之间传递的信 息为智能体的输出轨迹或者期望参考轨迹，它们相互之 由（９）和（１０）可得（５）和（６）紧凑形式： Ｕ ＋１（ｆ）＝Ｕｋ（ ）一 间不能得到彼此的状态信息。 ３迭代学习控制方法 定义误差： ｅ （ ＝．＇， （ｆ）一Ｙ，（ｆ） （３） ． ， ｅｉｊ（ｆ）＝Ｊ，ｆ（ ）一 ， Ｏ），Ｊ∈Ⅳｆ （４） ，ｋ， 其中，Ｐ （ｆ）和ｅｉｊ，ｋ（ｆ）表示第ｋ次迭代时第ｉ个智能体 分别与虚拟领导者和其邻居之间的误差。 为了解决一致性目标（２），提出如下ＰＤ型ＩＬＣ控制 算法和初始状态学习算法： ， ＋１ ）＝ ， （ ）一≯ｆ∑口 Ｐ ， （ ）＋ｓｉｅｉ，ｋ ）７一 Ｕ 『∑ 垂 ， （ｆ）＋ ， ］１ （５） Ｕ ｊ Ｘｉ，ｋ＋１（０）＝ ， （０）一 （０）妒Ｉ∑ ， （０）＋ｓｉｅｉ，ｋ（０）ｌ（６） 其中， ∈Ｒ ， ∈Ｒ 一 为增益矩阵，Ⅳ 为智能体ｉ的 邻居智能体的集合，Ｂ（Ｏ）为输入矩阵Ｂ（ｔ）在零时刻的值。 为了第４章收敛分析的方便，做如下转换。 首先，将ｎ个智能体系统动力学方程（１）写成如下 紧凑形式： ｆ ｘｋ（ｆ）＝（ （ｆ）） （ｔ）－｝－（Ｉｎ Ｏ （ ））“ （ｆ）＋ （ｆ） Ｉｙｋ（ｔ）＝（ ｃ（ｆ）） （ ）＋ （ｆ） 其中，Ｘｋ ）＝［ （ｆ） ＸＴ （ｆ），… ＸＴ （ｆ）］ ∈Ｒ ，Ｕｋ（ ）＝［ （ｆ）， （ ），－－－， ｊ ）Ｉｒ∈ ， （ ＝［ ）， Ｔ． （ ），…， Ｔ， ）ｒ Ｒｎｍ ２， 膏（ｆ）＝［ （ｆ）， ２Ｔ （ ，…，’．，Ｔ ，七（ｆ）ｒ∈Ｒ ，＇，七（ｆ）＝［＇， 膏（ｆ）， ｌ， （ｆ），…，１， ．． （ ）］ ， ｇ￣Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ。 其次，为了得到收敛条件将控制算法（５）和初始状 态学习算法（６），做如下变换： ｅｉｊ，ｋ（，）＝Ｊ， （ｆ）一 （ ）＝（Ｊ，啦（ｆ）一 ０））一 ， （ｙｊ． （ｆ）一Ｙ，（ ））＝ｅｉｋ（ｆ卜ｅｊ（ｆ） （８） ，． 由此（５）和（６）可变换如下： Ⅳ ｆ）：Ｕｉ， ＋ （，ｋｏ）一 ｌ∑口 Ｐ ， ｏ）＋ ， （ｆ）ｌ— Ｕ Ｊ Ｊ∑ ， （ｆ）＋ ｅ。ｌ，ｋ（ ｌ＝ Ｕ Ｊ ）一 ｛∑ａ￣ｊ［ｅⅢ（，）一 ， ∽］＋ ， （ｆ） 妒∑ Ｏ）一 ， （ ）Ｊ＿＋ Ⅲ（ ）｝ （９） ，∈Ｎ ［（ ＋ ） 】Ｐ Ｏ）一［（三＋ ） 】 （，） （１１） ＋１（０）＝ （０）一（ ＋ ） （ （０） ）ｅ （０） （１２） 其中，ｅｋ（ｆ）＝［Ｐ ，Ｐ２Ｔ …，Ｆ Ｔ】 ∈Ｒ ，Ｓ＝ｄｉａｇ［ｓ１， ２，…，Ｓｎ］。 ４收敛分析 为了分析迭代学习控制算法的收敛性，引入如下范 数定义和假设。 定义３已知向量函数ＪＩｌ（ｆ），其 范数定义为： ＩＩｈ（ ［Ｉｈ（ｔ）ｌｌ｝， ＞０ 其中， ｆ可以是任何通用向量范数。 由定义３，可知 范数与定义３中采用的通用向量 范数 ｌ之间存在如下关系： ） ） ｈ） 在此给出时变矩阵Ｏ０范数的定义。 定义４已知矩阵实函数ｎ（ｔ），其Ｏ０范数定义为： 『ＩⅣ ＝ ＩｌＨ（ｔ）ｌ［ 其中，ＩＪ．Ｉｌ是定义２中所采用通用向量范数的诱导范数。 假设１对于Ｖｔ ｅ［ｏ， ］，系统干扰 （ ）和 （ｆ） 有界，即： 川一Ｗｉ≤ ， …一 ≤ ，，ｋ ， 假设２ Ｂ（ｔ）可微，且Ｂ（Ｏ）≠０。 由此进行收敛分析，由误差方程（３）可以得到： ｅ ＋ｌ（ｆ）＝ ＋Ｉ（ｆ）一１ （ （ ＝ （ ｃ ））ｘ ＋ｌ ）＋Ｖ ＋１ ）一１ Ｙ （ ）＝ （ ｃ（ｆ）） （ｆ，Ｏ）ｘｔ＋ （０）＋（ ｃ（ｆ））× Ｊ ，ｆ）［（ Ｑ Ｂ（ｒ））ｕ…（ｒ）＋Ｗｋ＋ｌ（ｆ） ｝＋ ＇，…（ｆ）～１ Ｙ，（ ） （１３） 其中， （ｆ，０）为系统（７）的状态转移矩阵，则式（１２）代入 式（１３）可得： ｅ…（ｆ）＝（Ｉ Ｃ（ ）） （ｆ，０）× ［ （０）一（上＋ ） （ （０） （０）］ Ｉｘ （０）一（ ＋ ） （ （０） ） （０）］＋（ ｃ ））× Ｊ０ ｏ（ｔ，ｒ）［ Ｂ（０ｕ…（ｒ）＋Ｗ…（ｒ） ＋ ＇，…（ｆ）一１ Ｙ，（ ）＝（ ｃ（ｆ） （ ，Ｏ）ｘ （０）一 （ ｃ（ ）） （ｆ，０）［（ ＋ ） （ （０） ）】Ｐ （０）＋ （ ｃ（ｆ））ｘ Ｊｎ （ ，ｆ）［（ （ｆ））“…（ｒ）＋ｗ…（ｒ） ＋ …（≠）一１ Ｙ，（０ （１４） Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 因为： 证明为了简撇ｇ ＝ ｓ ｕｐ，定义符号：ｇ ［。，］，ｓｕ ｐｆ∈『ｅｋ（ ）＝ （ ）一１ Ｙ，（ｆ）＝ ］ＩＩｊ ｃ（ｆ）ｌｌ＇ ， （ （Ｊ ｃ（ｆ）） （ｆ）＋＇， ）一１ Ｊ＇， ）＝ ｃ（ ）｛ （ｆ，Ｏ）ｘ （０）＋ ［。，】，ｐＩＩＩ吐’（ ，０）１１，ｑ￣＝ ｓｕ Ｉ ’（０，ｆ）１１，ｑ￣，＝ ｓｕ ｐｌ （ｌｆ）１１， ］ｑｌ＝ ｓｕｐ， ＋ ） （ （ｒ） 。 Ｉｏ￣（ｔ， ）［（ ＇， Ｏ）一１ （ｆ））ｌｆ （ｒ）＋ （ｆ）］ｄｒ）＋ （１５） 对等式（１９）两边取范数： Ｙ ） ｆｌｅｋ＋１（ｆ）ｌｌ≤ｌＩ 一［（ ＋ ） （ｃ（ｆ） （ｆ）妒）］ＩｌＩ （ｌｆ）ｌｌ＋ 式（１４）减去式（１５）得： ｅ…（ｆ）一ｅｋ（ｆ）＝－（Ｉ ｃＯ） （ ，０）× ｑｃｇ Ｊ ｇ ｇ，ＩＩ （ｒ）ｌｉｄｒ＋ｇ Ｊ ｔｇ ＩＩｅ （ｒ）ｌｉｄ ＋ ｑｃｑ ｑ ｌ ＋ｌ （ ）一 ）ｌｉｄ ＋ ［（ ＋ ）（ （ （０） ）】８ （０）＋（Ｌ ｃ（ｆ））× Ｊ。 （ｆ，ｒ）（ （ ）） ＋ （ｆ）一 （ｒ）］出＋ （ Ｃ（ｔ））ＩｏｑＪ（ｔ，Ｏ［ｗ ＋１（ｒ）一ｗ （ｒ）】ｄｒ＋ ｌ，…（ｆ）一Ｖｋ（ｆ） （１６） 式（１１）代入式（１６）得： Ｐ ＋ｌ（ｆ）一Ｐ （ ＝一（Ｊ ｃ（ ） ，０）× ［（三＋ ） （曰（０） ）］Ｐ （０）一（ （ ））× ｊｏ （ ， ）［（ ＋ ） （ （ｒ）妒） （ｆ）出＋ （ ｃ（ｆ））Ｊ０ （ｆ，Ｏ［ｗ…（ｒ）一 （ ） ＋ ＇，…（ｆ）一Ｖｋ（ｆ） （１７） 令 （ ）： 之 Ｑ ｊ。 ｏ， ）［（三＋ ） （ （ｒ） ）］垂 （ｒ）ｄｒ＝ ［（上＋ ） （ （ｆ） ）】Ｐ （ｆ）一 ，０）［（三＋ ） （ （０） ）］Ｐ （０）一ＪＯ （ ）Ｐ （ｒ）ｄｒ （１ ８） 式（１８）代入式（１７）可得： ｅ ＋ｌＯ）＝｛Ｉ－［（三＋Ｓ） （Ｃ（ｆ） ）缈）］｝Ｐ （ｆ）一 （ｊ ｃ（ｆ）） （ｆ，０）ｊ。 （０，ｒ）［（￡＋ ） （ （ｒ） ）］Ｐ （ｆ）ｄｒ＋（Ｉｎ ｃ ））× （ｆ ｅｋ（ ）ｄＨ（ ｃ（ｆ））× ｏ，ｏ）ｊ。 （０，ｒ）［ｗ ＋ｌ（ｆ）一¨， （ｒ）］ｄｒ＋ ｌ，…（ｆ）一 （ ） （１９） 由以上分析和转换，可得系统收敛的条件，见下面 引理１和定理１。 引理１若图 为连通图，则与图 关联的对称矩 阵Ｍ＝Ｌ＋ 为正定矩阵。其中三为图Ｇ的Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵， ＝ｄｉａｇ［ｓ１， ２，…， ］。 证明见文献［２２］。 定理１考虑多智能体系统（１）和参考轨迹Ｙｒ（ｔ），应 用ＰＤ型ＩＬＣ控制算法（５）和初始状态学习算法（６），如 果存在增益矩阵 Ｒ ～ 使得 ＩＩＪ一［（三＋ ） （ｃ（ｆ） ）妒）］ｌｌ～＜１ （２０） 则Ｙ，（ｆ）渐近收敛于Ｊ，，（ｆ），也就 ｊ＝｝ 着式（２）的—致目标可得。 ＋ （ｆ）一 （ｆ）Ｉｌ 两边同时乘以Ｐ （ ＞０） ｅ一 ＩＩｅ ＋ （ｆ）Ｉｌ≤ｌＩｊ一［（￡＋ ） （ｃ（ｆ） Ｑ） ）］ＩＩｅ一“ｌＩ （ ）ｌＩ＋ ｑｃｇ ｇ ｇ，ｅ－￣ｔｌ ｌｅｋ（ｒ）ｌｉ ｄｒ＋ ｑｃｑ ｅ ２ｔＩＩｅｋ（ｒ） ＋ ｑｃｑ ｑ Ｊ。 Ｉｌｗｋ＋ （ｒ）一 ）ｌｉｄ ＋ Ｐ ｍＩｌｌ， ＋ （ｆ）一＇，七（ｆ）ｌ ｌ应用定义１： ｌｌｅｋ＋￣ｌＩｊ≤ＪＩ，一［ ＋Ｓ）￣（Ｃ（ｔ）Ｂ（ｔ）￣Ｐ）ｌｌｌｌｅｋ『ｌ】＋ ｑｃ ｇ ｇ ｇ，ｇ『 Ｊｏ ｅ ‘一”ＩＩＰ ＩＩｌｆ ｄ ｒ＋ ｇ。ｇ Ｊ 一 ＩＩｅｋＩ ｄｒ＋ ｑｃｇ ｇ Ｉｏｅ￣（ｚ－Ｏ［［Ｗ ＋ （ ）一 （ｒ）１１ ｄ ＋ ｌ Ｖ…（ｆ）一 （ｔ）ｌ ｌ≤ ｌｌ ｊ一【 ＋ ） （ｃ（ｆ） （ｆ） ）】ｌ¨Ｉ ｅｋ （ｇ。ｑ ｑ ｑ，ｌｌｅｋｌ Ｊ＋ｇ。ｑ ｌｌｅｋｌ ｌ＋ ｑｃｇ ｑ ｑ ） ＿＝二 ＋ｑ 令。（ ）： 则： ／Ｌ ｌｌｅｋ＋ｌ Ｉ １一［ ＋ ） （Ｃ（ｆ） （ｆ）妒）划 ｅｋ ＋ （ｇ。ｑ ｑ ｑ『ｌ】ｅｋ ｇ ｑ ｌ ｌｅｋ ｌ『ｊ＋ ｑｃｑ ｑ ｑ ）０（ 一 ）＋ｇ 令 ＝１１ｉ～［（上＋ ） （ｃ（ｆ） （｝） ）］ｌ ＋（ｇ ｑ ｑ ｑ ＋ｇ ｑ ） ， ｐ＝ｑ ｑ ｑ ｑ ／２＋ｑ ，因为Ｄ（ 一 ）≤ １则： ＾ １ ｅｋ＋１ Ｉ１ｅｋＩｌ】＋ （２１） Ｉ ≤ａ （２２） 当 取得足够大，以及可得的收敛条件 Ｉ 一［ ＋ ） （ｃ（ｆ） （ｆ） ）］』ｌ一＜１，则式（２２）为： ２ ≤ 当系统干扰为０或者随着迭代次数ｋ的增大ｑ ０， 则Ｐ ） ｏ，并且智能体系统初始状态Ｘ （０）－－ｆＸ （０）。 伍巧凤，刘 山：初始误差修正的多智能体一致性迭代学习控制 定理１得证。 备注３由引理１，当无向图 为连通图时矩阵 ＋ ）为正定矩阵，则矩阵一 ＋ ）为Ｈｕｒｗｉｔｚ稳定矩 。 阵，因此可以找到一个增益矩阵妒，使得条件（２０）成立。 ５仿真 一图２智能体与领导者关系连通图 个包含４个智能体和１个虚拟领导者的多智能体 期望参考轨迹如式（２４），期望轨迹对应４个智能体 的初始状态： Ｊ， ） （２４） 系统，如图２所示。第ｉ个智能体的动力学方程为如式 （２３）和（２４）： （ ）＝ （ ∽爿。 ∽＋ 力 ｒ， ｌ ， ｃ’ ） ， （ｆ）＋ｌ， ， ），ｉ １，２，…， 、式中ｒ为随机数。 首先，选取迭代学习增益矩阵 和妒满足定理１收 其中， ｃ ＝厂＿２ 一 ＿１２ ，曰ｃ ＝ ，ｃｃ ＝ ０］， 敛条件即式（２０），由此可得系统ＰＤ型迭代学习律（５）和 ｌ’ｏ）＝０・０５ ｌ ２ｃ ｃ。ｏ ｓ‘ （１。０ Ｉｒｔｔ） Ｉ ，ｗ（ｔ）＝０．０５ｒｌ２ｓａ ｉｓｎｔ．ｉＪ ｎ（ｋ１ｘ（０ｕ１。０ｎ￣尢ｔ ） １ｌ。 ｏ）＝。．。５ｒ初始状态学习律（６），应用式（５）和式（６）于上述系统，可 得智能体跟踪状态图３。 （ａ）迭代次数１０ （ｂ）迭代次数６０ （ｃ）迭代次数１５０ 图３智能体跟踪图 ３４ ２０１４，５０（１） ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 一 一 Ｏ Ｏ ０ ２ Ｏ ２ ４ 迭代次数 图４误差图 ０．６ 柏 ０．４ 萋。一２ ０ —０ ２ 迭代次数 —０．６ 迭代次数 图５各智能体初始状态学习图 由图３可知，随着迭代次数的增加，４个多智能体在 ［２］Ｌｉａｎ Ｚｈａｏｔｏｎｇ，Ｄｅｓｈｍｕｋｈ Ａ．Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ 时间问隙［０，４０］内完全跟踪上参考轨迹。图４为 个智 能体误差范数收敛图，由图可知，大概在迭代１００次的时 候系统的误差范数就基本趋于０。由图５可知，跟随者 智能体初始状态也渐近收敛于参考轨迹对应的初始状 态。这意味着，多智能体系统利用上述ＰＤ型迭代学习 控制律和初始状态学习律能实现有限时间内的完全跟 蹿仵鐾 ｕｎｍａｎｎｅｄ ａｉｒｂｏｍ ｖｅｈｉｃｌｅ ｍｕｌｔｉ—ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２００６，１７２（２）：６８０—６９５． ［３］Ｋｈｏｏ Ｓ Ｙ，Ｘｉｅ Ｌｉｈｕａ，Ｍａｎ Ｚｈｉｈｏｎｇ．Ｒｏｂｕｓｔ ｆｎｉｔｅ—ｔｉｍｅ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｔｒａｃｋｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｒｏｂｏｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ／ＡＳＭＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ，２００９，１４（２）： ・ 【４］Ｖｉｃｓｅｋ Ｔ，Ｃｚｉｒｏｋ Ａ，Ｊａｃｏｂ Ｅ Ｂ，ｅｔ ａ１．Ｎｏｖｅｌ ｔｙｐｅ ｏｆ ｐｈａｓｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｓ ｉｎ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｓｅｌｆ－ｄｒｉｖｅｎ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ ６结论 Ｒｅｖ Ｌｅｔｔ，１９５５，７５（６）：１２２６—１２９９． 由于分布式多智能体系统的各智能体只能获得与 它有联系的邻居智能体的信息，且仅有部分智能体能够 获得期望参考轨迹的信息，本文提出了一种实现多智能 体系统有限时间内的一致性跟踪的分布式迭代学习控 制算法。该算法无需知道期望参考轨迹所对应的初始 状态，利用ＰＤ型控制输入和初始状态修正的迭代学习 ［５］Ｊａｄｂａｂａｉｅ Ａ，Ｌｉｎ Ｊｉｅ，Ｍｏｒｓｅ Ａ Ｓ．Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｍｏｂｉｌ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ａｇｅｎｔｓ ｕｓｉｎｇ ｎｅａｒｅｓｔ ｎｅｉｇｈｂｏｒ ｒｕｌｅｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，２００３，４８（６）： ９８８．１Ｏ０１． ［６］Ｏｌ￣ｔｉ—Ｓａｂｅｒ Ｒ，Ｆａｘ Ｊ Ａ，Ｍｕｒｒａｙ Ｒ Ｍ．Ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ａｎｄ ｃｏｏｐ— ｅｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｎｅｔｗｏｒｋｅｄ ｍｕｌｔｉ—ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ，２００７，９５ｆ！ ：２１ ５ ２３３． 律来实现多智能体的跟踪任务，最后的跟踪误差有界且 仅仅依赖于系统干扰。 ［７］Ｒｅｎ Ｗｅｉ，Ｂｅａｒｄ Ｒ Ｗ，Ａｔｋｉｎｓ Ｅ Ｍ．Ａ ｓｕｒｖｅｙ ｏｆ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｍｕｌｔｉ—ａｇｅｎｔ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ【Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏ１ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，８一ｌ ０ Ｊｕｎｅ，２００５，３： 参考文献： 【１】Ｙａｎｇ Ｇｕａｎｇ，Ｙａｎｇ Ｑｉｎｇｓｏｎｇ，Ｋａｐｉｌａ Ｖ，ｅｔ ａ１．Ｆｕｅｌ ｏｐｔｉｍａｌ ｍａｎｏｅｕｖｒｅｓ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｐａｃｅｃｒａｆｔ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｒｅｃｏｎｆｉｇｕｒａ— １８５９一ｌ８６４． ［８】Ｏｌｆａｔｉ—Ｓａｂｅｒ Ｒ，Ｍｕｒｒａｙ Ｒ Ｍ．Ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｏｆ ａｇｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，２００４，４９（９）：１５２０—１５３３． ｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｍｕｌｔｉ—ａｇｅｎｔ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｎａｒｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｒｏｂｕｓｔ ａｎｄ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｃｏｎｔｒｏ１，２００２，１２（２／３）：２４３．２８３． ［９］Ｓｈｉ Ｈｏｎｇ，Ｗａｎｇ Ｌｏｎｇ，Ｃｈｕ Ｔｉａｎｇｕａｎｇ．Ｖｉｒｔｕａｌ ｌｅａｄｅｒ 伍巧凤，刘 山：初始误差修正的多智能体一致性迭代学习控制 ２０１４，５０（１） ３５ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｍｏｂｉｌｅ ａｇｅｎｔｓ ｄｅｃｅｎｔｒａｌｉｚｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ｔｉｍｅ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｒａｃｋｉｎｇ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｐｈｅｎｏｍｅｎａ： ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２Ｏ１０，５９（９）：５２２．５２９． Ｐｈｙｓｉｃａ Ｄ，２００６，２１３（１）：５１—６５． ［１ ６］Ａｈｎ Ｈ Ｓ，Ｃｈｅｎ Ｙａｎｇｑｕａｎ．Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ［１ ０］Ｒｅｎ Ｗｅｉ．Ｍｕｌｔｉ—ｖｅｈｉｃｌｅ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｗｉｔｈ ａ ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ ｒｅｆ－ ｍｕｌｔｉ・－ａｇｅｎｔ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ［ＣＪ／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＣＲＯＳ・－ＳＩＣＥ ｅｒｅｎｃｅ ｓｔａｔｅ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ＆Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００７，５６（７／８）： Ｉｎｔｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｉｎｔ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，２００９． ４７４—４８３． ［１ ７］Ｙａｎｇ Ｌｉｕ，Ｊｉａ Ｙｉｎｇｍｉｎ．Ａｎ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ［１ １］Ｈｕ Ｊｉａｎｇｐｉｎｇ，Ｈｏｎｇ Ｙｉｇｕａｎｇ．Ｌｅａｄｅｒ－ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｍｕｌｔｉ・ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ＆ ｏｆ ｍｕｌｔｉ—ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ｓｔａ— Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１２，６１（１）：１４８一Ｉ５４． ｔｉｓｔｉｃａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ：Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，２００７， ［１ ８］Ｍｅｎｇ Ｄｅｙｕａｎ，Ｊｉａ Ｙｉｎｇｍｉｎ，Ｄｕ Ｊｕｎｐｉｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｔｒａｃｋｉｎｇ ｃｏｎ－ ３７４（２）：８５３．８６３． ｔｒｏｌ ｏｖｅｒ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ—ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ［１ ２］Ｋｈｏｏ Ｓ，Ｘｉｅ Ｌ，Ｍａｎ Ｚ．Ｒｏｂｕｓｔ ｉｆｎｉｔｅ—ｔｉｍｅ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｔｒａｃｋｉｎｇ ａ ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ＆Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｒｏｂｏｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ／ＡＳＭＥ Ｔｒａｎｓ— Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１２，６１（７）：８０７—８１８． ａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ，２００９，１４（２）：２１９—２２８． 【ｌ ９］任雪梅，高为炳．任意初始状态下的学习控制［Ｊ】．自动化学 ［１ ３】Ｗａｎｇ Ｌｏｎｇ，Ｘｉａｏ Ｆｅｎｇ．Ｆｉｎｉｔｅ—ｔｉｍｅ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ 报，１９９４，２０：７４．７９． ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ａｇｅｎｔｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ［２０］黄宝健，孙明轩，张学智．带有初始误差修正的迭代学习 Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，２０１０，５５（４）：９５０—９５５． 控制［Ｊ］．自动化学报，１９９９，２５（５）：７１６—７１８． ［１４］Ｗａｎｇ Ｘｉａｏｌｉ，ＨＯＮＧ Ｙｉｇｕａｎｇ．Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｆｉｎｉｔｅ－ｔｉｍｅ ［２ １】Ｃｈｅｎ Ｙａｎｇｑｕａｎ，Ｗｅｎ Ｃｈａｎｇｙｕｎ，Ｇｏｎｇ Ｚｈｉｍｉｎｇ．Ａｎ ｉｔｅｒ— Ｚ－ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ－－ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｖａｒｉ・－ ａｔｉｖｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｗｉｔｈ ｉｎｉｔｉａｌ ｓｔａｔｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ ａｂｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９９，４４（２）：３７１ ３７６． ａｎｄ Ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，２０１０，２３（２）：２０９－２１８． ［２２】Ｈｏｎｇ Ｙｉｇｕａｎｇ，Ｈｕ Ｊｉａｎｇｐｉｎｇ，Ｇａｏ Ｌｉｎｘｉｎ．Ｔｒａｃｋｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ［１５］Ｃａｏ Ｙｏｎｇｃａｎ，Ｒｅｎ Ｗｅｉ，Ｍｅｎｇ Ｚｉｙａｎｇ．Ｄｅｃｅｎｔｒａｌｉｚｅｄ ｆｉｎｉｔｅ－ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ－－ａｇｅｎｔ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｗｉｔｈ ａｎ ａｃｔｉｖｅ ｌｅａｄｅｒ ａｎｄ ｖａｒｉ－－ ｔｉｍｅ ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ａｂｌｅ ｔｏｐｏｌｏｇｙ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，２００６，４２（７）：１１７７－１１８２． （上接２３页） ｅｄｇｅ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｓｅｒｖｉｃｅ Ｓｃｉ— ｅｎｃｅ，２０１３，５（９）：２６２—２６９． ５结束语 ［６］Ｎｏｕｒｉｎｅ Ｌ，Ｒａｙｎａｕｄ Ｏ．Ａ ｆａｓｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｌａｔ－ 在实际应用中，某些对象的消失是一种极为常见的 ｉｒｃｅｓ［Ｊ］．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｌｅｔｔｅｒｓ，１９９９，７１（１）：１９９—２０４． 情形。概念格是对客观事物的抽象描述，研究概念格以 ｆ７］Ｇｏｄｉｎ Ｒ，Ｍｉｓｓａｏｕｉ Ｒ．Ａｌａｏｕｉ Ｈ．Ｉｎｃｒｅｍｅｎｔａｌ ｃｏｎｃｅｐｔ ｆｏｒ— 及关联规则的更新具有十分重要的应用价值。本文研 ｍａｉｒｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇａｌｏｉｓ（ｃｏｎｃｅｐｔ）ｌａｔｔｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍ— 究了删除对象时概念格的渐减维护与关联规则更新。 ｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，１９９５，１１（２）：２４６—２６７． 今后，还需要研究各种概念格扩展模型上的概念格渐减 ［８］Ｓｔｕｍｍｅ Ｇ，Ｔａｏｕｉｌ Ｒ，Ｂａｓｔｉｄｅ Ｙ，ｅｔ ａ１．Ｆａｓｔ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ 维护和关联规则更新问题。 ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｕｓｉｎｇ ｄａｔａ ｍｉｎｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ７ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ Ｒｅｐｒｅ— ｓｅｎｔａｔｉｏｎ Ｍｅｅｔｓ Ｄａｔａｂａｓｅｓ．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ 参考文献： Ａａｃｈｅｎ，２０００：１２９—１３９． ［１］Ｇａｎｔｅｒ Ｂ，Ｗｉｌｌｅ Ｒ．Ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎａｌｙｓｉｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ［９］谢志鹏，刘宗田．概念格的快速渐进式构造算法［Ｊ］．计算机 ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９９９． 学报，２００２，２５（５）：４９０．４９６． ［２］Ａｖｅｒｓａｎｏ Ｌ，Ｂｒｕｎｏ Ｍ，Ｃａｎｆｏｒａ Ｇ，ｅｔ ａ１．Ｕｓｉｎｇ Ｃｏｎｃｅｐｔ 【１０］张磊，张宏莉，殷丽华，等．概念格的屙『生渐减原理与算法研 ｌａｔｔｉｃｅｓ ｔｏ ｓｕｐｐｏｒｔ ｓｅｒｖｉｃｅ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ 究［Ｊ］．计算机研究与发展，２０１３，５０（２）：２４８—２５９． ｏｆ Ｗｅｂ Ｓｅｒｖｉｃｅｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２００６，３（４）：３２—５１． ［１ １］智慧来，智东杰．关系粒度的概念格增量维护与关联规则 ［３］Ｎｇｕｙｅｎ Ｔ Ｔ，Ｈｕｉ Ｓ Ｃ，Ｃｈａｎｇ Ｋ．Ａ ｌａｔｔｉｃｅ—ｂａｓｅｄ ａｐｐｒｏａｃｈ 更新［Ｊ］．计算机科学，２０１３，４０（４）：２５６—２５８． ｆｏｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｅａｒｃｈ ｕｓｉｎｇ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］． ［１２］谢志鹏，刘宗田．概念格与关联规则发现［Ｊ】．计算机研究与 Ｅｘｐｅｒｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１２，３９（５）：５８２０－５８２８． 发展，２０００，３７（１２）：１４１５－１４２１． ［４］Ｋａｎｇ Ｘｉａｎｇｐｉｎｇ，Ｌｉ Ｄｅｙａ，Ｗａｎｇ Ｌｕｇｅ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｄｏｍａｉｎ ［１ ３］Ｐａｓｑｕｉｅｒ Ｎ．Ｃｌｏｓｅｄ ｓｅｔ ｂａｓｅｄ ｄｉｓｃｏｖｅｒｙ ｏｆ ｓｍａｌｌ ｃｏｖｅｒｓ ｏｎｔｏｌｏｇｙ ｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅ［Ｊ］． ｆｏｒ ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ｒｕｌｅｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ Ｏｉｌ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ—Ｂａｓｅｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２０１２，２７（５）：１５２・１６１． Ｊｏｕｍ６ｅｓ Ｂａｓｅｓ ｄｅ Ｄｏｎｎ６ｅｓ Ａｖａｎｃ６ｅｓ（ＢＤＡ），１９９９：３６１—３８１． ［５】Ｚｈｉ Ｈｕｉｌａｉ，Ｈｕｏ Ｚｈａｎｑｉａｎｇ，Ｍａｏ Ｊｕｎ．Ｈｕｍａｎ ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ ａｎａｌ— 【１４］智东杰，智慧来，刘宗田．概念格的内涵缩减研究［Ｊ］计算机 ｙｓｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ ｏｆ ｋｎｏｗｌ— 工程与应用，２００９，４５（１）：４２—４４．
