三角函数的题型和方法
一、思想方法
1、三角函数恒等变形的基本策略。
（ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=cos2θ +sin2 θ=tanx· cotx=tan45 °等。
（ 2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： sin2x+2cos 2x=(sin 2x+cos2x)+cos 2x=1+cos2x；配凑角：α =（α + β）－β，β =
－
等。
2 2
（ 3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（ 4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）
。
（ 5）引入协助角。 asinθ +bcosθ = a 2 b2 sin(θ + )，这里协助角 所在象限由 a、b 的符号确立，角的值由 tan = 确立。
b
a
（ 6）全能代换法。巧用全能公式可将三角函数化成 2、证明三角等式的思路和方法。
tan
的有理式。
2
（ 1）思路：利用三角公式进行假名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （ 2）证明方法：综合法、剖析法、比较法、代换法、相消法、数学概括法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、剖析法，利用函数的单一性，利用正、余弦
函数的有界性，利用单位圆三角函数线及鉴别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（ 1）发现差别：察看角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差别剖析”
。
（ 2）找寻联系：运用有关公式，找出差别之间的内在联系。 （ 3）合理转变：选择适合的公式，促进差别的转变。
二、注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目种类多样，变化仿佛复杂，办理这种问
题，注意以下几个方面：
1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能
低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思想与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
(
) ( ) 2
1
2 2
2 ．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
熟习常数“ 1”的各样三角代换：
1 sin2
cos2 sec2 tan2
cos sec sin
cos0 tan
2 sin
等。
2
4
6
注意全能公式的利害：它可将各三角函数都化为
tan
的代数式，把三角式转变为代数式．但常常代
2
数运算比较繁。
熟习公式的各样变形及公式的范围，如 sin α= tan α·cos α， 1 cos
2cos
2
，
1
cos
tan
等。
2 sin
2
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行起落幂办理，如
1 cos
2 sin2
，
2
2
2
1 sin
sin
cos
， 1 sin sin
cos
等．从右到左为升幂，这种变形有益用根式的化
2
2
2
2
简或通分、约分；从左到右是降幂，有益于加、减运算或积和（差）互化。
3、几个重要的三角变换：
sin αcos α可凑倍角公式； 1± cos α可用升次公式；
1± sin α可化为 1 cos
2 ，再用升次公式；
asinb cos
a
2
b2
sin
（此中 tanb
）这一公式应用宽泛，娴熟掌握。
a
4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数
y = sin x、y = cos x、 y = tan x、cot x 的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线获得的，所以应娴熟掌握三角函数线并能应用它解决一些 有关问题．
5、三角函数的图像的掌握表此刻：掌握图像的主要特色（极点、零点、中心、对称轴、单一性、渐
近线等）；应该娴熟掌握用“五点法”作图的基来源理以及迅速、正确地作图。
6、三角函数的奇偶性结论：
① 函数 ＋ φ是奇函数
k
。
y = sin (x )
k Z
② 函数 y = sin (x＋ φ)是偶函数
k
。
2k
Z
③ 函数 y =cos (x＋φ)是奇函数
k
k
Z 。
2
④ 函数 y = cos (x＋ φ)是偶函数
k
k Z 。
7、三角函数的单一性
三、典型例题与方法
题型一 三角函数的观点及同角关系式
此类题主要观察三角函数引诱公式及三角函数的符号规律
.解此类题注意必需的分类议论以及三角函
数值符号的正确选用。
y =
1、三角函数的六边形法例。
2、几个常用关系式：
（ 1）
，三式知一求二。
2 （2） 1
sin
1 sin
。2
（ 3）当 x
0,
时，有 sin x x tan x 。
2
3、引诱公式（奇变偶不变，符号看象限） 。
4
。
5、熟记关系式
sin x
cos
x cos x
； cos x
sin
x
。4
4 4 4
4
【例 1】记 cos( 80 ) k ,那么 tan100
（
）
A 、1 k 2
1 k2
B 、﹣
C、k
D、﹣k
k
k
1 k2
1 k 2
解： sin80 o 1 cos2 80 o 1 cos2 ( 80o)
1 k 2 ,
osin 80o
1 k 2 .。应选 B tan100 tan80
cos80
o
k
评注： 本小题主要观察引诱公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转变思想的应用。同时
娴熟掌握三角函数在各象限的符号。
【例 2】 cos300
（
）
A 、3
B、 -1
C、1
D、3
2
2
2
2
解： cos300
cos 360 60
cos601
2
评注： 本小题主要观察引诱公式、特别三角函数值等三角函数知识。 练习：
1、 sin585°的值为（ ）
A 、2 2
B、
C、3
D、3
2
2
2
2
2、以下关系式中正确的选项是（
）
A 、 sin110
cos100 sin168 0 B、 sin168 0 sin110
cos100
、
C、 sin110
sin168 0 cos100 4 5 2k (k
, tan
D 、 sin168 0 cos100
sin110
3、若 sin
0 ，则 cos
．
4、 “
Z ) ”是“ cos 2
1 2
”的（）
6
C、充足必需条件
A 、充足而不用要条件
B、必需而不充足条件
D、既不充足也不用要条件
5、 若 cos
A 、
2sin
5, 则 tan
B、 2
( 1 2
)
D、 2
1
C、
2
题型二 化简求值
这种题主要观察三角函数的变换。解此类题应依据考题的特色灵巧地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和引诱公式，进行化简、求值。
【例 3】已知
为第三象限的角，
cos 2
3 5
,则 tan(
2 )
4
3 2
。
解：
为第三象限的角
2k
< < 2k
4k
2 <2 < 4k
又cos2
3
3 ( K
Z )
<0,
sin 2
4 5
,
5
sin 2 cos2
tan 2
4 3
tan
2 )
tan(
4
4
tan2
1 1
4
3
1
.
1 tan tan2
4 4
3
7
评注： 此题主要观察了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵巧运用。是一道综合性较强的题目。
【例 4】已知 tan
2 ，求（ 1）
cos
cos
sin ；（ 2） sin 2 sin
sin .cos2 cos2
的值。
解：（ 1）
cos cos
sin sin
sin
1
cos
1 tan 1 tan
1 1
2 2
3 2 2 ；
2
1 sin cos
2
sin 2
sin cos 2 cos2 sin2
cos2
(2) sin sin cos 2 cos
sin 2
cos2
sin
2
cos
22
2 2 2 1
4
3
2
sin2 cos
1
评注： 利用齐次式的结构特色（假如不具备，经过结构的方法获得） 简化。
，进行弦、切互化，就会使解题过程
练习：
1、已知 tan
A 、
2 ，则 sin 2
B、
sin cos 5
2cos 2
C、
4 3
3 4
D 、
4
4
sin xcos x 最小值是（
B 、
5
2、函数 f (x)
A 、-1
） C、
1 2
1 2
）
D 、 1
3、 “ sin
1
2
”是“ cos2
1
”
的（
2
A 、充足而不用要条件
B 、必需而不充足条件 D、既不充足也不用要条件
C、充要条件
题型三 函数
的图像及其性质
的影响。
图像变换是三角函数的观察的重要内容，解决此类问题的要点是理解
判断，以及伸缩变换对
A 、
的意义，特别是
的
【例 5】为了获得函数 y sin(2 x
) 的图像，只需把函数 y 3
sin(2 x
个长度单位
) 的图像（ 6
）
A 、向左平移 个长度单位 B、向右平移
4
C 向左平移
个长度单位
4
个长度单位
D 向右平移
2
y sin(2 x
) = sin 2( x 6
sin(2 x
) = sin 2( x 3
2
解：
) ， 12 6
y
) ，
将 y sin(2 x
) 的图像向右平移 6
个长度单位获得
y
4
sin(2 x) 的图像，
3
应选 B.
评注：此题主要观察三角函数的图象变换中的平移变换、
对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的要点。
【例 6】设 >0,函数 y=sin( x+
（
伸缩变换， 特别是函数 y Asin( x ) 中的
)+2 的图像向右平移
）
A 、
解 ：
3
B 、
4 个单位后与原图像重合，则 3
的最小值是
2 3
4
3
C、
3
D 、 3
2
x+
将 y=sin(
)+2 的 图 像 向 右 平 移
4 3
个 单 位 后 为
3
] 2 sin( x
3
4
3
) 2
y sin[ (x
4 ) 3 3
4 3
=2k
,
即
3k
2
又 故
0 ，
3k ≥ 3 ， 2 2
k≥ 1
所以选 C
评注： 此题观察了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，观察了同学们对三角函数图像知识灵
巧掌握的程度。
【例 7】函数 f (x)
(1 3 tan x) cos x 的最小正周期为（
） D、
A 、 2
B、
3
C、
2
2
【答案】 A
【分析】由 f ( x)
(1
3 tan x)cos x cos x
3 sin x
2sin( x
) 可得最小正周期为 2 6
,
【例 8】函数 y
【答案】 1
2cos 2 x sin 2x 的最小值是 _____________________ 。
2
【分析】 f ( x) cos 2x
sin 2 x 1
2 sin(2 x
) 1 ，所以最小值为： 1 4
2
f (x) 【例 】若函数
(1
3 tan x) cos x， 0
x
2
，则 f ( x) 的最大值为（
）
A 、1
B、 2
C、 3
1
D、32
【答案】 B 【分析】由于
f ( x) (1
3 tan x) cos x = cos x
3sin x = 2cos( x
) 3
当 x
3
是，函数获得最大值为
2。 应选 B。
练习：
1、将函数 y
sin x 的图像向左平移
( 0
＜ 2
) 的单位后， 获得函数 y
sin( x
) 的图像，则 6
等
于（ A 、
）
B 、
5
C、
7
D 、
11
6
6
6
x
)( 4 1 4
6
2、若将函数 y tan(
0) 的图像向右平移
个单位长度后，与函数
y
tan( x
6
) 的图像 6
重合，则 A 、
的最小值为（
）
1
B、
C、
1 3
D 、
1 2
6
3、将函数 y sin 2x 的图像向左平移
4
个单位，再向上平移 1 个单位 ,所得图像的函数分析式是 ()
A 、 y
cos 2x
B 、 y 2cos2 x
C、 y 1
sin( 2x
4
)
D 、 y
2sin 2 x
4、已知函数 f (x)
sin( wx
)(x 4
R, w
0) 的最小正周期为
， y
f (x) 的图像向左平移 | |个单
位长度，所得图像对于 A 、
y 轴对称，则
C、
的一个值是（
D、
）
B 、 3
2
8
sin(
x
4
8
0) 的最小正周期为
5、已知函数 f (x)
)( x R, 4
，为了获得函数
g( x) cos x的图像，
只需将 y f (x) 的图像（
个单位长度
）
A 、向左平移
B、向右平移
个单位长度
8
C、向左平移
8
D、向右平移
个单位长度 个单位长度
6、已知 a 是实数，则函数
4
4
的图像不行能
1 a sin ax ．．．
是 ()
f ( x)
7、已知函数 f ( x) =Acos( x
)的图象如下图，
A 、
2 3
B、
2 3
C、－
1 2
D 、
f ( )
2 1 2
2 3
，则 f (0) =（
）
8、函数 y
Asin( x ) （ A, , 为常数， A 0,
=
.
0 ）在
闭区间 [
,0] 上的图像如下图，则
9、已知函数 y=sin （ x+ ）（ >0, - < ）的图像如下图，则 =________________
10、已知函数 f ( x) 2sin( x
) 的图像如下图，则 f
7 。
12
11、已知函数 f (x) sin( x )( 0) 的图像如下图，则
＝
12、已知函数 f ( x) 3 sin x cos x(
0) ， y
f ( x) 的图像与直线 y 2的距离等于
，则 f ( x) 的单一递加区间是（
）
A 、 [ k5 ], k
11
,k
Z
5
B 、 [k
, k ], k Z
12
12
12
12
C、 [ k
, k ], k Z D、 [k,k2
], k Z
3
6
3
13、假如函数 y 3sin(2 x) 的图像对于点(46
,0) 中心对称，那么
| | 的最小值为（
3
A 、
B、
C、
D 、
6
4
3
2
14、已知函数 f ( x)
sin( x
)( x R) ，下边结论错误
的是（ ）
．．
2
A 、函数 f ( x) 的最小正周期为 2
B 、函数 f ( x) 在区间 [0,
] 上是增函数
2
C、函数 f ( x) 的图像对于直线 x ＝ 0 对称
D 、函数 f ( x) 是奇函数
15、若
x，则函数 y tan 2x tan3 x 的最大值为
。
4
2
）
的两个相邻交点
16、已知函数 f ( x) sin 2x
2sin 2 x
（ 1）求函数 f ( x) 的最小正周期。
（ 2）求函数 f ( x) 的最大值及 f (x) 取最大值时 x 的会合。 17、已知函数 f ( x)
1
sin 2x sin
cos x cos
2
1 sin(
2
)(0
) ，其图像过点 (
6
, )。
1
2 2 2
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ） 将函数 y
f (x) 的图像上各点的横坐标缩短到本来的
1
，纵坐标不变， 获得函数 y
g( x) 的图像，
2
求函数 g ( x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值。
4
cos(2 x)
3
18、设函数 f (x)
sin2 x 。
（ 1）求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期。
（ 2） 设 A, B, C为 ABC的三个内角，若 cos B
119、设函数 f (x)
sin( x
4
) 2cos 6
2
x
, f ( ) 3 2
c1
,且 C为锐角 , 求 sin A 。
4
1 。
8
（ 1）求 f (x) 的最小正周期。 （ ）若函数 y
2
g ( x) 与 y
f ( x) 的图像对于直线 x
1 对称，求当 x
4
] 时 y 3
[0,
g( x) 的最大值。
20、设函数 f (x)
(sin
x cos x)2
2cos 2 x(
0) 的最小正周期为 2 。
3
（ 1）求 的最小正周期。
（ 2）若函数 y
g( x) 的图像是由 y
f ( x) 的图像向右平移
个单位长度获得，求 y g( x) 的单一增区
2
间。
21、已知函数 f
x
a cos2x 2 3asin x cos x
2a
b 的定义域为
0 ， ，值域为 [ －5，1 ]，求常 2
数 a、 b 的值。 22、已知函数 y=
1 2
cosx+
2
3 2
sinx·cosx+1（ x∈R）。
（ 1）当函数 y 获得最大值时，求自变量
x 的会合；
（ 2）该函数的图像可由
y=sinx(x ∈ R)的图像经过如何的平移和伸缩变换获得
题型四 三角函数与解三角形
此类题主要观察在三角形中三角函数的利用
. 解三角形的要点是在转变与化归的数学思想的指导下，
正确、灵巧地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。
【例 10】在△ ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是
a,b,c，若 a2 b2
3bc ， sin C
2 3 sin B ，则
A= （ ）
A、 300
B、 600
C、 1200 D 、 1500
解： 由正弦定理得c 2 3b
c 2 3b
2R
2R
所以 cosA=b2 +c2 -a 2
3bc c2
=3bc 2
3bc 3
，所以 A=30
0
2bc
2bc 2bc
2
评注： 解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
经过适合地使用正弦、余弦定理将有关的边角确立，进而解决问题。
【 例
11 】 在 锐 角 三 角 形 ABC ， A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， b
a 6cos C ，
tan C
tan C
a b
=________ 。
tan A
tan B 解：
b a 6cos C
6ab cosC a2 b2
a b
a2 b2 c2
2
22
2
3c2
6ab
a
b ,a
b
2ab
2
tan C tan C sin C cos B sin A sin B cos A sin C sin( A B) 1
sin 2 C
tan A tan B
cosC sin Asin B cosC sin Asin B
cosC sin A sin B
=
1 c 2
c2 4
a
2
b2 c
ab
c2
2ab
4
评注： 三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热门，在高考试题中屡次出现。这种题型
难度比较低，预计此后这种题型仍会保存，不会有太大改变 .解决此类问题，要依据已知条件，灵巧运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。
练习：
1、在锐角AC
ABC 中， BC
1,B 2A,则
的值等于 ， AC 的取值范围为
。
、在
中， BC5, AC 3,sin Ccos A
2 sin A 。
2
ABC
（Ⅰ）求 AB 的值。（Ⅱ）求 sin( 2A
) 的值。
4
3、在
ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为A
2 5 ABuuur uuur
a,b, c ，且知足 cos
， AC 3。
2
5
（I）求
ABC 的面积； （ II ）若 b c 6 ，求 a 的值．
则
4、在
ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B
ABC 的面积．
， cos A
4 ,b 5
3 。
（Ⅰ）求 sin C 的值；（Ⅱ）求 5、在
3
ABC 中， A、 B 为锐角，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、b、 c ，且 sin A
5
5
,sin B
10 10
1，求 a、b、 c的
（I）求 A 6
B 的值；（ II ）若 a b
2sin x cos
2 值。
sin x(0
、设函数
f (x)
cos xsin
)
2
在 x
处取最小值。
2
(1) 求 的值；
在 中，
分别是角
的对边 已知 a
1, b
2,
3 ，求角(2)
ABC
a, b, c
A,B,C ,
f ( A)
2
7、设 △ ABC 的内角 A 、 B、 C 的对边长分别为 a,b,c ， cos( A
C ) cos B
3 ， b2
2 题型五 三角函数与平面向量
【例 13】平面直角坐标系有点
P(1,cos x), Q(cos x,1), x [
, ] 。
4
4
（ 1）求向量 OP 和 OQ 的夹角
的余弦用 x 表示的函数 f (x) ；
（ 2）求 的最值。
解：（ 1）
OP OQ
OP OQ cos
，
cos x cos x (1 cos2 x) cos
cos
2 cos x
1 cos2 x
2 cos x
即
f (x)
(
x)
1 cos2 x
4
4
（ 2）
cos
2
， 又
cos x
1 [2,
3 2
]，
cosx
1
cos x
2
cos x
cos
[
2 2
,1] ，
min
0 ，
max
arccos 2 2 。
3
3
说明： 三角函数与向量之间的联系很密切，解题时要时辰注意。
【例 14】已知向量 m=(sin A,cosA),n= ( 3, 1) ， m· n＝ 1，且 A 为锐角。
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）求函数 f ( x) cos 2x 4cos Asin x( x R) 的值域。
。 C
ac ，求
B 。
解：（Ⅰ） 由题意得 mgn
3 sin A cos A
3
1,
2sin( A
) 1,sin( A 6
).
1 2
6
由 A 为锐角得
A
6 2
6
, A
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 cos A 1 ,
所以 f ( x)
cos2x 2sin x
1
2sin 2 x 2sin s
2(sin x 1 )2 3 .
2 2
由于 x∈ R，所以 sin x
1,1 ，所以，当 sin x
1 时， f(x)有最大值 3 。
2
当 sin x
1 时， f ( x) 有最小值 -3,所以所求函数 f ( x) 的值域是
练习：
r
r
r
1、设向量 a
(4cos ,sin ), b
(sin , 4cos ), c (cos , 4sin ) 。
r r r
（ 1）若 a 与 b 2c 垂直，求 tan( ) 的值；
r r （ 2）求 | b c | 的最大值；
r r
（ 3）若 tan tan
16 ，求证： a ∥ b 。
r
r
2、已知向量 a
(sin ,cos 2sin
),b (1,2).
r r
r r
（Ⅰ）若 a / /b ，求 tan 的值；（Ⅱ）若 | a | | b |,0
, 求 的值。
ur 3 、已知
ABC 的角 A 、 B 、 C 所对的边分别是
a、 b 、 c，设向量 m ur
p
(b 2, a 2) 。
ur r （ 1） 若 m // n ，求证： ABC 为等腰三角形；
（ ）
若 ur ur2
m⊥ p
，边长
，角 ，求 的面积。
c = 2 C = ABC
3
2 3，3 。2
(a,b) ，
r
(sin B,sin A) ，
n
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