维普资讯 http://www.cqvip.com 中学物理 Ｖｏ１．２３ Ｎｏ．１ 七对称思想在在丰富多彩的世界上，在千变万化的事物 中，我们可以发现一类普遍存在的现象—— 对称．物理学中所谓的对称，具有更为广泛的 意义，可以理解为客观事物的物理性质、物理 过程、物理规律由一种情况变化到另一种情 况，即进行某种变换下的不变性．如果一个变 换使事物的情况没有变化，或者说事物的情况 在此变换下保持不变，我们就说这个事物对于 这一变换是对称的．这个变换称为事物的对称 变换． 对称性是自然万物存在、发展变化过程中 具有的客观属性，它体现了物质运动规律的和 谐与简洁．利用对称性对物理现象和规律进行 分析研究是物理学中的一种最基本、最重要的 科学思想方法．法拉第由电流的磁效应想到要 “转磁为电”，并为此艰苦执着地进行了长达十 余年的探索，终于发现了电磁感应现象，支持 他坚定不移地进行研究和探索的伟大信念，就 是对称性思想． 对称性的表现同时要受到因果律的制约． 即原因（条件）的对称，必然会表现为结果的对 称；反之，由结果的对称也必然能推知原因（条 件）的对称．利用对称思想，可以分析推导总结 物理规律，并进一步加深对物理规律的理解． 在中学物理的教学实践中，运用对称思想 不仅能够方便快捷地分析解决有关问题，而且 对于培养学生的创新思维和科学研究的基本 思想方法具有重要的意义．以下是笔者在教学 中的一些尝试： １．全同物体的置换对称性 物理学中“全同性”的定义是：如果无法确 ２ＯＨＯ５年１月 中学物理中的应用 王建军 认两个物体之间的差别，它们就是全同的．一 般情况下，如果能确定两个全同物体的初始状 态是相同的，则交换这两个全同物体的位置， 其物理状态、物理性质是保持不变的．利用这 种全同物体的置换对称性，可以非常巧妙地解 决有关问题．如：库仑在研究点电荷间相互作 用规律时，将一个带一定电量Ｑ的绝缘导体 球Ａ与另一个大小、形状、材料完全一样的不 带电的绝缘导体球Ｂ接触，从而得到每个小球 带电量为Ｑ／２．同理还可以得到Ｑ／４、Ｑ／８等电 量值，在当时人们还没有确定电量的单位和电 量大小的测量方法的情况下，库仑就是利用了 全同物体的置换对称性解决了确定和改变带 电小球所带的电量的问题．既然两个小球的形 状、大小、材料等性质完全相同，它们接触时具 有对称地位，所以其所带的电量也必须相同． 例１ 均匀导线做成的圆环处于匀强磁 场中，磁力线垂直于圆环平面，如图１．证明：当 磁场随时间均匀变化时，环上任意两点的电势 相等． 解析 当磁场随时间均匀变化时，根据 法拉第电磁感应定律，环中将产生恒定的感应 电动势ｅ＝Ａｃｂ／Ａｔ．根据圆环这一几何图形的 对称性和磁场的变化对圆环具有对称性，圆环 任意一点在磁场中所处的位置不比另外任一 点有什么特殊的不同，ａ、ｂ两点的物理状态具 有全同的置换对称性，因而图中ａ点的电势与 ｂ点电势相等． ２．运动过程的对称性 在一些特殊运动中，运动的正过程与其逆 过程具有时间反演对称性，具体表现在物体运 ３· 维普资讯 http://www.cqvip.com ２００５年１月 动的位移、速度、加速度及运动轨迹等方面．因 此我们可以利用运动过程的时间反演对称性 灵活快捷地求解有关问题． 例２ 一光滑的半球，半径为Ｒ，固定在 水平地面上，如图２．求：在半球下平地上何处 以何速度抛出小球才能使它恰好停在半球的 顶点．（不考虑空气阻力） × × × × Ｘ ×ｂ Ｘ × 图１ 图２ 本题如果从斜抛运动的角度出发去考虑， 解题十分复杂，甚至无从着手．如果把问题反 过来想，设想小球从半球顶点Ａ由静止开始滑 下，则不难用机械能守恒定律与斜下抛运动的 规律求出：小球将以 ＝、／／２Ｒｇ的速度落到距 离球心０点为１．１２５Ｒ远处的Ｃ点，速度方向 与水平地面的夹角为： ＝６７．３。．由运动的对 称性可知，它的逆过程就是本题所要求的．所 以如果将小球从地面上的Ｃ点，以 ＝ ２Ｒｇ 的速度。沿着斜向上与地面夹角为０＝６７．３。 的方向射向球面，则小球最终恰能停在半球的 顶点．需要注意的是只有在运动过程中无耗散 力（如摩擦力或空气阻力）存在时，运动才是可 逆的，若有耗散力存在，就不能用运动的时间 反演对称性去解题． 有一些运动，其运动过程的不同阶段或不 同状态具有时间平移的对称性，或时空联合变 换的对称性，如：竖直上抛运动的上升阶段与 下降阶段的对称，简谐振动的时空对称等．研 究此类问题我们不必总是从题目涉及的方向、 位置着手，有时从其对称性的角度考虑，统筹 兼顾往往能事半功倍． 例３ 质量分别为ｍ、Ｍ的二物体，中间 用一轻弹簧栓接，竖直放在水平地面上，如图３ ４· Ｖｌ０１．２３ Ｎｏ．１ 中学物理 所示．如果对物体ｍ施加一竖直向下的压力 Ｆ。要使放手后ｍ能将Ｍ从地面提起，Ｆ至少 多大？ 解析 本题若从最低点和ｍ 的弹起过程着手，利用机械能守恒 处理，解题过程较为复杂．如果考 虑到本题中的最小力为释放后ｍ 恰能将Ｍ吊起，则ｍ和弹簧组成 的系统可视为一弹簧振子，其最高 点和最低点的物理量是关于平衡 位置对称的．设初始状态，未施加 图３ 力Ｆ前，ｍ处于平衡位置，弹簧形变为ｘ。，由 平衡条件：ｍｇ＝ 。；施加力Ｆ后，ｍ到达最 低点，弹簧形变量为：ｘ。＋ｘ ，所以，Ｆ＋ｍｇ＝ ｋ（Ｘ。＋Ｘ，）．这时振子相对于平衡位置的回复 力Ｆ下：Ｆ＝ ；撤去力Ｆ后，振子到达最高 点时形变量为Ｘ ，弹簧的弹力应恰好等于 Ｍｇ，所以 ２＝Ｍｇ，这时振子相对于平衡位 置位移是Ｘ０＋Ｘ２，其回复力Ｆ上＝ｋ（Ｘ０＋Ｘ２） （Ｍ＋ｍ）ｇ，再由简谐运动的对称性Ｆ下＝ Ｆ Ｅ可得：Ｆ＝Ｆ下＝Ｆ Ｅ＝（Ｍ＋ｍ）ｇ． ３．空间结构的对称性 在一些问题中，研究对象的空间结构具有 对称性，如：电路结构的对称，电场分布的对称 等．在解决具有对称结构的复杂电路计算问题 时，常规方法所涉及的知识往往超出中学物理 的范围，有的问题即使能够求解，采用的方法 也是纷繁复杂，不过，如果利用了对称的思维 方法后，情况就大不相同了． 例４ 图４中有ｌ２个阻值相同且大小均 等于Ｒ的电阻，连接于电路中，求Ｍ、Ｎ两点 间的等效电阻的阻值． 这是一个复杂的电路，从理论上进行计 算，应使用ａ／ｖ形电路进行转换，其内容远远 超过高中学生的知识范围．但是，由于电路结 构上下左右对称，电路中的Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点正 落在对称轴上，其电势的高低均相同，即：这是 维普资讯 http://www.cqvip.com 中学物理 Ｖｏ１．２３ Ｎｏ．１ 四个电势相同的等势点．而连接在Ａ、Ｂ两点 间的电阻和连接在Ｃ、Ｄ两点间的电阻，由于 两端电势差为零，没有电流通过，可在电路中 除去．而去掉了这两个电阻后的等效电路（如 图５）有了非常明晰的串并联关系，再进行等 效电阻的计算就非常容易了． １璺ｉ ４ 图５ 例５ 三根等长细 绝缘棒连接成等边三角 形ＡＢＣ，如图６所示．Ｐ 点为三角形的内心，Ｑ点 与三角形共面，且与Ｐ点Ｂ 相对于ＡＣ棒对称，三棒 图６ 都带有电荷．电荷的分布 与假设三棒皆为导体棒时的电荷分布完全相 同，此时测得Ｐ、Ｑ两点电势分别为 、 ． 现将绝缘棒ＢＣ取走，且设不影响ＡＢ、ＡＣ棒 上原有电荷的分布，求：这时Ｐ、Ｑ两点的电势 ｕ，Ｐ、【．厂ｏ，． 从理论上说，这是一个用普通物理才能解 决的问题．不过，根据静电场中某点的电势，等 于各个带电体在该点产生电势的代数和的特 点，可利用带电体电荷分布的对称性来求解． 解析 在没有取走ＢＣ棒时，根据对称 性，各棒在Ｐ点的电势必相等．用 表示各棒 在Ｐ点产生的电势，则有： ｕｐ＝３ ｕｘ （１） 因为Ｐ、Ｑ两点相对ＡＣ对称，所以ＡＣ棒在Ｑ 点产生的电势也为 ．再由对称性可知ＡＢ 棒与ＢＣ棒在Ｑ点产生的电势也相等．用 表 示ＡＢ棒在Ｑ点产生的电势，则有： ２ｏｏ５年１月 ｕｏ＝ｕｘ＋２ （２） 将ＢＣ棒取走后，Ｐ点电势为： ＝２ （３） Ｑ点的电势为： 。，＝ｕｘ＋ （４） 由上述四个方程可得： ＝２ ／３， 【，０，＝ｕｐ／６＋ｕｏ／２． ４．镜像对称性 在平面镜成像中，物和像对称于镜面；当 把这种镜像对称性应用到其他问题（如力学中 的弹性碰撞）的处理上，将会收到事半功倍的 效果． 例６ 沿水平方向向竖直光滑墙抛出一 小球Ａ，抛出点离水平面的高度为ｈ，距墙的 水平距离为ｓ．小球与墙发生弹性碰撞后落在 距墙水平距离为２ｓ的地面上．求：小球从抛出 到落地所经历的时问ｔ和小球抛出的速度 。． （不计小球与墙碰撞的时间） 解 小球开始做平抛运动，与墙碰撞后 做斜下抛运动，若循此顺序求解，解题步骤较 繁．如果把墙视为平面镜，由镜像对称知Ａ对 墙的运动与像Ａ 的运动对称．由于Ａ与墙的 碰撞为弹性碰撞，故Ａ碰后的运动可看作Ａ 运动的延伸，如图 ７．由此我们可把 小球的平抛、斜下 抛运动转化成 Ａ—ｏ—Ｃ 的平 抛运动． 图７ 综上所述，在 中学物理教学中，应用对称性的思想方法引导 教育学生，不仅有利于学生增长知识，而且能 增长智慧，使学生得到美的熏陶和科学思想方 法的训练． 【作者单位：（０７５０００）河北省张家口市第 中学】 ５·
