概念:一般地,函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,个中x是自变量,函数的界说域是R.
留意:⒈指数函数对外形请求严厉,前系数要为1,不然不克不及为指数函数. ⒉指数函数的界说仅是情势界说. 指数函数的图像与性质:
纪律:1.当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性.
2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越接近y轴; 当0<a<1时,底数越小,图像降低的越快,在y轴的左侧,图像越接近y轴. 在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”.
3.四字口诀:“大增小减”.即:当a>1时,图像在R上是增函数;当0<a
<1时,图像在R上是减函数.
4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数. 比较幂式大小的办法:
1. 2. 3. 4.
当底数雷同时,则应用指数函数的单调性进行比较; 当底数中含有字母时要留意分类评论辩论;
当底数不合,指数也不合时,则须要引入量进行比较; 对多个数进行比较,可用0或1作为量进行比较
底数的平移:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移.
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移.
对数函数
因为指数函数y=a在界说域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它消失反函数,
x
我们把指数函数y=a(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=logax(a>0,a≠1).
因为指数函数y=a的界说域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=logax的界说域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
对数函数与指数函数互为反函数,是以它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.
为了研讨对数函数y=logax(a>0,a≠1)的性质,我们在统一向角坐标系中作出函数
y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=log1x,y=log1x的草图
210x
x
由草图,再联合指数函数的图像和性质,可以归纳.剖析出对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像的特点和性质.见下表.
]
图 象 a>1 a<1 性 质 填补 性质 (1)x>0 (2)当x=1时,y=0 (3)当x>1时,y>0 (3)当x>1时,y<0 0<x<1时,y<0 0<x<1时,y>0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 设y1=logax y2=logbx个中a>1,b>1(或0<a<1 0<b<1) 当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2 当0<x<1时“底大图高”即若a>b,则y1>y2 比较对数大小的经常应用办法有:
(1)若底数为统一常数,则可由对数函数的单调性直接进行断定.
(2)若底数为统一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类评论辩论. (3)若底数不合.真数雷同,则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数.真数都不雷同,则常借助1.0.-1等量进行比较.
名称 一般情势 界说域 值域 函 数 值 变 化 情 况 指数函数 y=ax(a>0,a≠1) (-∞,+∞) (0,+∞) 当a>1时, 对数函数 y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞) (-∞,+∞) 当a>1时 1(x0)ax1(x0) 1(x0)当0<a<1时, 0(x1)logax0(x1) 0(x1)当0<a<1时, 1(x0)ax1(x0) 1(x0)0(x1)logax0(x1) 0(x1)单调性 图像 当a>1时,ax是增函数; 当a>1时,logax是增函数; 当0<a<1时,ax是减函数. 当0<a<1时,logax是减函数. y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称. 幂函数 幂函数的图像与性质
幂函数yxn跟着n的不合,界说域.值域都邑产生变更,可以采纳按性质和图像分类记忆的办法.闇练控制yxn,当n2,1,,,3的图像和性质,列表如下.
从中可以归纳出以下结论:
① 它们都过点1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不订交,任何幂函数图像
1123都不过第四象限.
11,,1,2,3时,幂函数图像过原点且在0,上是增函数. 321③ a,1,2时,幂函数图像不过原点且在0,上是减函数.
2② a④
任何两个幂函数最多有三个公共点.
yxn 奇函数 y 偶函数 y 非奇非偶函数 y n1 O x O x O x y y y 0n1 O x O x O x y y y n0 O x O x O x 界说域 奇偶性 在第Ⅰ象限的增减性 yx R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 yx R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 2yx R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 3yx x|x012yx1 x|x0 奇 在第Ⅰ象限单调递减 非奇非偶 在第Ⅰ象限单调递增 yx幂函数(xR,是常数)的图像在第一象限的散布纪律是:
是常数)的图像都过点(1,1);
yx①所有幂函数(xR,②当
1,2,3,12时函数yx的图像都过原点(0,0);
③当1时,yx的的图像在第一象限是第一象限的等分线(如c2);
yx2,3④当时,的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如c1)
⑤当
12时,yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如c3)
⑥当1时,yx的的图像不过原点(0,0),且在第一象限是“下滑”曲线(如c4) 当0时,幂函数yx有下列性质: (1)图象都经由过程点(0,0),(1,1); (2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,1时,图象是向下凸的;01时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点(1,1)后,图象向右上方无穷伸展. 当0时,幂函数yx有下列性质:
(1)图象都经由过程点(1,1);
(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
(3)在第一象限内,图象向上与y轴无穷地接近;向右无穷地与x轴无穷地接近; (4)在第一象限内,过点(1,1)后,越大,图象下落的速度越快.
无论取任何实数,幂函数yx的图象必定经由第一象限,并且必定不经由第四象限.
对号函数
函数yaxb(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号xbxba“√”而得名,应用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,ax2当ax即x当xba(当且仅
bxba时取等号),由此可得函数yax(a>0,b>0,x∈R)的性质:
bx+
bx+
时,函数yax(a>0,b>0,x∈R)有最小值2bxbaba,特殊地,当a=b=1
时函数有最小值2.函数yax(a>0,b>0)在区间(0,(
ba)上是减函数,在区间
,+∞)上是增函数.
bxbx因为函数yax(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数yax(a>0,b>0,x∈R)的性质:
当xba-
时,函数yax(a>0,b>0,x∈R)有最大值-2bxbx-
ba,特殊地,当
baa=b=1时函数有最大值-2.函数yax(a>0,b>0)在区间(-∞,-数,在区间(-ba)上是增函
,0)上是减函数.
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