指数、对数、幂函数对比

概念：一般地,函数y=a^x（a＞0,且a≠1）叫做指数函数,个中x是自变量,函数的界说域是R.

留意：⒈指数函数对外形请求严厉,前系数要为1,不然不克不及为指数函数. ⒉指数函数的界说仅是情势界说. 指数函数的图像与性质：

纪律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性.

2.当a＞1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越接近y轴; 当0＜a＜1时,底数越小,图像降低的越快,在y轴的左侧,图像越接近y轴. 在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”.

3.四字口诀：“大增小减”.即：当a＞1时,图像在R上是增函数;当0＜a

＜1时,图像在R上是减函数.

4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数. 比较幂式大小的办法：

1. 2. 3. 4.

当底数雷同时,则应用指数函数的单调性进行比较; 当底数中含有字母时要留意分类评论辩论;

当底数不合,指数也不合时,则须要引入量进行比较; 对多个数进行比较,可用0或1作为量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移.

在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移.

对数函数

因为指数函数y=a在界说域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它消失反函数,

x

我们把指数函数y=a(a＞0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=logax(a＞0,a≠1).

因为指数函数y=a的界说域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=logax的界说域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).

对数函数与指数函数互为反函数,是以它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.

为了研讨对数函数y=logax(a＞0,a≠1)的性质,我们在统一向角坐标系中作出函数

y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=log1x,y=log1x的草图

210x

x

由草图,再联合指数函数的图像和性质,可以归纳.剖析出对数函数y=logax(a＞0,a≠1)的图像的特点和性质.见下表.

]

图 象 a＞1 a＜1 性 质 填补 性质 (1)x＞0 (2)当x=1时,y=0 (3)当x＞1时,y＞0 (3)当x＞1时,y＜0 0＜x＜1时,y＜0 0＜x＜1时,y＞0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 设y1=logax y2=logbx个中a＞1,b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2 当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b,则y1＞y2 比较对数大小的经常应用办法有：

(1)若底数为统一常数,则可由对数函数的单调性直接进行断定.

(2)若底数为统一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类评论辩论. (3)若底数不合.真数雷同,则可用换底公式化为同底再进行比较.

(4)若底数.真数都不雷同,则常借助1.0.-1等量进行比较.

名称 一般情势 界说域 值域 函 数 值 变 化 情 况 指数函数 y=ax(a＞0,a≠1) (-∞,+∞) (0,+∞) 当a＞1时, 对数函数 y=logax(a＞0,a≠1) (0,+∞) (-∞,+∞) 当a＞1时 1(x0)ax1(x0) 1(x0)当0＜a＜1时, 0(x1)logax0(x1) 0(x1)当0＜a＜1时, 1(x0)ax1(x0) 1(x0)0(x1)logax0(x1) 0(x1)单调性 图像 当a＞1时,ax是增函数; 当a＞1时,logax是增函数; 当0＜a＜1时,ax是减函数. 当0＜a＜1时,logax是减函数. y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称. 幂函数 幂函数的图像与性质

幂函数yxn跟着n的不合,界说域.值域都邑产生变更,可以采纳按性质和图像分类记忆的办法．闇练控制yxn,当n2,1,,,3的图像和性质,列表如下．

从中可以归纳出以下结论：

① 它们都过点1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不订交,任何幂函数图像

1123都不过第四象限．

11,,1,2,3时,幂函数图像过原点且在0,上是增函数． 321③ a,1,2时,幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．

2② a④

任何两个幂函数最多有三个公共点．

yxn 奇函数 y 偶函数 y 非奇非偶函数 y n1 O x O x O x y y y 0n1 O x O x O x y y y n0 O x O x O x 界说域 奇偶性 在第Ⅰ象限的增减性 yx R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 yx R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 2yx R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 3yx x|x012yx1 x|x0 奇 在第Ⅰ象限单调递减 非奇非偶 在第Ⅰ象限单调递增 yx幂函数（xR,是常数）的图像在第一象限的散布纪律是：

是常数）的图像都过点(1,1);

yx①所有幂函数（xR,②当

1,2,3,12时函数yx的图像都过原点(0,0);

③当1时,yx的的图像在第一象限是第一象限的等分线（如c2）;

yx2,3④当时,的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）

⑤当

12时,yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3）

⑥当1时,yx的的图像不过原点(0,0),且在第一象限是“下滑”曲线（如c4） 当0时,幂函数yx有下列性质： （1）图象都经由过程点(0,0),(1,1); （2）在第一象限内都是增函数;

（3）在第一象限内,1时,图象是向下凸的;01时,图象是向上凸的; （4）在第一象限内,过点(1,1)后,图象向右上方无穷伸展. 当0时,幂函数yx有下列性质：

（1）图象都经由过程点(1,1);

（2）在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;

（3）在第一象限内,图象向上与y轴无穷地接近;向右无穷地与x轴无穷地接近; （4）在第一象限内,过点(1,1)后,越大,图象下落的速度越快.

无论取任何实数,幂函数yx的图象必定经由第一象限,并且必定不经由第四象限.

对号函数

函数yaxb（a>0,b>0）叫做对号函数,因其在（0,+∞）的图象似符号xbxba“√”而得名,应用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,ax2当ax即x当xba（当且仅

bxba时取等号）,由此可得函数yax（a>0,b>0,x∈R）的性质:

bx+

bx+

时,函数yax（a>0,b>0,x∈R）有最小值2bxbaba,特殊地,当a=b=1

时函数有最小值2.函数yax（a>0,b>0）在区间（0,（

ba）上是减函数,在区间

,+∞）上是增函数.

bxbx因为函数yax（a>0,b>0）是奇函数,所以可得函数yax（a>0,b>0,x∈R）的性质：

当xba-

时,函数yax（a>0,b>0,x∈R）有最大值-2bxbx-

ba,特殊地,当

baa=b=1时函数有最大值-2.函数yax（a>0,b>0）在区间（-∞,-数,在区间（-ba）上是增函

,0）上是减函数.