四川省邻水实验学校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷附答案

邻水实验学校高2017级2019年春季学期期中考试

理科数学试卷

时间：120分钟 满分：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求)

1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )

1A.，1，1 B．(－1，－3,2)

313C.－，，－1 D．(2，－3，－22) 22

12．设z＝＋i，则|z|＝( )

1＋i123A. B． C. 222

D．2

3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝sinx C．y＝x－x

3

2

B．y＝ln(1＋x)－x D．yxe

x4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )

iA．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

b5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )

A．②①③ C．③①②

B．①②③ D．②③①

6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手说的话都是假话，则获奖的歌手是( )

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )

8

A. 3

3

B. 8

4

C. 3

3D. 4

8．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )

9．设a＝

A．a>b>c C．a>c>b

2

2

2

2

，则a、b、c的大小关系( )

B．b>a>c D．b>c>a

2

2

2

10．用数学归纳法证明1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…+2+1=的式子是( ) A.(k-1)+2k C.(k+1)

22

2

n2n213时，从n=k到n=k+1时，等式左边应添加

5

6

B.(k+1)+k

22

D.

12

(k+1)［2(k+1)+1］ 37

2 011

11.观察下列各式:5=3 125,5=15 625,5=78 125,…,则5A. 0625

B.3125

C.5625

的末四位数字为( )

D. 8125

12．若关于x的不等式

A. 1 2ebln2x1≤axb成立，则的最小值是 xa111B.  C. D.

2eee第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为__________．

14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．

15．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最小值是________． 16．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：

2

bx①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 三、解答题(共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. (本题满分10分) 如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．

18．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝－x＋3x＋9x＋a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

19. (本小题满分12分) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝CC1＝2，∠ACB＝90°，E、F分别是BA、BC的中点，

3

2

G是AA1上一点，且AC1⊥EG.

(1)确定点G的位置；(2)求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．

20. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝axln x＋bx－c在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．

4

4

(1)试确定a，b的值； (2)讨论函数f(x)的单调区间；

(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c恒成立，求c的取值范围．

21. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，

2

F分别是AD，PC的中点．

(1)证明：PC⊥平面BEF；

(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．

22. (本小题满分12分)已知函数

(1)求实数a的值。

(x22ax)ex,x0f(x)17e

在x＝2处的切线 的 斜率为。 x,x02b2

(2)若当x>0时，y＝f(x)－m有两个零点，求实数m的取值范围。 (3)设g(x)＝

lnx31＋b若对于任意x1∈0，，总存在x2∈，e(e＝2.718 28…)，使得f(x1)≥g(x2)，

f－x2e

求实数b的取值范围。

邻水实验学校高2017级2019年春季学期期中考试

理科数学答案命题人：王方俊

一、选择题 CBDBC ACDAB DA 二、填空题13．答案：

6

14．答案：－315．答案：4 6

16．解析：因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上，符合条件的有序数组的个数是6.

答案：6

三、解答题(共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. (本题满分10分)

解：(1)建立如图所示的直角坐标系D－xyz.

∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23. ∴P(0,0,23)．

→→

(2)∵PA＝(2,0，－23)，BC＝(－2，－3,0)， →→

∴cos〈PA，BC〉 ＝

－

＋

－413

13. 13＋

－23

＝－13. 13

∴PA与BC所成的角的余弦值为

18．答案；解 (1)∵f′(x)＝－3x＋6x＋9.

2

令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，

∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

∴f(2)＞f(－2)．

于是有22＋a＝20，∴a＝－2. ∴f(x)＝－x＋3x＋9x－2.

∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增． 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，

∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值， ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即f(x)最小值为－7.

19. (本小题满分12分)解：(1)以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

→

3

2

F(1,0,0)，E(1,1,0)，A(0,2,0)，C1(0,0,2)，AC1＝(0，－2,2)．

→

设G(0,2，h)，则EG＝(－1,1，h)． →→

∵AC1⊥EG，∴EG·AC1＝0.

∴－1×0＋1×(－2)＋2h＝0.∴h＝1， 即G是AA1的中点．

→→

(2)设m＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则m⊥FE，m⊥EG.

0×x＋1×y＋0×z＝0所以

－x＋y＋z＝0

.

平面EFG的一个法向量m＝(1,0,1)．

→

∵sin θ＝

|m·AC1|21

＝＝， →2×222

|m|·|AC1|

ππ∴θ＝，即AC1与平面EFG所成角θ为.

66

20. (本小题满分12分)

解：(1)由题意知f(1)＝－3－c， 因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.

f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3

x＝x(4aln x＋a＋4b)．

由题意f′(1)＝0，因此a＋4b＝0， 解得a＝12.

(2)由(1)知f′(x)＝48xln x(x>0)． 令f′(x)＝0，解得x＝1. 当01时，f′(x)>0.

因此f(x)的单调递减区间为(0,1)，

3

3

1

f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．

(3)由(2)知，f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，此极小值也是最小值， 要使f(x)≥－2c(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c， 即2c－c－3≥0，从而(2c－3)(c＋1)≥0，

33解得c≥或c≤－1，所以c的取值范围为(－∞，－1]∪，＋∞. 22

21．(本小题满分12分)

(1)证明 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，

∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2)． 又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0)，F(1，2，1)． →→→

∴PC＝(2,22，－2)，BF＝(－1，2，1)，EF＝(1,0,1)． →→→→

∴PC·BF＝－2＋4－2＝0，PC·EF＝2＋0－2＝0. →→→→∴PC⊥BF，PC⊥EF

∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF.

→→

(2)解 由(1)知平面BEF的一个法向量n1＝PC＝(2,22，－2)，平面BAP的一个法向量n2＝AD＝(0,22，0)， ∴n1·n2＝8.

设平面BEF与平面BAP的夹角为θ， 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝

2

2

2

|n1·n2|82

＝＝，

|n1||n2|4×222

∴θ＝45°.∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

22. (本小题满分12分)解 (1)x>0时，f(x)＝(x－2ax)e，

2

xf′(x)＝ex[x2＋(2－2a)x－2a]，

7e3

由条件知f′(2)＝，所以a＝。

24

2

23x(2)当x>0时，f(x)＝x－xe，

2

1x所以f′(x)＝e(x－1)(2x＋3)。

2

f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增，f(0)＝f＝0，则f(x)min＝f(1)＝－，

2

3

e2

e所以m∈－，0时，y＝f(x)－m有两个零点。 2

(3)由题意，即要f(x)min≥g(x)min。(*)

23x当x>0时，f(x)＝x－xe，

2

e

由(2)知f(x)min＝f(1)＝－，

2当x>0时，－x<0，所以g(x)＝

lnxlnx－1lnx＋b＝b1－，g′(x)＝b·。

xf－xx2

lnx－11因为x2∈，e，所以≤0。

x2e

1①若b>0，g(x)在，e上是减函数，

e

g(x)min＝g(e)＝b1－。

e



1

因为f(x)min1②若b<0，g(x)在，e上是增函数， e

g(x)min＝g＝b(1＋e)。

e

要使f(x)min≥g(x)min，只要－≥b(1＋e)，

2则b≤－

2

e＋

，

1e

即b的取值范围是－∞，－



e＋

。 