北师大版-数学-八年级上册-培优专题：直角三角形的判定

培优专题：直角三角形的判定

勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”．

勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．

例1 在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？

练习1

1．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，求图形中阴影部分的面积．

2．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．

3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ）

初中-数学-打印版

初中-数学-打印版

A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13

例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？

2-2 练习2

1．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？

2-4

2．如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）

A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77

例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？

分析 先确定最大边，再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．

练习3

初中-数学-打印版

初中-数学-打印版

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=AF与EF的位置关系，并说明理由．

1BC，猜想4

2-6 3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ） A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1． B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．

C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定． D．△ABC不是直角三角形．

例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．

分析 欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，从而有△BDE≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．

练习4

1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状． 先阅读下列解题过程： 解：∵a2c2-b2c2=a4-b4， ① ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）． ②

初中-数学-打印版

2-7 初中-数学-打印版

∴c2=a2+b2． ③ ∴△ABC为直角三角形． ④

问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________； （2）本题的正确结论是________．

2．如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．

3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．

例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．

分析 若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt•△ADC的直角边．

∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程． 解：作AE⊥BC于E． ∵AB=AC，AE⊥BC， ∴BE=EC=

11BC=×32=16． 22 2-10 在Rt△AEC中，

AE2=AC2-CE2=202-162=144， ∴AE=12． 设DE=x，

则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202．

初中-数学-打印版

2-11 初中-数学-打印版

∴144+x2=（16+x）2-202 解得x=9． ∴BD=BE-DE=16-9=7．

练习5

1．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D． 求证：AD2=AC2+BD2．

2-12

2．如图，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．

3．如图．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？

参: 练习1

1．24（提示：利用勾股定理即可求出）

初中-数学-打印版

初中-数学-打印版

2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A、B为对称点（如图） ∵S=AB×BC，AB=2， ∴BC=AD=

S． 21AB=1． 2 根据对称性得DF=

由于∠D=90°，据勾股定理得：

1S2 AF=ADDF1=2422S24

（2）以A、D为对称点（如图） ∴BF=

1SBC=． 24由∠B=90°，据勾股定理得：

S212 AF=ABBF4=S．

1223．D 练习2

1．0.8m 2．B 练习3 1．B

2．AF⊥EF（提示：连结AE，设正方形的边长为a，则DF=FC=中，由勾股定理得：

aa，EC=，在Rt△ADF24a252

）=a． 24aa52

同理：在Rt△ECF中，EF2=（）2+（）2=a，

2416392252

在Rt△ABE中，BE=a，则AE2=a2+a=a．

41616552252

∵a2+a=a，

41616 AF2=AD2+DF2=a2+（ ∴AF2+EF2=AE2． ∴∠AFE=90°． ∴AF⊥EF．

初中-数学-打印版

初中-数学-打印版

3．A（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定） 练习4

1．（1）③、④

（2）△ABC为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2， ∴∠C=90°．

将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E（如图）

∴CD=DE， AC=AE=5． 则△ACD≌△AED． 又BE=AB-AE=8．

设CD为x，则x2+82=（12-x）2．

10． 310 ∴AD2=52+（）2．

3 解之得x= ∴AD=513． 33．过点C作CE⊥CP，并截CE=CP=2，连结PE，BE．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°，

∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB． 即∠ACP=∠BCE．

∴△PCA≌△ECB（SAS）． ∴BE=AP=3． 在Rt△PCE中， PE2=PC2+CE2=8． 又∵BP2=1，BE2=9， ∴BE2=BP2+PE2．

∴△PBE是直角三角形，其中∠BPE=90° 在Rt△PCE中，PC=CE， ∴∠CPE=∠CEP=45°．

初中-数学-打印版

初中-数学-打印版

∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°． 练习5 1．连结AM． ∵M为CB的中点， ∴CM=MB．

又∵AC2=AM2-CM2，BD2=BM2-MD2， ∴AC2+BD2=AM2-MD2． 又∵AD2=AM2-DM2， ∴AD2=AC2+BD2．

2．36（提示：连结BD，利用勾股定理及逆定理即可求出）． 3．5cm（提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面， 连结AC（如图），此时线段AC的长度即为最短距离． ∴AC=32(22)2=5（cm）．

初中-数学-打印版