椭圆方程及性质

一：双基题目

1．（2006全国Ⅱ）已知△ABC的顶点B、C在椭圆xy21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外

23一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ( ) A．23 B．6 C．43 D．12

222．(2005广东) 若焦点在x轴上的椭圆xy1的离心率为

2m12，则m=（ ）

A．3 B．3 C．8

23D．2

33． (2006山东)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为 ( ) A．2 B．2 C．1

22D．2 44．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为 ( ) A．

3 3－1 B．2－3 C．2 D．225．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为__________________．

226．(2006四川15)如图把椭圆xy1的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的yP2P3P1P4P5P6P7B2516垂线交椭圆的上半部分于P1,P,„„P七个点，F是椭圆的一个焦点，则27____________． PFP12F......P7F

二、经典例题

AFox【例1】若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，

2且OA⊥OB，求椭圆的方程．

22【例2】(2005湖南) 已知椭圆C：x＋y＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e． 直线,l：

a2b2y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB． （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；

（Ⅱ）若3，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；

4（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．

【例3】(2005春上海)（1）求右焦点坐标是(2,0)，且经过点(2,2)的椭圆的标准方程；

22（2）已知椭圆C的方程是xy1(ab0)． 设斜率为k的直线l，交椭圆C于

a2b2B两点，AB的A、中点为M． 证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；

22【例4】 （2006江西）如图,椭圆Q:xy1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线m绕点F

22ab转动,并且交椭圆于A、B两点, P为线段AB的中点． （1）求点P的轨迹H的方程;

（2）若在Q的方程中,令a21cossin,b2sin(0<).确定的值,使

2原点距椭圆Q的右准线l最远．此时设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?

22【研讨．欣赏】（1）已知点P的坐标是(-1,-3)，F是椭圆xy1的右焦点,点Q在椭圆上移动，当

1612QF1PQ取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。 2（2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为e3，已知点P3到这个椭圆上的点的最

0,22远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是7的点的坐标。

四．提炼总结

1．椭圆定义是解决问题的出发点,一般地，涉及a、b、c的问题先考虑第一定义，涉及e、d及焦半径的问题行急需处理 虑第二定义；

2．求椭圆方程，常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别”掌握；

（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

（2）两种标准方程中，总有a＞b＞0，c2=a2-b2并且椭圆的焦点总在长轴上； 3．要正确理解和灵活运用参数a,b,c,,e的几何意义与相互关系；

4．会用方程分析解决交点、弦长和求值问题，能正确使用“点差法”及其结论。

练习 8．1 椭圆方程及性质

x2【选择题】1．(2004全国I)椭圆y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的

4直线与椭圆相交，一个交点 为P，则|PF2|=

A．

（ ）

3 2B．3

C．

7 2D．4

2．(2005全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）

A．221 B． C．22 22D．21

x2y2【填空题】3．点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，

259则点P的横坐标是____________．

4．已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，则椭圆的离心率为________．

y2x25．已知P是椭圆2＋2＝1（a＞b＞0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，

ab且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________．

6． (2005重庆)已知A(11,0),B是圆F:(x)2y24(F为圆心）上一动点，22线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 ．

【解答题】

7． 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

10，求椭圆方程． 2x2y28． 如下图，设E：2+2=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ．

ab求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ．

9． 如下图，已知△OFQ的面积为S，且OF·FQ=1．

1＜S＜2，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围； 23（2）设|OF|=c（c≥2），S=c，若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当

4（1）若

|OQ|取最小值时，求椭圆的方程．

x2y210．(2005上海) 如图，点A、B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F

3620是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF．

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

x2x2【探索题】(2006湖北)设A、B分别为椭圆221（a,b0）的左、右顶点，

ab椭圆长半轴的长等于焦距，且x4为它的右准线。 ．．．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。