维普资讯 http://www.cqvip.com 第４３卷第３期 ２００７年６月 兰州大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｌｏ１．４３ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２００７ 文章编号：０４５５＿２０５９（２００７）０３—０１２７－０４ ＲＮ中带不定线性项的椭圆方程解的存在性 王非之 （烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台２６４００５） 摘要：证明了碾‘Ⅳ中一类带不定线性项的椭圆方程非平凡解的存在性．所得结论是通过使用Ｌｙａｐｕｎｏｖ－ Ｓｃｈｍｉｄｔ约化方法和山路引理获得的． 关键词：临界点；椭圆方程；Ｌｙａｐｕｎｏｖ－Ｓｃｈｍｉｄｔ约化；山路引理 中图分类号：Ｏ１７５．２５ 文献标识码：Ａ 考虑椭圆问题 在文献【７】中有类似于（ｖ１），（Ｖ２）的条件，但其假设 非线性部分为０（ ）ｇ（钆），．１ｉｍ ０（ ）＝０。。＜０，ｇ（ｕ）ｕ 』一△ｌ 钆＋ （ ）钆＝Ｋ（ ）ｌ钆 Ｉ一。钆， ∈ＲⅣ，ｆ１） Ｕ∈Ｈ１（Ｒ‘Ⅳ）， ～ ≥０，Ｕ∈Ｒ．证明中用到文献【８】中的一个临界点定 ｘ）满足下面的条件： 其中Ｎ≥１，ｖ（ｘ）∈ （Ｒ‘Ⅳ）ＮＬ。ｏ（Ｒ‘Ⅳ），ｇ（ｘ）∈ （Ｒ‘Ⅳ， 理．假设ｇ（（Ｋ）Ｋ（ｘ）∈ｃ（ｓ ，Ⅱ ＋），．１ｉｍ ｇ（ｘ）＝ 。＞０， Ｒ＋），２＜Ｐ＜２Ｎ／（Ⅳ一２），Ｎ≥３；２＜Ｐ＜ｏ。，Ｎ＝ １，２．记 （一△＋ （ｚ）），ａｅ（－Ａ＋ 和点谱．ｆ１）式对应泛函是 ＿＜Ｐ＜ｐ，Ｃ＞０使ｇ（ｘ）一 ））和ａｐ（－Ａ＋ 且存在７Ｖｘ∈１￣Ｎ． ≥一Ｃｅ—ｐｌ ， （ ））分别为一△＋Ｖ（ｘ）在Ｌ。（Ｒ‘Ⅳ）中的谱，连续谱 本文的主要结果是 ，（钆）＝去／【ｌＶｕｌ。＋Ｖ（ｘ）ｕ 】ｄｘ 二 Ｒ２４ １ 一定理１在条件（Ｖ１） （Ｖ３）和（Ｋ）下，问题（１）至 少有一个非平凡解． 厂 刍 ⅣＫ（ ）ｌ Ｉ ・ １ 预备知识 由条件（Ｖ１）和（ｖ２），根据文献【９】可知特征值 问题一△ ＋ ＝ ， ∈Ｌ。（Ｒ‘Ⅳ）有满足下列条件 的特征值 １≤ ２≤…≤ ＜０＜ ≤ 。。．设 为与特征值 ｔ相对应的特征函数，ｉ＝１，…，ｋ．定 义Ｓｏｂｌｏｅｖ空间Ⅳ （Ｒ‘Ⅳ）为 易见Ｉ∈Ｃ （ （ ‘Ⅳ）， ），，的临界点是（１）式的解 （本文中的解均指弱解）． 近年来，与（１）式类似的问题已有许多存在性 结果．若 （一△＋ （ ））ｃ（０，ｏ０），此时可用山路引 理或约束泛函方法来考虑问题（１）［卜引．文献［３］在 （一△＋ （ ））ｎ（一Ｏ０，０）≠ 的假设下，用一个推 广了的环绕定理［２］给出（１）式解的存在性．还假设 的［３．这时方程的线性部分是强不定的，即 ３］Ⅳ （Ｒ‘Ⅳ）＝｛钆：Ｖｕ∈Ｌ。（ＲⅣ），Ｕ∈Ｌ。（Ｒ‘Ⅳ））， ｙ（ｘ）关于 的每个分量Ｘｉ（ｉ＝１，…，Ⅳ）是１．周期 其范数是 州 （ＩＶ乱Ｊ。＋Ｊ札 ｚ （一△＋ ））ｎ（一∞，０）≠ ． 定义函数 ：Ｒ‘Ⅳ一Ｒ如下： 研究类似情况的还有文献［４．６１． 本文假设如下条件： （Ｖ１） （—△＋ ）ｎ（—∞，０）≠ ，０ （一△＋ ）； （Ｖ２）．１ｉｍ ｙ（ｘ）＝Ｖｏｏ＞０； Ｊ Ｊ—｝。。 ｆ １， 若 ∈Ｂｍ， （ ）：＝｛ｍ＋１一ｌｘｌ， 若 ∈Ａ ＝Ｂ ＋１＼Ｂ ， ｌ ０， 若ｘ６ＲⅣ＼ ＋１， 其中ｍ为正整数，Ｂ ：＝｛ ∈Ｒ‘Ⅳ： ≤ｒ）．令 ：＝ ， ． （Ｖ３） 。。— （ ）≥Ａｅ一 Ｉ Ｉ，Ｖｏｏ＞Ａ＞０，７＿∈（０，２）． 此时线性部分～△钆＋Ｖ（ｘ）ｕ是不定的， ａｒｐ（一△＋ （ ））ｎ（一。Ｃ，（】）≠ ． 收稿日期：２００６－１１．０３． Ｘ ＝ｓｐａｎ｛￣￣，ｉ＝１，２，…， ）， ＝（ ｍ）上， ｆ２） 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０６７１１６９）． 作者简介：王非之（１９７３＿），男，甘肃永登人，讲师，博士，研究方向为非线性泛函分析，Ｅ－ｍａｉｌ：ｗａｎｇｆｚ￣ｙｔｕ．ｅｄｕ．ｃａ． 维普资讯 http://www.cqvip.com １２８ 则 兰州大学学报（自然科学版） ０ Ｗｍ＝日 （ＲⅣ）．那么易得下面命题： 成立． 第４３卷 命题１存在 ， ＞０，使当ｍ＞ｒｈ时 本文下面取ｍ＞Ｍｏ．记Ｘ＝Ｘｍ，Ｗ＝Ｗｍ． ｛／ＩＶｕｌ ＋ｖ（ｘ）ｕ ｄｚ ｕ∈． ｍ：Ｊ Ⅳｕ２＝１）－，ＲⅣ。 ｍａ ｘ ～、２ Ｌｙａｐｕｎｏｖ—Ｓｃｈｍｉｄｔ约化 （３） 对任意同定的叫∈ｗ，定义泛函 ：ｘ—Ｒ如下： ≤ ｋ＋ ＜０， ｍ ｎ …／ＩＶｕｌ ＋ｖ（ｘ）ｕ ｄｚ、（ ）＝，（ ＋叫） ：｛ｕ∈ ｎ： Ⅳｕ２＝１）ＲＮ。Ｊ １（１ １一 ≥ 一 ＞０． （４） ） 对任意ｉ∈｛１，２，…， ｝， ｌｉｍ妒 一 在日 （ＲⅣ）内． 其中 ∈ ．由于伽同定，当 ｌｌ一。。时， （ ）一嘲． ）．由 是有限维的，可知存在 ０ （５） 设 ＝ｓｕｐ （ ０），且 注１由命题１，可推得以下两个结论：（１）存 ∈ 使得 ＝ （在正整数 ，使当ｍ＞ 时，对Ｖ ∈ ＼｛０｝， 一△ ０＋ｖ（ｘ）ｖｏ＝Ｋ（ｘ）１ｗ＋ＶｏＩｐ一 （叫＋Ｖ０）（１２） 引理１存在函数ｈ∈Ｃ （ ， ），使对任意 ∈ 【ｌ ｌ ＋ｖ（ｘ）ｖ ］ｄｚ＜０；（２）对Ｖ叫∈ ［１Ｖｗｌ ＋ｖ（ｘ）ｗ 】ｄｚ＞０． 记 ，Ｑ 分别为日 （ Ⅳ）到 ， ＼｛０）， 在ｆｘｍ） 中． 的投影 ，若 ≠ （ ），则有Ｉ（ｖ＋叫）＜，（ （叫）＋叫），并且 算子．根据文献［７】，存在与ｌ１．ＩＩ１等价的范数ｌ１．１ｌ， ｈ（ｗ）满足（１２）式． 使得对任意ｕ∈Ｈ （ＲⅣ）有－ 证明根据文献［６】的讨论和（１２）式，引理易证． 对任意 ∈Ｗ，令Ｆ（ｗ）＝Ｉ（ｈ（ｗ）＋叫）．易得， ＩＩＱ ｕＩＩ 一ＩＩＰｍｕＩＩ ：／（ＩＶｕｌ ＋Ｖｕ ）ｄ ． 记 ￣＝ｉｎｆ｛ 业：ｕＥ Ｈｔ（ ＼｛０））． （６） Ｆ∈Ｃ （Ｗ，Ｒ）．类似于文献［６】中引理２．２的证明， 下面的结论成立． 弓ｌ理２对每一叫∈Ｗ有 ＩＩＦ （伽）ＩＩ（Ｈ－（Ｒ ））・：ＩＩ， （ （叫）＋叫）ＩＩ（Ｈ－（Ｒ ））・ 成立． 根据文献［１０．１３】中的结论知下列问题 一Ａｕ＋ 。。ｔ上＝，ＧＰ一 ， ｔ上＞０在ＲⅣ内 引理３设｛ ）ｃ Ｗ是关于泛函Ｆ的（Ｐ．ｓ．）。 在日 （ＲⅣ）中存在唯一解ｗ（ｘ）（这里的唯一性是指 序列．若 将ｗ（ｘ一 ）， ∈ＲⅣ看作一类，即平移变换意义下 的唯一性），且ｗ（ｘ）满足下列关系式 ０＜ｃ＜（壶一 ） 呻 ， （１３） 那么｛叫 ｝有在日 （ＲⅣ）中强收敛的子列． －，／［１ｖｗ（ｘ）ｌ ＋ 。。（叫（ ）） 】ｄｚ＝。５ｐｌ，Ｉ叫（ ）Ｉ；＝１， ＲＮ 证明记 ＝ 酷 （∈Ｒ ），ＫＭ ｍａ￣：ＥＲｘＮ Ｋ（ｚ）・ 设｛叫 ｝ｃ Ｗ是泛函Ｆ的（Ｐ．ｓ．）。序列，即 Ｆ（ｗ ）一ｃ，Ｆ （叫 ）一０． 由泛函Ｆ的定义和引理２有 （７） ｉｍ ｗ（ｘ）ｌｘｌ￣Ⅳ一 ）／ ｅｘｐ（ｖＬ§Ｉｘ１）：ｄ１＞０， （８） ｉｍ Ｉ 叫（ ） （Ｎ－１）／。ｅｘｐ（ｖＬ Ｉｘ１）＝ｄ２＞０，（９） ．，（叫 ＋ｈ（ｗ ））一ｃ，， （叫 ＋ｈ（ｗ ））一０． 记ｕ ＝叫 ＋ｈ（ｗ ）．当ｎ充分大时， 其中ｄｌ＞０，ｄ２＞０．对每一 ∈ＲⅣ，记叫 ：＝叫（ 一 ）． 定义函数７７ｍ：ＲⅣ一Ｒ。如下： １ ０， 若 ∈Ｂｍ＋ｌ， （ ）：＝｛Ｉ Ｉ—ｍ一１，若 ∈Ｄ ＝Ｂｒｎ＋２＼Ｂｒｎ＋ｌ， ｌ １， 若 ∈ＲⅣ＼Ｂ ＋２． 对每一ｍ∈Ｎ，让 ｃ＋１＋ＩＩｕ ＩＩ≥，（ ）一 （， （ｕ ），ｕ ） ＝（ 一 ） （ ）ＩｕｎＩｐ ｄ ≥（去一 ） Ｉ Ｐ ｄｘ＝ｃ１ Ｕｎ．（１４） 由Ｉ－Ｉ６１ｄｅｒ和Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式，当ｎ充分大时， ＩＩＱ（ｕ ） ＝∈（ＲⅣ＼Ｂ２ ）：＝｛ ∈ＲⅣ：Ｉ Ｉ≥２ｍ｝， 然后记 叫 ， （ ）＝叼 叫 ＝即 ｗ（ｚ一 ）． 的定义知，对任意 ∈Ｘ 有 （１０） （１１） （， （ｕ ），Ｑ（ｕ ））＋／／￣（ｘ）ｌｕ Ｉｐ Ｑ（ｕ ）ｄｚ 由叩 （ ）及 ｓｕｐｐ（ｗ ， ）ｎ ｓｕｐｐ（ｖ）＝ ≤ （ｕ．）ｌｌ＋ＫＭ（／ｌｕ Ｉｐｄ ） 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 王非之：ＲＮ中带不定线性项的椭圆方程解的存在性 １２９ ・（／ ｌＱ（ｕ ）ｌ ｄ ）亩 ．，ＲＮ ⅣｌＶ ２＋ｖ￣Ｖ２ 则可得６≥ （ Ⅳ ｐ， ＜ｌｌＱ（ｕ ）ｌｌ＋ＫＭｌｕ ｌ： ｌＱ（ｔｉ ）ｌ， ￣＜ｌｌＱ（ｕ ）ｌｌ＋ｃ２］ｕ ｌ暑一 ｌＩＱ（ｔｉ ）ｌｌ， ￣ｂ ／ｐ，因此６≥ Ｉｖ Ｍ２／（２－－Ｐ） ．￣Ｐ／‘ ＿２ ． 那么ｌＩＱ（ｔｉ ）ｌｌ≤１＋ｃ２］ｕ ＿。．由（１４）式， ｌＩＱ（ｔｉ ）ｌｌ≤１＋Ｃ２（Ｃ５＋ｃ６１１ｕ ｌ１） ． 类似可得ｌｌＰ（ｕ ）ｌｌ≤１＋Ｃ８（Ｃ５＋￣ｌｌｔｉ ｌ１） ，那么， 由（１５） （ ）式 Ｉ（ｔｉ ）＝ １／（ＩＶｕ Ｉ ＋ （ ）ｕ ）ｄｘ ｚ ＪＲＮ 一 ｌＪｕ ｌ Ｊ＝ｌｌＱ（ｔｉ ）１１ ＋ＪＩＦ（ｔｉ ）１１ ≤［１＋ｃ２（ｃ５＋￣ｌｌｔｉ ｌ１） ］ ＋［１＋ｃ８（ｃ５＋￣ｌｌｔｉ ｌ１） ］ ． 既然 ＜１，司得｛ｕｎ）是有界的・不妨假设ｕｎ弱 收敛 ・易得（ （ ）， ）＝０，且 ＪＲＮ ／ｌＶｖｌ ＋ （ ） ｄｘ＝／Ｋ（ＪＲＮ ｘ）ｌｖｌ，ｄｘ． 进一步可得 ）＝三 Ⅳ（１ １２＋Ｖ（咖 ）ｄ 一 １ Ⅳ ） Ｉ ｄ ＝（三一三） Ｎ （ ）ｌ Ｉ ｄ ≥。． （１５） 令 ｎ＝ｕｎ— ・由文献［ 的引理１・３２可得， Ｊ／（ＲＮ ＩＶｕ ｌ ＋ ）ｕ ）ｄｘ＝／（ＪＲＮ ＩＶｙ Ｉ ＋ （ ） ）ｄｘ ＋／（ＪＲＮ ＩＶｖｌ ＋ （ ） ）ｄｘ＋ｏ（１） ＝Ｊ／（ＲＮ ［Ｖｖ ｆ。＋ 。。 ２）ｄｘ ＋ｔ（ＲⅣ ＩＶｖ ｌ＋ （ ） ）ｄｘ＋Ｄ（１），（１６） ＪＲＮ ／Ｋ（ｘ）ｌｔｉ Ｉｐｄｘ ／Ｒ （ ） ［Ｐｄｘ＋／Ｒ （ ）ｆ ［Ｐｄｘ＋ｏ（ ）・（ ７） （ （ｕ ），ｉｔ ） ＝．，ＲＮ ／（１Ｖｕ Ｉ ＋ ）ｕ ）ｄｘ一／Ｋ（ＪＲＮ ｘ）ｌｔｉ Ｉ ｄｘ ＝．，ＲＮ ／（１Ｖ Ｉ ＋ ） ）ｄｘ＋／（ＪＲＩＶ １Ｖ ｌ ＋ ） ）ｄｘ ｒ ｒ 一．，ＲＮ ／Ｋ（ｘ）ｌｖ Ｉｐｄｘ一／Ｋ（ＪＲＩＶ ｘ）ｌｖｌ ｄｘ＋Ｄ（１） ， ｒ ＝．，ＲＮ ／（１Ｖ Ｉ ＋ 。。 ２）ｄｘ一／Ｋ（ＪＲ ｘ）ｌｖ Ｉ ｄｘ ＋（ （ ）， ）＋Ｄ（１）． 根据（ （ ）， ）＝０和（ （ｕ ），ｉｔ ）一０，可设 ／（１Ｖ Ｉ ＋ 。。 ２）ｄｘ－＋ｂ，ｔ Ｋ（ｘ）ｌｖ Ｉ ｄｘ－＋ｂ， 可得ｂ＝０．事实上，由 的定义，有 ／（Ｉｖｖ ｆ ＋ｔ，。。ｔ， ）ｄｘ≥ （／Ｉｖ．Ｉ＂ｄｘ） ／ｐ． ／ＲⅣ （ ）ｌｕｎＩ １／ＲⅣ（ＩＶ Ｉ＋ （咖 ） ＋去／ＲⅣ（ＩＶ １２＋ｖ（咖 ） 一 ／ＲⅣ （ ）ｌ Ｉ 一 ／ＲⅣ （ ）ｌ ＩＰｄｘ＋ｏ（ ） ）＋去／ＲⅣ（ＩＶ Ｉ＋ （咖 ） 一言／ＲⅣ （ ） ＩＰ ｄｘ＋ｏ（ ）・ 根据６≥ ‘。一 ’ （ 一 ，可得 ｃ≥（三一 （三一 １ ￣ｖＭ２１ ， 这与（１３）式矛盾．因此ｂ＝０．那么 ０≤ＩＩｖ ＩＩ１＝［／（ＪＲＮ ＩＶｖ Ｉ ＋ 。。 ）ｄｘ］ ／ －－＊ｂ ／ ＝０， 所以 一０在日 （ＲⅣ）中．因此，ｕ 一ｕ在日 （ＲⅣ） 中，那么Ｗ ＋ （叫 ）一ｕ在Ｈ （ＲⅣ）中．根据叫 ＋ （叫 ）的有界性，易得Ｗ 一Ｑｕ在Ｗ中．引理证毕． ３主要定理的证明 本节应用山路引理证明主要定理． 引理４存在正数 ，ｐ使得Ｆ（叫）≥ ＞０，其中 Ｗ∈Ｗ且ｌｌ叫ｌｌ＝Ｐ． 证明由引理１，对任意Ｗ∈Ｗ＼｛０）， Ｆ（叫）＝ （加＋ （叫）） ≥ ） ／ＲⅣ（ＩＶ叫Ｉ。＋ （ ）叫。）ｄ 一 ／ＲⅣ （ ）ｌ叫Ｉ ＝１１￣．１ｌ 一 １ ２） Ｉ ｄ Ⅳ 。≥ １『 Ｉ『Ｉ。一ｃ１『Ｉ叫『 Ｉ． 因此存在正数Ｑ，ｐ使得Ｆ ）≥ ＞０，其中Ｗ∈Ｗ 且ｌｌ叫ｌｌ＝Ｐ． ． 引理５存在 ∈Ｗ且 Ｂ（Ｏ，Ｐ）使得Ｆ（ｖ）＜０． 证明由Ｗ ， 的定义， Ｆ（ｔｗ ， ）＝Ｉ（ｔｗ ， ＋ｈ（ｔｗ ， ）） 维普资讯 http://www.cqvip.com １３０ 兰州大学学报（自然科学版） 第４３卷 ＝ ［［Ｖｔｗｍ，ｚ￣＋ｈ（ｔｗｉｎ，ｚ．￣ 【４］ＡＬＡＭＡ Ｓ．‘Ｍｕｌｔｉｂｕｍｐ’ｂｏｕｎｄ ｓｔａｔｅｓ ｆｏｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ａｌｉｇｎｓ［Ｊ］．Ｉｎｄｉａｎａ Ｊ Ｍａｔｈ，１９９２， ＋ ）（￡ ， ＋ｈ（ｔｗ ， ）） ］ｄｘ ４１（４）：９８３－１０２６． 一 ）ｌｔｗｍ，￣＋ｈ（ｔｗｉｎ，ｚ，￣ 【５ｌ ＢＡＲＴＳＣＨ Ｔ，ＤＩＮＧ Ｙ Ｈ．Ｏｎ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ ｌａｉｇｎ ｗｉｔｈ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｐｏｔｅｎｔｉｌａ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ａｎｎ，１９９９， ≤三 ［ＩＶｔｗｍ，ｚ，￣Ｊ２＋Ｖ（ ）（ｔｗｎｉ，ｚ￣） 】ｄ ３１３（１）：１５－３７． 【６１ ＢＵＦＦＯＮＩ Ｂ，ＪＥＡＮＪＥＡＮ Ｌ，Ｓｔｕｒｔ Ｃ Ａ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａ 一 （ ）Ｉｔｗ～ｍ Ｉｄ ｎｏｎ・－ｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｓｅｍｉｌｉｎ・－ Ｓｏｃ，１９９３，１１９（１）： Ｗｍ）ｚｍ （ ）ＩＷｍ，ｚｍＩ ｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ Ａｍｅｒ Ｍａｔｈ １７５—１８６． 注意到ｍ＞Ｍｏ，所以存在ｔ０＞０，使当ｔ≥ｔ０时 【７】ＣＯＳＴＡ Ｄ Ｇ，ＴＥＨＲＡＮＩ Ｈ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃ－ Ｆ（ｔｗ ， ）＜０．不妨设 ＝ ， ，其中所取 使得 ｉｔｙ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ ａｌｉｎｇｓ ｗｉｔｈ Ｉ Ｉ， ＩＩ＞Ｐ，则结论得证． ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ 引理６存在 ≥Ｍｏ使得如果ｍ＞ ，则下列结 Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００３，８（１１）：１ ３１９—１ ３４０． 论成立：存在常数Ｒｍ≥２ｍ使得若Ｉｚ Ｉ≥Ｒ ，则 【８】刘嘉荃，李树杰．多个临界点的存在性定理及其应 Ｆ（ｔｗｍ， ）＜（吉一 ） 一。，ｔ≥０， （１８） 用【Ｊ】．科学通报，１９８４（１７）：３－５． 其中叫 ， 在（１０）式中给出定义． Ｉ９】ＥＧＯＲＯＶ Ｙ，ＫＯＮＤＲＡＴＩＥＶ Ｖ．Ｏｎ Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ｔｈｅｏｒｅｙ 证明由Ｆ及ｗ ， 的定义， ｏｆ Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｍ］．Ｂａｓｅｌ：Ｂｉｒｋｈ￣ｉｕｓｅｒ，１９９６． Ｆ（ｔｗ ， ）≤Ｉ（ｔｗ ， ）． 【１０】ＢＡＨＲＩ Ａ，ＬＩ Ｙ Ｙ．Ｏｎ ａ ｍｉｎｍａｘ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｃｅｒｔａｉｎ 然后根据文献【１４】的结果可证明引理． ｓｃａｌｒａ ｆｉｅｌｄ ａｌｉｇｎｓ ｉｎ ＲⅣ【Ｊ】．Ｒｅｖ Ｍａｔ Ｉｂｅｒｏａｍｅｒｉ— 主要定理的证明由引理５可得，在 中存在 ｃａｒｌａ，１９９０，６（１）：１－１５． ｅ譬Ｂ ，使得Ｆ（ｅ）＜０．令 【１１１ ＧＩＤＡＳ Ｂ，ＮＩ Ｗ Ｍ，ＮＩＲＥＮＢＥＲＧ Ｌ．Ｓｙｍｍｅｔｒｙ Ｆ＝｛ ∈ｃ（【０，１】， ）Ｉ （０）＝ｏ， （１）＝ｅ）． ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ａｌｉｇｎｓ ｉｎ 定义ｃ＝ｉｎｆ ｍａｘＦ（ ）．根据引理３和山路引理可得 ＲⅣ［Ｃ］／／Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌｉ Ｐａｒｔ Ａ。Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ ｃ是Ｆ的临界值。再根据引理１和引理２，从相应的 Ｍａｔｈ Ｓｕｐｐｌ Ｓｔｕｄｉｅｓ ７Ａ．ＮＡＣＨＢＩＮ Ｌ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： 临界点ｖ０可得问题（１）的解 （ ０），显然 （ ０） Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，１９８１：３６９－４０２． ≠０． 【１２】ＫＷＯＮＧ Ｍ Ｋ．Ｕｎｉｑｅｎｅｓｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ 参 考 文 献 △ｔ正．ｔ正＋ｔ正ｐ＝０【Ｊ］．Ａｒｃｈ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈ Ａｎａｌ，１９８９， ＳＩＲＡＫＯＶ Ｂ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ １０５（３）：２４３－２６６． ｏｆ ｓｅｍｉ．１ｉｎｅａｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ａｌｉｇｎｓ ｉｎ ＲⅣ【Ｊ】．Ｃａｌｃ Ｖａｒ， 【１３】ＳＲＡＵＳＳ Ｗ Ａ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｉｔｒａｙ ｗａｖｅｓ ｉｎ ｈｉｇｈｅｒ ２０００，１１（２）：１１９－１４２． ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｍ Ｍａｔｈ Ｐｈｙ，１９７７，６５（２）：１４９－ 【２】ＷＩＬＬＥＭ Ｍ．Ｍｉｎｉｍａｘ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ［Ｍ］．Ｂｏｓｔｏｎ： １６２． Ｂｉｒｋｈ￣ｕｓｅｒ，１９９６． 【１４】ＷＡＮＧ Ｆ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｎｏｎｌｉｎｅｒａ １３ｌ ＣＨＡＢＲＯＷＳＫＩ Ｊ，ＳＺＵＬＫＩＮ Ａ．Ｏｎ ａ ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ ａｌｉｇｎｓ ｗｉｔｈ ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔ［Ｊ］． ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ ｌａｉｇｎ ｗｉｔｈ ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｓｏｂｏｌｅｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， Ｐｒｏｃ Ａｍｅｒ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，２００２，１３０（１）：８５－９３． ２００７，３３１（２）：１ ００１—１ ０２２． Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａｎ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ，ｗｉｔｈ ａｎ ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔ ｉｎ Ⅳ ｗＡＮＧ Ｆｅｉ—ｚｈｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｙａｎｔａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｔａｉ ２６４００５，Ｓｈａｎｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔ ｉｎ Ⅳｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ Ｌｙａｐｕｎｏｖ—Ｓｃｈｍｉｄｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｍｏｕｎｔａｉｎ ｐａｓｓ ｌｅｍｍａ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｒｉｔｉｃａｌ ｐｏｉｎｔ；ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｌｙａｐｕｎｏｖ—Ｓｃｈｍｉｄｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ；ｍｏｕｎｔａｉｎ ｐａｓｓ ｌｅｍｍａ ＡＭＳ Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎｓ（２０００）：３５Ｊ７０
