北师大版七年级上册数学[《有理数及其运算》全章复习与巩固(提高版)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版七年级上册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高）

【学习目标】

1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．

2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．

3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．

4． 会用科学记数法表示数． 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类：

（1）按定义分类： （2）按性质分类：

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要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；

（2）有理数“0”的作用： 作用 表示数的性质 表示没有 表示某种状态 表示正数与负数的界点 举例 0是自然数、是有理数 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 00C表示冰点 0非正非负，是一个中性数

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．

（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．

3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．

要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．

（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为

正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：

（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作a．

(a0) (a0)

（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则：

（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．

（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．

（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．

a|a|0a(a0)资料来源于网络 仅供免费交流使用

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（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，

－[+（－3）]=3．

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果

中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指

3数为偶数，则幂为正，例如： (3)9， (3)27．

21b2．运算律：

（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成a10的形式（其中1≤a10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=210． 【典型例题】

5n类型一、有理数相关概念

1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）＝0，求220092010

a-(x+y+mn)a+(x+y)+(-mn)的值．

【思路点拨】 (1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立． (2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立． 【答案与解析】

2

解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）≥0， 所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，

220092010

所以a-(x+y+mn)a+(x+y)+(-mn)

220092010

＝a-(0+1)a+0+(-1)

2

＝a-a+1．

2

∵a＝1，∴原式＝1-1+1＝1

【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念． 举一反三：

2

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【变式1】选择题 （1）已知四种说法：

①|a|=a时，a>0； |a|=-a时， a<0． ②|a|就是a与-a中较大的数． ③|a|就是数轴上a到原点的距离． ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|． 其中说法正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）有四个说法：

①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ）

A．①② B．③④ C．②④ D．①② （3）已知(-ab)>0，则（ ）

A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A．120 B．-15 C．0 D．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）

A．-a与(-a) B．-a与|-a| C．[(-a)]与(-a) D．(ab)与ab

【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C 【变式2】（2015•甘南州）在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约27000000个，将这个数用科学记数法表示为（ ） A．2.7×10 【答案】C．

5

6

6

3

3

23

32

3

3

3

B． 2.7×10

6

C． 2.7×10

7

D． 2.7×10

8

2．（2016•江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2016|=________．

【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2016|. 【答案】 2016.

【解析】解：∵m，n互为相反数， ∴m+n=0，

∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016； 故答案为2016．

【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．

类型二、有理数的运算

3．(1)4362

(2)(231312145153)(1.5)() 1244资料来源于网络 仅供免费交流使用

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31(3)24121524252

(4)1113777512.5

6334812853111222

11322100(5)

【答案与解析】

2111113622 33241254342（2）原式

121523913（3）原式32(4)12(1516)10

412561（4）原式[1(2)1]()2

33253解：（1）原式41125112()（5）原式43.9

1192【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等． 举一反三： 【变式】

521178320.25]199[()22]

714892312551135（2）(1)()()(2)()

299229（1）[()1【答案】

521178320.25]199[()22]

7148923251471834()199(2) 492584929118343 ()199(2)

4492922 0(3)

3203

3解：（1）[()1资料来源于网络 仅供免费交流使用

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1 312551135（2）(1)()()(2)()

299229955515 ()()()()

499289 25951()()9428

17224

4．（2015•铜仁市）定义一种新运算：x*y=

，如2*1=

=2，则（4*2）*

（﹣1）= ．

【答案】0． 【解析】 解：4*2=2*（﹣1）=

=2，

=0．

故（4*2）*（﹣1）=0．

【总结升华】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 举一反三：

【变式】用简单方法计算：

11111 8244880120【答案】

1111111111115 (...)244668810101222446101224类型三、数学思想在本章中的应用

解：原式=

5．（1）数形结合思想：已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．

A．2b+a B．2b-a C．a D．b

（2）分类讨论思想：已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小． （3）转化思想：(999)1． 35资料来源于网络 仅供免费交流使用

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【答案与解析】 解：（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．

（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：

当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a； 当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；

当a＜0时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a． 综上所述：当a≥0时， |a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a． （3）(999)1(10001)(35)(1000)(35)1(35)34965． 35【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．

类型四、规律探索

6．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．

A．495 B．497 C．501 D．503

【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和． 【答案】A

【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．

【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来． 举一反三：

【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）

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A．

1111 B． C． D． 132360495660n2【答案】B提示：观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(1)倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是

11． 1094360资料来源于网络 仅供免费交流使用