七年级数学竞赛讲座第7讲代数式的化简和求值(含答案)

知识梳理：

用数值代替代数式里的字母，按照代数式里指明的运算计算出的结果，就叫代数式的值，经常利用代数式的值进行比较、推断代数式所反映的规律．

在求代数式的值时，我们经常先将代数式化简，再代入数值计算，从而到达简化计算的目的．在化简代数式时常用到去括号法则、合并同类项法则、绝对值的意义及分类讨论的思想等．

例1 已知x<-3，化简│3+│2-│1+x│││．

分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可以从里到外一层一层地去绝对值符号．

解：∵x<-3，∴1+x<0，3+x<0

原式=│3+│2+（1+x）││

=│3+│3+x││

=│3-（3+x）│

=│-x│=-x．

练习1

1 / 12

word 31．化简：3x2y-[2xy2-2（xy-2x2y）+xy]+3xy2．

|1|1x||2．当x<-2时，化简2x．

3．化简：│3x+1│+│2x-1│．

例2 设（2x-1）5=a5x5+a4x4+a33x+a22x+a1x+a0，

求：（1）a1+a2+a3+a4+a5+a6的值；（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值；（3）a0+a2+a4的值．

分析 可以取x的特殊值．

解：（1）当x=1时，

等式左边=（2×1-1）5=1，

等式右边=a5+a4+a3+a2+a1+a0，

∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1．①

（2）当x=-1时，

等式左边=[2×（-1）-1]5=-243，

2 / 12

word 等式右边=-a5+a4-a3+a2-a1+a0

∴a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243． ②

（3）①+②得，

2a0+2a2+2a2=-242．

∴a0+a2+a4=-121．

练习2

1．当x=2时，代数式ax3-bx+1的值等于-17，那么当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5的值等于_________．

2．某同学求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当x=-1时的值时，•

该生由于将式子中某一项前的“＋”号误看成“－”号，算得代数式的值为7，那么这位同学看错了几次项前的符号？

3．已知y=ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a、b、c、d、e为常数，当x=2时，y=23；当x=-2时，y=-35；那么e的值为（ ）．

A．-6 B．6 C．-12 D．12

3 / 12

word xyz例3 若abbcca，求x+y+z的值．

分析 对于连等我们常设它们的比值为k，或用其中一个表示数的字母把其它的数表示出来．

xyz设abbcca=k，则：x=k（a-b），y=k（b-c），z=k（c-a）

即x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka， ∴x+y+z=0

练习3

xyzx1．已知yz=xzxy，求yz．

abc2．已知a=3b，c=5a，求abc的值．

3x5xy3y113．已知x-y=2，求x3xyy的值．

bccaababc=0， 例4 若a+b+c=0，且

bcbccacaabab2222bccaa2b2的值． 求

分析 先代入使a+b+c=0、＝0成立的a、b、c的特殊值，如a=b=1，c=-2，可求

4 / 12

word 得所求代数式的值为0，给出求值方向．下面我们来说明所求代数式的值为0．

解：由：a+b+c=0，两边同乘以abc，得：

a2bc+ab2c+abc2=0 ①

bccaababc=0，两边同乘以abc，得： 由

bc（b-c）+ac（c-a）+ab（a-b）=0，

即 a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）=0． ②

①+②得：a2（bc+b-c）+b2（ac+c-a）+c2（ab+a-b）=0

两边同除以a2b2c2得：

bcbccacaabab2222bccaa2b2=0

∴原式的值为0.

练习4

111．已知（x-3）2+│n-2│=0，求代数式3xn+3xn-1-（x3+3xn-1-3）的值．

5 / 12

word 2．已知A=3x2-9xy+y2，B=3x2-9xy-y2，化简：2A-{3B-[A+2（B-A）]}．

ax33．如果无论x取什么值，代数式bx4（分母不为零）都得到同样的值，那么a与b•

应满足什么条件？

abc例5 已知三个正数a、b、c满足abc=1，求aba1bcb1acc1的值．

分析 本题若直接通分，计算较复杂，考虑到abc=1，可将原式第二个分式的分子、分母同乘以a，第三个分式的分子、分母同乘以ab，达到通分的目的．

aababc2解：原式=aba1+abcabaabcabcab

aab1=aba1+1abaa1ab

aab1 =aba1=1．

练习5

ab1．若a、b为正数，且ab=1，求a1b1的值．

1112．已知a+b=1，b+c=1，求c+a的值．

6 / 12

word 3．若a、b、c、d是四个正数，且abcd=1，

abcd求abcaba1bcdbcb1cdacdc1dabdad1的值．

参:

练习1

1．xy2+xy．

原式=3x2y-[2xy2-2xy+3x2y+xy]+3xy2=3x2y-2xy2+2xy-3x2y-xy+3xy2=xy2+xy．

2．1 │+│1-x││（因为1-x>0）

=│1+1-x│

=│2-x│（因为2-x>0）

=2-x

∴原式=1．

11113．当x<3时，原式=-5x；当3≤x<2时，原式=x+2；当x≥2时，原式=5x．

用零点区间讨论法：

7 / 12

word 11由3x+1=0、2x-1=0，得零点，x=-3，、x=2，把这两个零点标在数轴上，•可把数1111轴分为三部分，即x<-3、-3≤x<2、x≥2，这样就可以分类讨论化简原式了．

1当x<-3时，原式＝-（3x+1）-（2x-1）=-5x；

11当-3≤x〈2时，原式＝（3x+1）-（2x-1）=x+2；

1当x≥2时，原式＝（3x+1）+（2x-1）=5x．

练习2

1．22．当x=2时，8a-2b+1=-17，即4a-b=-9；

当x=-1时，-12a+3b-5=-3（4a-b）-5=-3×（-9）-5=22．

2．5． 设看错的是x的n次项前的符号，那么他计算的代数式实际是

10x9+9x8+…+2x+1-2（n+1）xn，由题意得：

10×（-1）9+9×（-1）8+…+2×（-1）+1-2（n+1）（-1）n=7，

即（n+1）（-1）n=-6．

8 / 12

word ∴n=5．

3．A．当x=2时，27·a+25·b+23·c+2d+e=23 ①

当x=-2时，-27·a-25·b-23·c-2d+e=-35 ②

①+②得2e=-12，∴e=-6．选A．

练习3

xyz11．2或-1．设yz=xzxy=k，则：

x=k（y+z）①；y=k（x+z）②；z=k（x+y）③．

①+②+③得：x+y+z=2k（x+y+z），∴（x+y+z）（2k-1）=0．

xxx11当x+y+z=0时，yz=x=-1，当2k-1=0时，k=2，即yz=2．

193bb15b19b192．-11．c=5a=15b，把a=3b，c=15b代入原式，原式=3bb15b11b=-11．

3(yx)5xy6xy5xy1111112xy3xy=-5． 3．-5．由x-y=2，知y-x=2xy，故原式(yx)3xy练习4

9 / 12

word 1．3 由题意知x=3，n=2．

11原式=3xn+3xn-1-x3-3xn-1+3=3xn-x3+3=3×32-33+3=3．

2．2y2．原式=2A-{3B-[A+2B-2A]}

=2A-{3B-A-2B+2A}

=2A-3B+A+2B-2A

=A-B

=3x2-9xy+y2-（3x2-9xy-y2）=2y2．

ax33．4a=3b．因不论x取什么值，代数式bx4的值都相同，

ax33所以我们可以取x=0，得：bx4=4，

3即不论x取什么值，该代数式的值都为4，

ax33再取x=1，得bx4=4，

故4a=3b．

10 / 12

word

练习5．

1b1b111．1．由ab=1得，a=b，故原式=b+b1=b1+b1=1．

1b1b11b2．1．由题意知a=1-b=b，∴a=b1．

111∵c=1-b，∴c=1b=-b1．

11b∴c+a=-b1+b1=1．

3．1．利用abcd=1把它们化为同分母：

aadadabcaba1(abcaba1)dabdadd1；

bbadabdbcdbcb1(bcdbcb1)adabdadd1；

ccabd1cdaadc1(cdacdc1)abdadd1abd

∴原式=1．

11 / 12

word

12 / 12