二次函数计算题

二次函数计算题(总10页)

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二次函数计算题

1、在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知：点A（3，0）、

y B（2，5）、C（0，3）.

（1）求经过点A、B、C的抛物线的表达式及画出图形； （2）若点D是（1）中求出的抛物线的顶点，求tanCAD的值. O x

2、已知：抛物线yax2bxc经过A（-1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的表达式； （2）写出该抛物线的顶点坐标．

3、如图，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan∠CBO=3． （1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标； （2）若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的 2

y C 2

A D B O x 三角形与△ABC相似，求P点坐标．

44、已知：如图，抛物线yx2mx4与y轴交于点C， 5y 与x轴交于点A、B，（点A在点B的左侧）且满足OC=4OA．设抛物线的对称轴与x轴交于点M： （1）求抛物线的解析式及点M的坐标； （2）联接CM，点Q是射线CM上的一个动点， 当△QMB与△COM相似时，求直线AQ的解析式．

5、如图，在直角坐标平面上，点A、B在x轴上（A点在B点左侧），点C在y轴正半轴上，若A（-1,0），OB=3OA，且tan∠CAO=2.

3

C A B O x （1）求点B、C的坐标；

（2）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；

（3）P是（2）中所求抛物线的顶点，设Q是此抛物线上一点，若△ABQ与y△ABP的面积相等，求Q点的坐标.

6、如图，已知抛物线y交y轴于点A.

（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；

（2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移m个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为P，联结BP，直线BP将△ABC分割成面积相等的两个三角形，求m的值． y

AOx 12xbxc经过点B（-4，0）与点C（8，0），且4

4

B O C x A

7、在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3）、B（2，n）两点

y12在二次函数yxbx4的图像上.

3B A （1）求b与n的值；

（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；

1111O （3）若点P（不与点A重合）在题目中已经求出的二次函数 x的图像上，且POB45，求点P的坐标.

8、如图，抛物线yax22axb经过点C（0，且与x轴交于点A、点B，若tan∠ACO=

3）， 22． 3y （1）求此抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点 （不与点B重合），∠MPQ=45°，射线PQ与线段BM 交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标．

P A O C M Q B x 5

答案：

1．解：（1）设经过点A、B、C的抛物线的表达式为yax2bxc， 将点A（3，0）、B（2，5）、C（0，3）分别代入，得

6

9a3bc0,a1, 4a2bc5, 解这个方程组，得 b2, …………1+3分

c3.c3. 所以，经过点A、B、C的抛物线的表达式为yx22x3. ……1分

y（2）由yx22x3=(x1)24，

得顶点D的坐标是D(1,4). …………1分 方法1：AC2323218，

CD(10)(43)2，

AD2(31)2(04)220. …………1分

222x∵AC2CD218220,AD220，∴AC2CD2AD2.……………1分

图5

CD21∴ACD90. ∴tanCAD. …………1+1分

AC3232.解：（1）由抛物线yax2bxc经过C（0，3）可知c3. …………（2分） 由抛物线yax2bx3经过A（-1，8）、B（3，0）得

a(1)2b(1)38, ………………………………………………………（2分） 2a3b330.a1,解得 …………………………………………………………（2分）

b4.∴该抛物线的表达式为yx24x3. ………………………………………（1分） （2）由yx24x3配方得y(x2)21. …………………………………（2分） ∴顶点坐标为（2，-1）. ………………………………………………… （1分） 3、解：（1）∵直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于点A、C 7

∴A(3,0),B(0,3) …………………………………………（1分）

在Rt△ADB中，分）

设二次函数解析式为ya(x3)(x1)，将点B（0，3）代入，解得a=1 ∴二次函数解析式为yx24x3…………………………………………（2分） ∴顶点D坐标为(2,1) ………………………………………………………（1分） （2）D(2,1),B(1,0)，∴∠ABD=45°，………………………………………（1分）

直线AC的解析式为y=x+3，∴∠CAO=45°

即∠ABD =∠CAO ……………………………………………………………………（1分） 若APBACB，即四边形APBC为平行四边形时，解得P(－4，－3)；

若BAPACB，得

ACAB32222，得，得BP，解得ABBP2BP3COtanCBO3，得BO=1，B（1，0）………（2BOP(,).

52综上所述，点P的坐标为(－4，－3)或(,)………………………………（4

335323分）

4．

解：（1）根据题意：C（0，4）……………………………（1分） ∵OC=4OA

∴A（1，0）………………………………………………（1分）

4把点A代入得0=m4 ……………………………（1分）

516解得m= ………………………………………………（1分）

5416∴抛物线的解析式yx2x4…………………（1分）

558

416436yx2x4（x2)2

5555∴ M(2，0) ………………………………………………（1分）

（2）根据题意得：BM=3，tan∠CMO= 2，直线CM：y=2x+4 （i）当∠COM=∠MBQ=90°时，△COM∽△QBM

BQ2 ∴tan∠BMQ=BM∴BQ=6

即Q（5，6） ……………………………………（2分） ∴AQ：yx1 ……………………………………（1分） （i i）当∠COM=∠BQM=90°时，△COM∽△BQM

136同理Q（，-） …………………………………（2分）

5511∴AQ：yx …………………………………（1分）

33

5、解：（1）据题意OA=1，Rt△ACO中，tan∠CAO=∴OC=2 ∴C（0,2） （1分）

OB=3OA=3 ∴B（3,0） （1分） （2）设ya（x1）(x3)a0 （1分）

OC=2 （1分） OAC（0,2）代入得2=-3a ∴a- （1分）

224）(x3)-x2x2 （1分） ∴y-（x133323（3）设Q（x,y）

248∵y-x2x2 ∴P（1，） （1分）

33311816AB=OA+OB=4 SABPAByp4

22331168∵△ABQ与△ABP的面积相等 ∴SABQABy ∴y=

233（2分）

9

当y=83时 83-23x243x2 解得x1x21

∴Q（1，83） （1分）

当y=-88243时 -3-3x23x2 解得x1，2122 ∴Q

（122，83) （2分） 6．解：（1）由题意，得：44bc0,168bc0 解这个方程组，得b1c8

∴抛物线的表达式为y14x2x8

∵y14x2x814(x2)29 ∴顶点坐标是（2，-9）

（2）易求A（0, -8），设线段AC的中点为D，可求得点D的坐标是（4，4）

由题意知BP经过D（4，-4）

设lb(k0)，可得04kbk1BP:ykx44kb ，解得2

b2∴l1BP:y2x2

又由题意知，新抛物线的解析式为y14(x2m)25

∴顶点P坐标为（2+m，-5）

∵点P在直线BP上， ∴512(2m)2

∴m4

7．解：（1）∵点A（-1，3）在二次函数y13x2bx4的图像上， ∴ 3123(1)2b4.解得b3. ……2分

∴经过A（-1，3）、B（2，n）两点的二次函数的解析式是

y13x223x4. ∴n12322324，即

n4. ……2分

10

-

（2）如图9-1，过点A作ADx轴，垂足为D，过点B作BEAD，垂足为E.

由题意，易得 OD1，AD3，BE3，ED4，AE431.

y∴梯形ODEB的面积为：

S梯形ODEBSADOSAEB11(ODBE)DE448. 2213ADOD, 2213BEAE. 22x∴SAOBS梯形ODEBSADOSAEB835. 评分标准：四个面积表达式，每个1分. 方法2：与方法1类似

121S梯形ADMB(34)3，

2213SADOADOD，

221SBOMBMOM4，

2y图9--

∴SAOBS梯形ADMBSADOSBOM5. 评分标准：四个面积表达式，每个1分.

图9—2

x方法3：分别求AB、AO、AB的长度，勾股逆定理证△AOB是直角三角形，使用三角形面积公式直接求△AOB的面积.

其中，求出AO10、AB10，OB20，………………1分. 勾股逆定理证△AOB是直角三角形 ………………2分

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SAOB11OAAB10105 ………………1分 22方法4：与方法1类似，证明△AOD≌△BAE.

方法5：求直线AB与y轴的交点N的坐标，然后求△AON、△BON的面积.

方法6：利用锐角三角比求A到OB的距离，然后△AOB的面积. 其他方法，请阅卷老师补充.

（3）分别计算：AO10、AB10，OB20，

利用勾股逆定理证△AOB是直角三角形. 由AOAB得到AOBABO45. ∵POB45，P不与点A重合， ∴AOPAOBPOB90.

图9—3

过P作PHx轴，垂足为H.

由POHAOD90，OADAOD90 得POHOAD. ……1分

PHOD1tanPOHtanOAD. OHAD3PH1tanPOH，设PHk，则OH3k，得P(3k,k). ……1分 ∴OH31212将P(3k,k)代入yx2x4，得 k(3k)2(3k)4.

3333xy∴

整理，得3k2k40.

解这个关于k的方程，得k11，k2分

12

44P(4,) ……1(3,1).得P、21334经验知P2(3,1)不合题意，舍去.故所求的点P的坐标为P(4,). ……1

3分

8. 解：(1)∵抛物线y1ax22axb经过点C（0，3）， 2∴b=，OC=．……………………………………………………………（1分） 22∵∠AOC=90°，tan∠ACO=

3323，

∴OA=OC=1，∴点A坐标为（1，0），…………………………………（1分） 代入解析式，解得a=， 2 所以解析式为：yx2x．……………………………………………（122分） (2) 由y23113123xx解得：M（1，2），B（3，0）． 22……………………………………………（2分） 过点M作MD⊥x轴交于点D，…………（1分） ∵DM=DB=2， y ∴∠OBM=45°． ………………………（1分） Q ①当QP=QM时， C ∠QPM=∠QMP=45°，∴∠PQM=90°． M 又∵∠OBM=45°，∴∠MPB=90°． （第24题） ∴P（1，0）．………………………………（1分）

②当PM=PQ时，

∵∠MPQ=∠OBM =45°，∠PMQ=∠BMP，

∴△PMQ∽△BMP，…………………………………………………………（1分）

∴BP= BM=22，……………………………………………………………（1分） ∴P（322，0）．…………………………………………………………（1分）

A O P D B x 13

③当MP=MQ时，

点Q与点B重合，点P与点A重合，不合题意，舍去．…………………（1分） 综上所述，符合条件的点P坐标为（1，0）或（322，0）．

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