2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(09 解三角形)

2016

王 生

年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（09解三角形）

一、选择题

1.（2016全国Ⅰ文）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a5,c2,cosA则b=（ ）

（A）【答案】D

【解析】试题分析：由余弦定理得5b42b2考点：余弦定理

【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

2.（2016全国Ⅲ文）在△ABC中，B=（A）【答案】D

【解析】设BC边上的高线为AD，则BC3AD,DC2AD，所以

π1， BC边上的高等于BC,则sinA=（ ） 4322,32 （B）3 （C）2 （D）3

21,解得b3（b舍去）,故选D. 335103103 （B） （C） （D） 5101010ACAD2DC25AD．由正弦定理，知

310，故选D． 105AD3ADACBC，即，解得sinBsinAsinA22sinA考点：正弦定理．

【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．

3.（2016全国Ⅲ理）在△ABC中，

B=π1BC4，BC边上的高等于3,则cosA=（ ）

3103101010--10 （A）10 （B）10 （C）10 （D）

【答案】C

22ACADDC5AD，BCBC3ADAD【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以

AB2AC2BC22AD25AD29AD210cosA2ABAC10，故22AD5ADAB2AD．由余弦定理，知

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2016年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学

选C．

考点：余弦定理．

王 生

【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．

4.（2016山东文）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=（ ）

（A）【答案】C

3ππππ（B）（C）（D）

3 4 64

考点：余弦定理

【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考知识内

容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.

5.（2016天津理）在△ABC中，若AB=13,BC=3，C120 ,则AC= （ ）

（A）1 【答案】A

【解析】试题分析：由余弦定理得139AC23ACAC1,选A. 考点：余弦定理

【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．

2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．

（B）2

（C）3

（D）4

二、填空

1. （2016北京文）在△ABC中，A【答案】1

b2 ，a3c，则=_________.

c3 第2页 （共11页）

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考点：解三角形

【名师点睛】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．

2.（2016江苏） 在锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ▲ . 【答案】8.

考点：三角恒等变换，切的性质应用

【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC中恒有tanAtanBtanCtanAtanBtanC，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识

3.（2016全国Ⅱ文、理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosAa=1，则b=____________. 【答案】

45，cosC，51321 13【解析】试题分析：因为cosA45312,cosC，且A,C为三角形内角，所以sinA,sinC，51351313sinBsin[(AC)]sin(AB)sinAcosCcosAsinC，

65abasinB21. ，所以bsinAsinBsinA13又因为

考点： 正弦定理，三角函数和差公式.

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，

要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

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4、（2016上海文、理）已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________. 【答案】73 3a2b2c21cosC2ab2， 【解析】试题分析：由已知a3,b5,c7，∴

∴sinCc733，∴R 2sinC32考点：1.正弦定理；2.余弦定理.

【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等

式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.

三、解答题

1. （2016北京理）在ABC中，acb2ac. （1）求B 的大小；

（2）求2cosAcosC 的最大值. 【答案】（1）

222；（2）1. 4

考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.

【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．

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2. （2016江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=（1）求AB的长； （2）求cos(A-π)的值. 64π，C=. 54 王 生

【答案】（1）52(2) 【解析】

726 203试题分析：（1）利用同角三角函数关系求sinB=， 再利用正弦定理求

526ACsinC252. (2)利用诱导公式及两角和余弦公式分别求AB3sinB5722sinAsin(BC),cosAcos(BC)，最后根据两角差余弦公式求1010726cos(A)，注意开方时正负取舍.

620434试题解析：解（1）因为cosB,0B,所以sinB1cos2B1()2,

555ACsinCACAB，所以ABsinBsinBsinC6352252.

由正弦定理知

考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式

【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.

3.（2016全国Ⅰ理）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)c. （I）求C；

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（II）若c7,ABC的面积为【答案】（I）C 王 生

33,求ABC的周长． 23（II）57 【解析】试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得cosC1,故C；（II）根据231332．及C得ab6．再利用余弦定理得 ab25．再根据c7可得absinC322C的周长为57．

考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,

sinABsinC,cosABcosC,

,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,

常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”

4.（2016山东理）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanAtanB)（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

tanABtanCtanAtanB.cosBcosA1 2【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明； （Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.

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试题解析：由题意知2 王 生

sinAsinBsinAsinB， cosAcosBcosAcosBcosAcosB化简得2sinAcosBsinBcosAsinAsinB， 即2sinABsinAsinB. 因为ABC,

所以sinABsinCsinC. 从而sinAsinB=2sinC. 由正弦定理得ab2c.

()由()知cab, 2

故 cosC的最小值为

1. 2考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.

【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力

5 （2016四川文\\理）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且（I）证明：sinAsinBsinC；

222（II）若bcacosAcosBsinC. abc6bc，求tanB. 5【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.

试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设

abc===k(k>0)． sinAsinBsinC 第7页 （共11页）

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则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C． 代入

王 生

cosAcosBsinC+=中，有 abccosAcosBsinC+=，变形可得

ksinAksinBksinCsin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C， 所以sin Asin B=sin C． （Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=

6bc，根据余弦定理，有 5b2c2a23cos A==．

52bc所以sin A=1cosA=

24． 5由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以

443sin B=cos B+sin B， 555sinB4． cosB故tanB考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.

【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180这个结论，否则难以得出结论．

6、（2016四川文）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且（I）证明：sinAsinBsinC；

222（II）若bcacosAcosBsinC. abc6bc，求tanB. 5【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.

试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设

abc===k(k>0)． sinAsinBsinC 第8页 （共11页）

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则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C． 代入

王 生

cosAcosBsinC+=中，有 abccosAcosBsinC+=，变形可得

ksinAksinBksinCsin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C， 所以sin Asin B=sin C．

b2c2a236（Ⅱ）由已知，b+c–a=bc，根据余弦定理，有cos A==．

552bc2

2

2

所以sin A=1cosA=

24． 5443sin B=cos B+sin B， 555由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以

故tanBsinB4． cosB考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.

【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180这个结论，否则难以得出结论．

7．（2016浙江文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B． （Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cos B=

2，求cos C的值． 322. 27【答案】（I）证明见解析；（II）cosC 第9页 （共11页）

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因此，A（舍去）或A2B， 所以，A2B. （II）由cosB 王 生

2152，得sinB，cos2B2cosB1， 393故cosA145，sinA， 99cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.

22. 27【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证2；（II）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos2，进而可得cos和sin，再用两角和的余弦公式可得cosC．

8.（2016浙江理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B. （I）证明：A=2B；

a2

（II）若△ABC的面积S=，求角A的大小.

4

【答案】（I）证明见解析；（II）

或． 24试题分析：（I）先由正弦定理可得sinsinC2sincos，进而由两角和的正弦公式可得（II）先由三角形的面积公式可sinsin，再判断的取值范围，进而可证2；

1a2得absinC，进而由二倍角公式可得sinCcos，再利用三角形的内角和可得角的大小． 24试题解析：（I）由正弦定理得sinsinC2sincos，

故2sincossinsinsinsincoscossin， 于是sinsin．

又，0,，故0，所以

或，

因此（舍去）或2， 所以，2．

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2016年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生

考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式． 【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证2；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有，C的式子，再利用三角形的内角和可得角的大小．

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