高中数学统计与概率

A组1．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为(A．73C．77[解析]样本的分段间隔为＝78.故选B.2．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918.附表：P(K2≥k0)k0

0.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.879B)0.00110.828B．78D．7680＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×516B)则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过(A．95%C．97.5%[解析]B．5%D．2.5%由题意知观测值k2≈3.918>3.841，所以对照题中的附表得P(K2≥k)＝0.05＝5%.3．(文)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(D)A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个[解析]根据雷达图可知全年最低气温都在0℃以上，故A正确；一月平均最高气温是6℃左右，平均最低气温2℃左右，七月平均最高气温22℃左右，平均最低气温13℃左右，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；三月和十一月的平均最高气温都是10℃，三月和十一月的平均最高气温基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的有七月和八月，故D错误．(理)从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由直方图可知(C)A．估计体重的众数为50或60B．a＝0.03C．学生体重在[50,60)有35人D．从这100名男生中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为[解析]1350＋60＝55，所以估2根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为计众数为55，A错误；根据频率和为1，计算(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，B错误；体重在[50,60)内的频率是0.35，估计体重在[50,60)内的学生有100×0.35＝35人，C正确；体重在[60,80)内的频率为0.3＋0.2＝0.5，用频率估计概率，知这100名男1生中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为，D错误．24．(文)某厂生产A，B，C三种型号的产品，产品数量之比为324，现用分层抽样的B)方法抽取一个样本容量为180的样本，则样本中B型号的产品的数量为(A．20C．60[解析]B．40D．80由分层抽样的定义知，B型号产品应抽取180×2＝40件．3＋2＋4(理)某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取(AA．65人，150人，65人C．93人，94人，93人[解析]故选A.5．(文)某电视传媒公司为了了解某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图，其中收看时间分组区间是：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]．将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，则图中x的值为(A)B．30人，150人，100人D．80人，120人，80人)280111＝，1300×＝65,3000×＝150，5600202020A．0.01C．0.03[解析]A.B．0.02D．0.04由题设可知(0.005＋x＋0.012＋0.02＋0.025＋0.028)×10＝1，解得x＝0.01，选(理)等差数列x1，x2，x3，…，x9的公差为1，若以上述数据x1，x2，x3，…，x9为样本，则此样本的方差为(A.203A)10B．3D．301令等差数列为1,2,3…9，则样本的平均值x＝5，∴s2＝[(1－5)2＋(2－5)2＋…96020＝.93C．60[解析]＋(9－5)2]＝6．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为__15__.012[解析]2541864969把10场比赛的所得分数按顺序排列：5,8,9,12,14,16,16,19,21,24，中间两个为14与16，故中位数为14＋16＝15.27．已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为2，若数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a>0)的方差为8，则a的值为__2__.[解析]根据方差的性质可知，a2×2＝8，故a＝2.8．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回^归方程为y＝0.85x－0.25.由以上信息，得到下表中c的值为__6__.天数t(天)繁殖个数y(千个)[解析]32.5435464.57c14＋c11因为x＝(3＋4＋5＋6＋7)＝5，y＝(2.5＋3＋4＋4.5＋c)＝，55514＋c^)，把样本中心点代入回归方程y＝0.85x－0.25，5所以这组数据的样本中心点是(5，所以14＋c＝0.85×5－0.25，所以c＝6.59．2019年8月22日金乡县首届“诚信文艺奖”评选暨2019“百姓大舞台”第一季大型才艺大赛决赛在红星美凯龙举行．在比赛现场，12名专业人士和12名观众代表分别组成评判小组A，B，给参赛选手打分，如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图.(1)求A组数据的众数和极差，B组数据的中位数；(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组A与小组B哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由．[解析](1)由茎叶图可得：A组数据的众数为47，极差为55－42＝13；B组数据的中位数为55＋58＝56.5.2(2)小组A更像是由专业人士组成的．理由如下：小组A，B数据的平均数分别为xA＝1×(42＋42＋44＋45＋46＋47＋47＋47＋49＋50＋50＋55)＝47，12xB＝1×(36＋42＋46＋47＋49＋55＋58＋62＋66＋68＋70＋73)＝56，12所以小组A，B数据的方差分别为s2A＝1×[(42－47)2＋(42－47)2＋…＋(55－47)2]＝121×(25＋25＋9＋4＋1＋4＋9＋9＋64)＝12.5，12s2B＝11×[(36－56)2＋(42－56)2＋…＋(73－56)2]＝×(400＋196＋100＋81＋49＋1＋41212＋36＋100＋144＋196＋289)＝133.2因为s2所以小组A的成员的相似程度高．由于专业裁判给分更符合专业规则，相似A4)等于0.1587⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．A．2C．4[解析]B．3D．5①④正确，②③⑤错误，⑤设样本容量为n，则3507＝，∴n＝30，故⑤错．1500n3．某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为(C)A．20,2C．25,2B．24,4D．25,4[解析]由频率分布直方图可知，90～100的频率和50～60的频率相同，所以90～1002的人数为2，总人数为＝25人，故选C.0.084．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性质是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：女喜爱不喜爱总计402060男203050总计6050110试根据样本估计总体的思想，估计在犯错误的概率不超过__0.01__的前提下(约有__99%__的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”．参考附表：P(K2≥k0)k0

2

0.0503.8410.0106.6350.00110.828nad－bc2(参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d)a＋bc＋da＋cb＋d[解析]分析列联表中数据，可得K2的观测值k＝110×40×30－20×202

≈7.822>6.635，60×50×60×50所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下(有99%的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”．5．某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分，每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题，答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20，则该班同学中只答对一道题的人数是__4__；该班的平均成绩是__42__.x＋y＝29，[解析]设x，y，z分别是答对a，b，c题的人数，则有x＋z＝25，y＋z＝20，840＝42.20x＝17，解得y＝12，z＝8，答对一道题的人数为(17＋12＋8)－3×1－2×15＝4，全班总人数为4＋15＋1＝20，全班总得分为17×20＋(12＋8)×25＝840，平均成绩为6．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：P(K2≥k)knad－bc2K＝.a＋bc＋da＋cb＋d2

箱产量≥50kg0.0503.8410.0106.6350.00110.828[解析](1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50kg旧养殖法新养殖法2

箱产量≥50kg38666234200×62×66－34×382

K＝≈15.705.100×100×96×104由于15.705>6.635，故有90%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．7．(2019·山西省八校第一次联考)某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下：年份广告费支出x销售量y201311.9201423.2201544.0201664.42017115.22018135.32019195.4(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；^(2)若用y＝c＋dx模型拟合y与x的关系，可得回归方程y＝1.63＋0.99x，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①广告费x＝20时，销售量及利润的预报值是多少？②广告费x为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)^^^参考公式：回归直线y＝a＋bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为^＝b＝xiyi－nxi1

x2i－ni＝1

nn

yx＝2

xi－xyi－yi1

＝

n

x2xi－i1

＝

n

^^，a＝y－bx.参考数据：5≈2.24.[解析]7

(1)∵x＝8，y＝4.2，xiyi＝279.4，x2i＝708，i1i1

＝

＝

77

xiyi－7xi1＝^∴b＝7

xx2i－7i1

＝

y2

279.4－7×8×4.2＝＝0.17，708－7×82

^^a＝y－bx＝4.2－0.17×8＝2.84，^∴y关于x的线性回归方程为y＝0.17x＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，^∴选用y＝1.63＋0.99x更好．(3)由(2)知，^①当x＝20时，销售量的预报值y＝1.63＋0.9920≈6.07(万台)，利润的预报值z＝200×(1.63＋0.9920)－20≈1193.04(万元)．②z＝200(1.63＋0.99x)－x＝－x＋198x＋326＝－(x)2＋198x＋326＝－(x－99)2＋10127，∴当x＝99，即x＝9801时，利润的预报值最大，故广告费为9801万元时，利润的预报值最大．