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个性化辅导讲义
学校： 年 级： 课时数：2 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课课题 授课时间及时段 椭圆及其标准方程 2019年 月 日 星期六 时段： 16:00 — 18：00 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程. 教学目标 2.了解椭圆的标准方程的推导及简化过程.(难点) 3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.(重点、易错点) 教学内容与过程 一 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 二 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 标准方程 焦点在x轴上 x2y2a2＋b2＝1(a＞b＞0) (－c,0)，(c,0) c2＝a2－b2 焦点在y轴上 y2x2a2＋b2＝1 (a＞b＞0) (0，－c)，(0，c) 焦点坐标 a，b，c的关系 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.( ) (2)到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆.( )
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(3)到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( ) 【解析】 (1)×.因为到两定点距离之和小于|F1F2|，动点的轨迹不存在，故(1)错. (2)√.由椭圆定义知，(2)对. (3)×.其动点轨迹是线段F1F2的中垂线，故(3)错. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.( ) (2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.( ) (3)椭圆的特殊形式是圆.( ) (4)椭圆4x2＋9y2＝1的焦点在y轴上.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× [小组合作型] 椭圆定义的应用 x2y2 (1)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( ) 259A.5 C.4 B.6 D.10 x2y2(2)椭圆9＋25＝1的焦点为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是( ) A.20 C.10 B.12 D.6 【自主解答】 (1)设P到另一焦点的距离为r，则r＋5＝2a＝10， ∴r＝5. |BF1|＋|BF2|＝2a，(2)∵AB过F1，∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|.由椭圆定义知， |AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20. 【答案】 (1)A (2)A
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在椭圆中若遇到椭圆上的点到焦点的距离及动点到两定点的距离的和为定值的轨迹的判断问题，常常用椭圆的定义进行解决. [再练一题] x2y21.(1)设P是椭圆25＋16＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 (2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________. 【解析】 (1)∵a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. (2)由于动点到F1，F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2. 【答案】 (1)D (2)线段F1F2 根据下列条件，求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点； (3)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到离它较近的一个焦点的距离等于2. 【精彩点拨】 本题考查椭圆标准方程的求法，求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a和b即可. x2y2【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0). ∴2a＝5＋42＋5－42＝10，∴a＝5. 又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. x2y2故所求椭圆的方程为25＋9＝1. (2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时， x2y2设所求椭圆的方程为a2＋b2＝1(a>b>0). ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， 40a2＋b2＝1，∴01a2＋b2＝1，求椭圆的标准方程 a＝2，则 b＝1.
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x22∴所求椭圆的方程为4＋y＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时， y2x2设方程为a2＋b2＝1(a>b>0). ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， 04a2＋b2＝1，∴10a2＋b2＝1， a＝1，则与a>b矛盾，故舍去. b＝2， x22综上可知，所求椭圆的标准方程为4＋y＝1. 法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点， 1m＝，4m＝1，4∴∴n＝1，n＝1， x22综上可知，所求椭圆方程为4＋y＝1. (3)∵椭圆的焦点在y轴上， y2x2∴可设它的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0). ∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10. 又∵P到离它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c－(－10)＝2，故c＝8. ∴b2＝a2－c2＝36. y2x2∴所求椭圆的标准方程是100＋36＝1. 1.求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a2、b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量. 2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0).因为它包括焦点在x轴上(m＜n)和焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的.
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[再练一题] 2.根据下列条件，求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10； 14的椭圆的标准方程. (2)求经过两点(2，－2)，－1，2x2y2【解】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0). ∵2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. x2y2故所求椭圆的标准方程为25＋9＝1. x2y2(2)法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0). 42a2＋b2＝1，由已知条件得114a2＋4b2＝1， 11a2＝8，解得11b2＝4. x2y2所以所求椭圆的标准方程为8＋4＝1. y2x2若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0). 42b2＋a2＝1，由已经条件得114b2＋4a2＝1，11b2＝8，解得11a2＝4. 即a2＝4，b2＝8，则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去. x2y2综上，所求椭圆的标准方程为8＋4＝1. 法二 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B). 14代入， 将两点(2，－2)，－1，24A＋2B＝1，得14A＋4B＝1， 1A＝8，解得1B＝4， x2y2所以所求椭圆的标准方程为8＋4＝1.
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[探究共研型] 探究 轨迹和轨迹方程有什么不同？ 【提示】 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念. 求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置，类型. 求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征. x2y2 已知点M在椭圆36＋9＝1上，MP′垂直于椭圆两焦点所在的直线，垂足为P′，且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程. 【精彩点拨】 设Px，y→用x，y表示M的坐标 →把M坐标代入椭圆方程→化简得所求轨迹方程 【自主解答】 设P点的坐标为(x，y)，M(x0，y0)，P′(x0，0). x2y200∵点M在椭圆上，∴36＋9＝1. x＝x，0又∵M是线段PP′的中点，∴ yy＝，02x2y2代入上式，得36＋36＝1， 即x2＋y2＝36. 故P点的轨迹方程为x2＋y2＝36. y1.本题中由点P，M的关系，得到等式x0＝x，y0＝2是关键.利用点M在椭圆上，将含x0，y0的式子代入椭圆方程便得到了动点P的轨迹方程，此法称为“代入法”，此类问题一般使用此法. 2.求轨迹方程的主要方法 (1)定义法 用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可. (2)相关点法 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法. 与椭圆有关的轨迹问题
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用相关点法求轨迹方程的步骤： ①设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x，y)＝0上的动点Q(x′，y′). x′＝φ1x，y，②找出P，Q之间坐标的关系，并表示为 y′＝φ2x，y.③将x′，y′代入f(x，y)＝0，即得所求轨迹方程. [再练一题] 3.如图2-1-1，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，4且|MD|＝5|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程. 图2-1-1 【解】 设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)， 45因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝5|PD|，所以xP＝x，且yP＝4y. 因为P在圆x2＋y2＝25上， x2y252所以x＋4y＝25，整理得25＋16＝1， 2x2y2即C的方程是25＋16＝1. x2y21.已知椭圆a2＋2＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) x2y2A.4＋2＝1 y2C.x＋2＝1 2x2y2B.3＋2＝1 x2y2D.6＋2＝1 【解析】 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，由a2＝b2＋c2，得a2＝2＋4＝6，
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x2y2因此椭圆方程为6＋2＝1，故选D. 【答案】 D x2y22.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( ) 25－mm＋9A.－9＜m＜25 C.16＜m＜25 B.8＜m＜25 D.m＞8 【解析】 25－m＞0，由题意知m＋9＞0，m＋9＞25－m， 解得8＜m＜25，故选B. 【答案】 B 3.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此随圆的标准方程为________. 【解析】 由题意知2a＝8，∴a＝4， 2c＝215，∴c＝15， ∴b2＝a2－c2＝1， y2故此椭圆的标准方程为x＋16＝1. 2y2【答案】 x＋16＝1 2x2y24.已知椭圆49＋24＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________. |PF1|＋|PF2|＝14，【解析】 由题意可得 22|PF1|＋|PF2|＝100，解得|PF1|·|PF2|＝48. 【答案】 48 →→→5.已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MN·MP＝6|NP|.求动点P的轨迹C的方程. 【解】 设P(x，y)， →→→则MN＝(－3,0)，MP＝(x－4，y)，NP＝(x－1，y)， 由题可得－3(x－4)＝6x－12＋y2， 化简得3x2＋4y2＝12，
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x2y2即4＋3＝1， x2y2∴动点P的轨迹C的方程为4＋3＝1. 一、选择题 1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) 4A.5,3，5 3C.5,3，5 4B.10,6，5 3D.10,6，5 x2y2【解析】 椭圆方程可化为9＋25＝1. ∴a＝5，b＝3，c＝4， ∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6， c4离心率e＝a＝5.故选B. 【答案】 B x2y212.若焦点在x轴上的椭圆2＋m＝1的离心率为2，则m等于( ) A.3 8C.3 3B.2 2D.3 【解析】 ∵椭圆焦点在x轴上， ∴0＜m＜2，a＝2，c＝2－m， 2－m1ce＝＝＝. a222－m13故2＝4，∴m＝2. 【答案】 B 3.中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) x2y2A.81＋72＝1
x2y2B.81＋9＝1
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x2y2C.81＋45＝1 x2y2D.81＋36＝1 1x22【解析】 因为2a＝18,2c＝3×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b＝81－9＝72.故所求方程为81＋y272＝1. 【答案】 A x2y24.已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( ) A.3－12 B.D.5－12 3＋14 －1±52，1＋5C.4 【解析】 由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝又e>0，故所求的椭圆的离心率为【答案】 B 5－12.故选B. x2y215.设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率e＝2，右焦点F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)在( ) A.圆x2＋y2＝2上 B.圆x2＋y2＝2内 C.圆x2＋y2＝2外 D.以上三种情况都有可能 c1bcb22c222【解析】 由题意e＝a＝2，x1＋x2＝－a，x1x2＝－a.所以x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝a2＋a＝a2－c2c27222＋1＝2－2＝<2，∴点P(x1，x2)在圆x＋y＝2内. aa4【答案】 B 二、填空题 16.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为3，长轴长为12，则椭圆方程为________.
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c1a＝3，【解析】 由题意得2a＝12，a2＝b2＋c2， a＝6，解得b＝42，c＝2， x2y2y2x2∴椭圆方程为36＋32＝1或36＋32＝1. x2y2y2x2【答案】 36＋32＝1或36＋32＝1 x2y227.若椭圆＋9＝1的离心率为3，则k的值为________. k＋8k＋8594125【解析】 若焦点在x轴上，则＝1－3＝9，k＝5；若焦点在y轴上，则9＝9，k＋8∴k＝－3. 41【答案】 5或－3 8.若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________. 【解析】 设P点到x轴的距离为h，则 1S△PF1F2＝|F1F2|h， 2当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大， ∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3. 【答案】 3 三、解答题 y2x239.椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的两焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝2，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程. c3【解】 因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c＝2－3.又e＝a＝2， ∴a＝2，c＝3，b2＝1， y22∴椭圆的方程为4＋x＝1. 10.如图2-1-3所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率. 2
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图2-1-3 【解】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形. 又∠MF1F2＝30°， 3所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝2|MF1|. 而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a， 4a2a因此|MF1|＝3，|MF2|＝3， 34ac3所以2c＝2×3，即a＝3， 3即椭圆的离心率是3. [能力提升] 1.已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝3|PF1|，则椭圆的离心率为( ) A.3－13 B.3－1 C.2－3 D.1－22 【解析】 由题意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝3c.点P在椭c2c圆上，由椭圆的定义可得e＝a＝2a＝【答案】 B 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________. x22【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时，a＝3，则b＝1.从而椭圆方程为9＋y＝1，当椭圆的y2x2焦点在y轴上时，b＝3，则a＝9，从而椭圆方程为81＋9＝1. x22y2x2【答案】 9＋y＝1或81＋9＝1 3.椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________. |F1F2|2c＝＝3－1. |PF1|＋|PF2|c＋3c
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【解析】 由题意得2a－c13＝4，解得c＝5a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－a＋c3y2x2222c＝a－5a＝16，则a＝25.故椭圆的标准方程为25＋16＝1. y2x2【答案】 25＋16＝1 x2y24.设F1，F2分别是椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 3(2)若cos∠AF2B＝5，求椭圆E的离心率. 【解】 (1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得 |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B， 6即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－5(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0， 而a＋k>0，故a＝3k， 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 2c2从而c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝a＝2.
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