2020年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2017年全国高中数学联赛A卷一试

一、填空题

1.设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x3)f(x4)1.又当0x7时，f(x)log2(9x)，则f(100)的值为__________.

2.若实数x,y满足x2cosy1，则xcosy的取值范围是__________.

2x2y21，F为C的上焦点，A为C的3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:910右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥PABC中，AB1，AP2，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为__________.

6.在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)x,y1,0,1.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.

7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若A3，ABC的面积为

3，则AMAN的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列an,bn满足：a10b102017，对任意正整数n，有

an2an1an，bn12bn，则a1b1的所有可能值为__________.

二、解答题

9.设k,m为实数，不等式x2kxm1对所有xa,b成立.证明：ba22.

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10.设x1,x2,x3是非负实数，满足x1x2x31，求(x13x25x3)(x1小值和最大值.

x2x3)的最3511.设复数z1,z2满足Re(z1)0，Re(z2)0，且Re(z1)Re(z2)2（其中Re(z)表示复数z的实部）.

（1）求Re(z1z2)的最小值；

（2）求z12z22z1z2的最小值.

22

2017年全国高中数学联赛A卷二试

一.如图，在ABC中，ABAC，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆1，以I为圆心，IB为半径作圆2，过点B,I的圆3与

1,2分别交于点P,Q（不同于点B）.设IP与BQ交于

点R.证明：BRCR

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二.设数列an定义为a11，an1ann,ann,ann,ann,n1,2,.求满足arr32017的正整数r的个数.

三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.

四.设m,n均是大于1的整数，mn，a1,a2,,an是n个不超过m的互不相同的正整数，且a1,a2,,an互素.证明：对任意实数x，均存在一个i(1in)，使得

aix

2x，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.

m(m1)2017年全国高中数学联赛A卷

一试答案

1.

2.

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4.

5.

6.

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7.

8.

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9.

10.

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11.

2017年全国高中数学联赛A卷

二试答案

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二.

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三.

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四.

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