陆川县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

陆川县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2

）an+sin

2

，则该数列的前10项和为（ ）

A． B．76 C．77 D．35

2． 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2D．24πa2

3． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A．

B．

C．

D．

|=

，则

•

=（ ）

4． 已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|A．﹣1 B．1

C．﹣

D．

C．4

5． 计算log25log53log32的值为（ ） A．1

6． 由直线

B．2

D．8

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

A B1 CD

7． 在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1平面ABC，AA1=2，BC23,BAC 柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A．

2,此三棱

322531 B．16 C. D． 332

B．必要不充分

8． “a＞0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的（ ）条件． A．充分不必要 C．充要

D．既不充分也不必要

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9． 某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A．36种 B．18种 C．27种 D．24种 10．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ） A．10米

B．100米

C．a2＞b2

C．30米 D．a3＞b3

D．20米

11．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ） A．

B．|a|＞|b|

12． 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（ ）A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．已知直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则ab的最大值是 ．

14．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）

15．在复平面内，复数值是 ．

与对应的点关于虚轴对称，且，则____．

16．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的

17．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ccosBa则边c的最小值为_______．

13b，ABC的面积Sc，

122【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．

18．若曲线f（x）=aex+bsinx（a，b∈R）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b﹣a= ．

三、解答题

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19．（本小题满分12分）

已知圆C：xyDxEyF0的圆心在第二象限，半径为2，且圆C与直线3x4y0及y轴都

22相切.

（1）求D、E、F；

20．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题： （1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；

（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？

（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S的值． 序号 （i） 1 2 3 4 合计 分组 组中值 频数 频率 （分数） （Gi） [60，70） 65 [70，80） 75 [80，90） 85 [90，100） 95 （人数） （Fi） 0.10 ① 20 ③ ④ 50 ② 0.20 ⑤ 1

（2）若直线xy220与圆C交于A、B两点，求|AB|.

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21．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）． （I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值； （II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足的最大值．

=

+

．若∠AOP=2θ，

表示|

|，并求|

|

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22．如图所示，两个全等的矩形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且

AMFN，求证：MN//平面BCE．

23．4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，f=x2﹣ax+1在区间∀x∈[2，已知命题p：命题q：（x）p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

上是增函数．若

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24．已知函数f（x）=1+

（﹣2＜x≤2）．

（1）用分段函数的形式表示函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域．

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陆川县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cosa2k+1=[1+cos一般地，当n=2k﹣1（k∈N）时，

*

2

2

）a1+sin

2

=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．

=a2k﹣1+1， 即a2k+1﹣a2k﹣1=1．

]a2k﹣1+sin2

所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k． 当n=2k（k∈N）时，a2k+2=（1+cos

*

2

）a2k+sin

2

=2a2k．

k

所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2．

该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故选：C．

2． 【答案】B

【解析】解：根据题意球的半径R满足

22

（2R）=6a， 22

所以S球=4πR=6πa．

故选B

3． 【答案】D

【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m 则由题意知解得d=

．

，

故选：D．

【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．

4． 【答案】B

【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|即有|则即有

，•|2+|

|2=|

|2，

可得△OAB为等腰直角三角形，

的夹角为45°， =|

|•|

|•cos45°=1×

×

=1．

|=

，

故选：B．

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【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．

5． 【答案】A

【解析】解：log25log53log32=故选：A．

=1．

【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．

6． 【答案】D

【解析】由定积分知识可得7． 【答案】A 【解析】

，故选D。

考点：组合体的结构特征；球的体积公式.

【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答

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问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 8． 【答案】A

2

【解析】解：若方程y=ax表示的曲线为抛物线，则a≠0．

2

∴“a＞0”是“方程y=ax表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件．

故选A．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义是解决本题的关键，比较基础．

9． 【答案】 C

【解析】

排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；分类讨论．

【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：分4种情况讨论，

①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，

②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，

③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况， ④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况， 则共有6+12+6+3=27种乘船方法， 故选C． 组合公式． 10．【答案】C

【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，

设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米 Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=

AB=30

米

【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、

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在△BCD中，BC=30米，BD=30由余弦定理可得：

米，∠CBD=30°，

CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去） 故选：C

【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．

11．【答案】D

【解析】解：若a＞0＞b，则

，故A错误；

若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误； 若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误； 函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确； 故选：D

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．

12．【答案】C

【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1， 故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H， 则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=AO1=3故选：C．

，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=

，

，

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【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：∵直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1）， ∴a+b﹣1=0，即a+b=1， ∴ab≤

=

当且仅当a=b=时取等号， 故ab的最大值是 故答案为：

【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．

14．【答案】 10 cm 则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm， ∴A′B=

=10cm．

故答案为：10．

【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，

【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．

15．【答案】-2

【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：所以

故答案为：-2

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16．【答案】【解析】

34 5考

点：点关于直线对称；直线的点斜式方程. 17．【答案】1

18．【答案】 2 ．

xx

【解析】解：f（x）=ae+bsinx的导数为f′（x）=ae+bcosx，

0

可得曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为k=ae+bcos0=a+b， 0

由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae+bsin0=a=﹣1，

解得a=﹣1，b=1， 则b﹣a=2． 故答案为：2．

三、解答题

19．【答案】（1） D22，E42，F8;（2）AB2. 【解析】

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试

题解析：（1）由题意，圆C方程为(xa)(yb)2，且a0,b0，

22∵圆C与直线3x4y0及y轴都相切，∴a2，

22∴圆C方程为(x2)(y22)2，

|3a4b|2，∴b22， 522化为一般方程为xy22x42y80，

∴D22，E42，F8.

（2）圆心C(2,22)到直线xy220的距离为d∴|AB|2r2d22212. 考点：圆的方程；2.直线与圆的位置关系.1 20．【答案】

【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5， ②中的值为

=0.40，③中的值为50×0.2=10，

=0.30；

|22222|1，

2④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为（2）不低于85的概率P=

×0.20+0.30=0.40，

∴获奖的人数大约为800×0.40=320； （3）该程序的功能是求平均数，

S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82， ∴800名学生的平均分为82分

21．【答案】

【解析】

解：（Ⅰ）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）． 可得sinα=，cosα=

，∴cosα+sinα=

． =

=（1+cos2θ，sin2θ），

（Ⅱ）因为P（cos2θ，sin2θ），A（1，0）所以

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所以所以|

==2|cosθ|∈

．

，

==2|cosθ|，因为，

|的最大值

【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．

22．【答案】证明见解析． 【解析】

考点：直线与平面平行的判定与证明． 23．【答案】

2

【解析】解：∀x∈[2，4]，x﹣2x﹣2a≤0恒成立， 2

等价于a≥x﹣x在x∈[2，4]恒成立，

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2

而函数g（x）=x﹣x在x∈[2，4]递增，

其最大值是g（4）=4， ∴a≥4，

若p为真命题，则a≥4； f（x）=x2﹣ax+1在区间对称轴x=≤，∴a≤1， 若q为真命题，则a≤1； 由题意知p、q一真一假，

当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1， 所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．

24．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）=1+（2）函数的图象如图：

=

，

上是增函数，

．

（3）函数值域为：[1，3）．

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