06年全国大学生建模大赛B题

艾滋病疗法的评价及疗效的预测

刘琬钰 09机械5班 200915190722 陈延东 09生物2班 200915070206 李云奇 09成型1班 200915190619

一、 摘要

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS。本文对美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据进行了详细的分析。

对ACTG320的数据我们进行了二次函数拟合，得到了CD4个数与治疗时间（即用药时间）的二次函数关系式：NCD$0.1041T26.1144T99.2559 和HIV浓度与治疗时间的二次函数关系式：CHIV0.0033T20.1622T4.3957， 并通过显著性检验验证了他们是合理的。根据函数图像和函数性质，我们对继续治疗的效果和最佳终止治疗时间进行了预测和判断。 对193A的数据，由于涉及变量种类较多，为了充分考虑到所有因素对CD4个数的影响，我们首先对所有变量对CD4个数的相关性进行分析，根据各变量的相关性将所有数据按疗法，年龄，治疗时间进行逐一分类分析，最后得出了分别适合30岁以下、30到50岁、50十岁以上的患者的治疗方法。

在数据193A的基础上考虑治疗花费的因素时，我们以花费较少而疗效较好为原则。求得各疗法针对不同年龄段患者在每个治疗阶段CD4个数单位变化量所花费的钱，我们选择每阶段CD4个数变化量为正且花费最少的疗法，若某一阶段所有CD4个数变化量都为负，则选取花费最少疗法。最后我们给出了分别适合不同年龄段的患者的治疗方案。

二、 关键字

二项拟合 相关性分析 光滑曲线拟合 单位CD4增量 性价比

三、 问题的提出

艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。

请你完成以下问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

四、问题分析

4.1关于问题一

分别绘制CD4数量和HIV浓度关于用药时间（即测量时间）的散点图，观察其分布趋势，选择适当的函数对其进行拟合，利用所得函数对治疗效果进行预测，并得到最佳终止治疗时间。 4.2关于问题二

观察附表2 的数据可以发现，评定四种疗法优劣的唯一指标是CD4的个数，评判标准为：用药后每8周测得的CD4个数高于其他疗法的为最优疗法。而影响这一指标的三个参可能有疗法、患者年龄和用药时间，需要对这几个变量与CD4个数做相关性分析，然后逐一考虑与CD4个数显著相关变量的影响，对其

进行适当的分类，从而对比不同情况下4种疗法的优劣。 4.3关于问题三

当需要同时考虑治疗成本和疗效的时候，应以用最低成本获得最好疗效为原则，基于问题二的分析方法，再将治疗成本作为约束条件，得到不同情况下的最优治疗方案。

五、模型假设及符号说明

5.1模型假设

1、每位病人病情发展是相互独立的，不存在相互传染等情况。 2、规定每四周为一个月（即28天）

3、治疗有效的客观表现为CD4个数不减少，同时HIV浓度不增加 4、CD4和HIV的测量数据均为下一次服药之前测量结果

5、当达不到治疗目的时（治疗目的为：尽量减少人体内HIV的数量，同时

产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度）既视为治疗无效，需要提前终止治疗。

5.2 符号说明

CHIV:HIV浓度

NCD4:CD4

个数 T：治疗时间 j:年龄（j<30）

h:年龄（30itv：CD4个数平均

m：t阶段单位CD4改变量所花费的药费

六、问题解答

6.1对于问题一的建模及求解

用EXCEL软件将CD4数量和HIV浓度分别作关于用药时间T的散点图如下

1000900800700CD4数量6005004003002001000-100102030用药时间405060系列1

765HIV浓度4系列13210-1001020用药时间304050用Matlab软件分别对这两组数据进行二项拟合得： NCD4~T: NCD$0.1041T26.1144T99.2559

230.162T24.3957 CHIV~T: CHIV0.003T

这两个方程P值均为0，模型通过显著检验，说明该模型是合理的。

拟合图像如下：

NCD4~T:

CHIV~T:

对比两图可以发现，在用药第25周左右NCD4开始下降，同时CHIV开始上升，由于二次函数的性质可以知道在此之后的NCD4图像为单调递减，CHIV单调递增，所以继续治疗的效果不好，应在治疗的第26周左右停止治疗。 6.2对于问题二的建模及求解

用SPSS软件对疗法、年龄、用药时间与CD4个数的相关性进行分析，分析结果如下：

可以看出这三个变量与CD4个数都是显著相关的。

我们将影响CD4数量的三个因素逐用EXCEL软件进行处理：将使用不同

疗法的病人分开，再将使用第i种疗法的病人按年龄分为j、h和k三部分，拟定每8周为一个治疗阶段，以第0周的测量数据为开始治疗前的初始阶段数据，分别求出每一部分人在相同阶段t内的CD4个数平均值v（附录1）。将v用

MATLAB软件进行描点连线，分别做出vij~t，vih~t和vik~t的图线，

vij~t如下：

由图可以看出对于年龄在30岁以下的患者，第2、3、4种疗法初始值相差不大，但疗法四使CD4的数量增加最多，疗法一初始值最高但CD4个数远比疗法四低，所以疗法四的效果最好。治疗过程中CD4的数量出现两次下降，在第5周到第15周之间出现第一次下降，但由于此次下降速度缓慢，下降幅度较小，说明药物对减缓CD4数量的下降有较明显的抑制作用，而且在下降之后能够较快回升，并且在第25周时达到CD4数量的最大峰值，所以在第五周CD4数量开始出现下降时应继续服药；CD4数量的第二次下降出现在第25周左右，持续到35周左右，此次下降速度很快，并且下降幅度很大，说明此时药物对减缓CD4数量的下降已经作用甚微了，此时应立即停药。所以可以得出结论，对于年龄在30岁以下的患者应选用疗法四，并于第25周停药。

vih~t如下：

由图可以看出对于年龄在30到50之间的患者，第四种疗法的初始值最低，但却使CD4个数比另外三种疗法高，所以疗法四的效果最好。CD4数量从第十五周之后基本呈现持续下降趋势，虽然在35周左右有所波动但幅度很小，并没有影响总体下降的趋势，所以应在15周停药。

vik~t如下：

由图可以看出对于年龄大于50岁的患者，疗法二的CD4数量增长幅度最大，所以疗法二效果最好。图中可以看到CD4数量在13周左右达到最大值，之后缓慢减少，到35周左右开始出现明显下降，则认为药物在35周以后对CD4数量减少的抑制作用减弱，应在35周左右终止治疗。 6.3对问题三的建模和求解

考虑到不同疗法的用药成本不同，计算出每种疗法在一个阶段的花费，疗法一为68.6美元，疗法二为193.2美元，疗法三为137.2美元，疗法四为204.4美元。分别求出不同年龄段的患者使用不同疗法疗法在每一阶段相对于前一阶段的CD4数量平均变化量it，当it为正时说明CD4数量增加，反之减少。再分别求得各阶段不同疗法下，单位CD4改变量所花费的药费进行对比，为了在花费较少的前提下使治疗效果尽可能好，我们选择每阶段it为正且花费最少的疗法，若某一阶段所有it都为负，则选取花费最少疗法。这样最终可以找到性价比较高的治疗方案。

计算模型为：

mit|Miit|

计算结果如下表：

30以下 第一阶段i1 mi1 第二阶段i2 mi2 第三阶段i3 mi3 第四阶段i4 mi4 第五阶段i5 mi3 疗-0.3276法1 1 疗-0.3004法8 2 疗0.2434法88 3 疗0.3933法77 4 209.39 -0.10244 669.64 0.296228 231.58 -0.04272 1605.69 -0.49898 137.48 642.98 0.509619 379.11 -0.22621 854.09 -0.08563 2256.17 -0.22209 869.91 563.48 -0.08312 1650.53 -0.38966 352.1 0.046764 2933.88 0.302726 453.22 519.60 -0.18047 1132.62 0.487521 419.26 -0.78239 261.25 0.267934 762.87 30岁以下患者的治疗方案为： 第一阶段 第二阶段 第三阶段 疗法4 疗法2 疗法1 30到50 疗法1 疗法2 疗法3 第一阶段i1 第四阶段 疗法3 第五阶段 疗法3 第阶i5 mi1 第阶i2 二段mi2 第阶i3 三段mi3 第阶i4 四段m五段i4mi3 -0.04601 0.054695 0.194549 1491.08 3532.32 705.22 -0.41542 -0.07885 -0.16295 165.13 2450.25 841.99 0.203822 -0.31941 -0.18506 336.57 604.863 741.37 -0.18297 -0.03426 0.113793 374.93 5639.06 1205.70 -0.12191 0.018536 -0.10971 562.70 10422.96 1250.62

疗法4 0.329921 619.54 0.071812 2846.32 -0.29319 697.16 0.020536 9953.25 -0.14452 1414.39 30到50岁患者的治疗方案为 第一阶段 第二阶段 第三阶段 疗法4 疗法4 疗法1 50岁以上 疗-0.2694法4 1 疗1.4964法21 2 疗0.2073法97 3 疗0.7645法16 4 267.36 -0.4415 462.97 0.149814 1364.36 661.53 -0.06702045.7 5 -0.08135 1686.5 129.11 0.105792 1826.23 -0.27463 703.49 254.60 0.314486 218.13 -0.28873 237.59 第一阶段i1 第四阶段 疗法3 第五阶段 疗法2 mi1 第二阶段i2 mi2 第三阶段i3 mi3 第四阶段i4 mi4 第五阶段i5 mi3 -0.04069 1685.71 -0.4924139.36 0 0.078844 2450.41 -0.3108621.55 3 -0.03074 4463.68 -0.2384575.38 0 -0.23184 881.65 0.096904 2109.30

50岁以上患者的治疗方案 第一阶段 第二阶段 第三阶段 疗法2 疗法1 疗法4 第四阶段 疗法2 第五阶段 疗法4 七、参考文献

[1] 《数值分析》 主编 王金铭 副主编 刘艳秋 陈欣 大连理工大学出版社

[2] 《多元统计分析与SPSS应用》 汪冬华 编著 华东理工大学出版社

[3] 《高等应用数学问题的MATLAB求解》 薛定宇 陈阳泉 著 清华大学出

版社

[4] 《数学模型》 姜启源 谢金星 叶俊 编 高等教育出版社 [5] 《工程数学学报》第23卷 增刊 2006年12月

八、附录

附录一：各年龄段患者在相同治疗阶段内的CD4个数平均值 30岁以初始阶段 第一阶段 第二阶段 第三阶段 第四阶段 下 疗法1 2.912852 2.585238 2.482795 2.779023 2.7363 疗法2 2.542733 2.42256 2.751805 2.525668 2.440036 疗法3 2.648471 20891959 2.808834 2.419177 2.465941 疗法4 2.636998 3.030375 2.849908 3.337429 2.555039 30到50初始阶段 第一阶段 第二阶段 第三阶段 第四阶段 岁 疗法1 2.987709 2.941702 2.526278 2.7301 2.45713 疗法2 2.966219 3.020914 2.942065 20622654 2.588393 疗法3 2.936564 3.131113 2.968165 2.783102 2.890695 疗法4 2.865821 3.195742 3.267554 2.974364 2.9949 50岁以初始阶段 第一阶段 第二阶段 第三阶段 第四阶段 上 疗法1 3.123057 2.853614 3.1681 2.879367 2.838672 疗法2 1.699929 3.19635 3.302142 3.027512 3.106156 疗法3 3.247883 3.45528 3.388206 3.306854 3.276117 疗法4 2.940676 3.705192 3.26369 3.413504 3.181667 第五阶段 2.237316 2.217945 2.768667 2.822973 第五阶段 2.425218 2.606929 2.787189 2.850385 第五阶段 2.346215 2.795509 3.037633 3.27857