您的当前位置：首页 (完整word版)线性代数习题集(带答案)

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

来源：世旅网

第一部分专项同步练习

第一章行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.

（A) 24315 （B) 14325 （C） 41523 (D)24351 2．如果n阶排列j1j2jn的逆序数是k, 则排列jnj2j1的逆序数是（ (A）k (B）nk （C)

n!2k （D)n(n1)2k3. n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有( ）项。

(A) 0 （B）n2 （C） (n2)! (D) (n1)!

00014．00100100( ）。

1000(A） 0 (B)1 (C) 1 （D) 2

00105. 01000001( ）.

1000(A) 0 (B)1 (C） 1 (D) 2

2xx116．在函数f(x)1x1232x3中x3项的系数是( ）.

0001 (A) 0 （B）1 (C) 1 （D) 2

a11a12 a132a11a13 a112a127。若Daa22a23121a2，则D12a21a23a212a22 ( ）. a3132a332a31a33a312a32 (A） 4 (B) 4 (C) 2 （D） 2

. ）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

8．若

a11a12a21a22a，则

a12a11ka22ka21。  ( ）

（A)ka (B)ka (C）k2a (D)k2a

9．已知4阶行列式中第1行元依次是4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为2,5,1,x，则x（ )。

（A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2

874310. 若D62311111,则D中第一行元的代数余子式的和为( ). 4375(A）1 (B）2 (C）3 （D）0

304011. 若D11110100，则D中第四行元的余子式的和为( ）。

5322(A)1 （B）2 (C)3 （D)0

x1x2kx3012。 k等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组x1kx2x30有非零解. （ )

kx1x2x30 （A)1 （B)2 （C)3 (D)0

二、填空题

1. 2n阶排列24(2n)13(2n1)的逆序数是。

2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是。

3．四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是

4．若一个n阶行列式中至少有n2n1个元素等于0，则这个行列式的值等于

。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

5. 行列式

1110010101110010。

001002006．行列式

000n1n000.

a11a1(n1)a21a2(n1)7．行列式

an1a11a31a12 a32a1n00a11a133a12 3a12a233a22a333a323a223a32.

0a138．如果Da21a22a23M，则D1a21a33a31。

9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

1110．行列式

1x1111。

1x1111111x1x11111111。

11．n阶行列式。

112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3，其对应的余子式依次为3,2，1，则该行列式的值为

。

123413．设行列式D567843218765，A4j(j1,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式，则

4A413A422A43A442

。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

abca14．已知Dcbabbacc， D中第四列元的代数余子式的和为.

acbd123415．设行列式D334415676，A4j为a4j(j1,2,3,4)的代数余子式，则A41A421122A43A44.

1352n1120016．已知行列式D1030，D中第一行元的代数余子式的和为.

100n17．齐次线性方程组kx12x2x302x0.

1kx2仅有零解的充要条件是x1x2x3018．若齐次线性方程组x12x2x302x25x30有非零解，则k=。

3x12x2kx30

三、计算题

abcda2b2c2d2xyxy1。 a3b3c3d3； 2．yxyx；

bcdacdabdabcxyxy

xa1a2an2101x1a1xa2an213．解方程

101xa1xan21x1100； 4．

a2；

1x10a1a2a3x1a1a2a3an11 ，

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

a015。 111a111a2111(aj1,j0,1,,n); 111an

111131b116。 112b1 111(n1)b

1111b1a1a1a17. b1b2a2a2； b1b2b3an

1x21x1x2x1xn9.

x22x11x2x2xn； xnx1xnx21x2n

1aa00011aa0011．D011aa0。 0011aa00011a

四、证明题

xa1a2ana1xa2an8．a1a2xan； a1a2a3x210001210010. 01200

0002100012(完整word版)线性代数习题集(带答案)

a21a2a1a11．设b21b11abcd1，证明:

b2b0.

c21c2c1c1d21d2d1d1

a1b1xa1xb1c1a1b1c12．a2b2xa2xb2c2(1x2)a2b2c2。

a3b3xa3xb3c3a3b3c3

11113．

abcda2b2c2d2(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)(abcd)。 a4b4c4d4

111a1a2an4．

a21a22a2nnaiajai)。

i11(ijnan21an2n22ananan12ann

1115．设a,b,c两两不等，证明abc0的充要条件是abc0. a3b3c3

参考答案

一．单项选择题

A D A C C D A B C D B B 二．填空题

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

1。n; 2.； 3。a14a22a31a43; 4。0; 5。0; 6。(1)“”n1n!； 7.(1)n(n1)2a1na2(n1)an1;

8.3M； 9。160； 10。x4； 11.(n)n1; 12.2; 13。0； 14。0； 15。12,9; 16.n!(1); 17.k2,3; 18。k7 三．计算题

1．(abcd)(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)； 2。 2(x3y3)； 3. x2,0,1; 4. (xak)

k1n11k1kn5. (ak1)(1k0n1); 6。 (2b)(1b)((n2)b);

k0ak1nnn7. (1)n(bk1nnkak)； 8. (xak)(xak)；

k1k19。 1xk； 10。 n1；

k111。 (1a)(1a2a4). 四。证明题 (略）

第二章矩阵

一、单项选择题

1。 A、B为n阶方阵,则下列各式中成立的是( ）。

2（a）A2A(b)A2B2(AB)(AB) （c）(AB)AA2AB （d）(AB)TATBT 2.设方阵A、B、C满足AB=AC，当A满足（）时,B=C。

（a) AB =BA （b) A0 (c) 方程组AX=0有非零解（d） B、C可逆

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

3。若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA（ )。

（a） kA （b） kA (c） knA （d） kA 4.设A为n阶方阵，且A0，则（ )。

（a） A中两行（列）对应元素成比例（b） A中任意一行为其它行的线性组合 (c） A中至少有一行元素全为零（d) A中必有一行为其它行的线性组合 n5。设A，B为n阶可逆矩阵，下面各式恒正确的是（）。 (a） (AB)1A1B1 （b) (AB)TAB

（c) (A1B)TA1B （d） (AB)1A1B1 6.设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则( )。

(a) （a） A*A1 (b) A*A （c） A*An1 (d） A*An1 7. 设A为3阶方阵,行列式A1，A*为A的伴随矩阵，则行列式(2A)12A*( （a) 278 （b) 827 （c） 278 （d) 827 8. 设A,B为n阶方矩阵,A2B2，则下列各式成立的是( ).

（a） AB (b） AB （c) AB (d） A2B2 9. 设A,B均为n阶方矩阵,则必有( ）。

（a） ABAB (b) ABBA （c） ABBA （d） A2B2 10.设A为n阶可逆矩阵,则下面各式恒正确的是( ）。（a)2A2AT （b) (2A)12A1

（c) [(A1)1]T[(AT)T]1 （d） [(AT)T]1[(A1)T]T

a11a12a13a11a123a32a133a3311。如果Aa21aa3a31a2223a2122a23,则A（）. a31a32a33a31a32a33 （a）100010 (b) 103010003100 （c) 010 (d） 010 301001101031

）. 7

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

13112.已知A220，则（）.

311 （a）ATA (b） A1A*

100113100113 （c）A001202 （d）001A202

01031101031113。设A,B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABCI，则（）.

（a)ACBI （b)CABI （c)CBAI （d)BACI 14.设A为n阶方阵，且|A|0，则( )。 (a）A经列初等变换可变为单位阵I （b)由AXBA，可得XB

（c)当(A|I)经有限次初等变换变为(I|B)时，有A1B

（d）以上（a）、（b）、（c）都不对 15.设A为mn阶矩阵，秩(A)rmn，则( ）。

（a）A中r阶子式不全为零（b)A中阶数小于r的子式全为零 (c）A经行初等变换可化为Ir00 （d）A为满秩矩阵 016.设A为mn矩阵，C为n阶可逆矩阵,BAC，则（ )。（a)秩（A）〉秩（B) （b）秩（A）= 秩(B)

（a）有一个等于零（b)都为n （c)都小于n (d）一个小于n,一个等于n 18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是（ ).

（a)r(A)rn （b) A的列秩为n

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

（a） A的每个行向量都是非零向量 (b） A中任意两个行向量都不成比例

（c） A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

（d)对任何n维非零向量X,均有AX0

二、填空题

1。设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2I,则行列式A_______

0a0bc_______

2.行列式abc01013.设2A020，则行列式(A3I)1(A29I)的值为_______

0014。设A123232，且已知A6I，则行列式A11_______ 125。设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵,且A3,则A*_______ 6.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______

a1b1a2b17。非零矩阵abn1a1b2a1bna2b2a2bn的秩为________

anb2anbn8。设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有AX0，则A的秩为_______ 9。若A(aij)为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是_______ 10。若方阵

1Klim2K1KA与4I相似，则A_______ 11。

2KK1_______ 13K 9

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

1212。lim01211_______ nn30014三、计算题

1。解下列矩阵方程（X为未知矩阵).

223220101) 110X32 ； 2) 100X2012121020011113103) X(IB1C)TBTI，其中B404 ；C101212422 1211014） AXA2XI，其中A020101 ;4235) AXA2X，其中A110123；

2.设A为n阶对称阵，且A20，求A。 1103.已知A021，求(A2I)(A24I)1. 1014。设A1201，A3400111A223，A3，00A4201，求A31125。设A224,求一秩为2的方阵B,使AB0. 3362110116.设A101,B121，求非奇异矩阵C,使ACTBC. 1101107.求非奇异矩阵P，使P1AP为对角阵.

31 0 ；

A2A4.

； (完整word版)线性代数习题集(带答案)

11221 1） A 2） A13112201

8.已知三阶方阵A的三个特征根为1，1，2，其相应的特征向量依次为(0,0,1)T,(1,1,0)T,(2,1,1)T,求矩阵A。

5321006449。设A,求。 A445

四、证明题

1。设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆. 2. 设Ak0（k为整数), 求证IA可逆。

3。设a1.a2,,ak为实数,且如果ak0，如果方阵A满足Aka1Ak1奇异阵。

4. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA。 5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵。 6。证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.

8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵。 9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.

10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和.

ak1AakI0,求证A是非

第二章参考答案

一：1. a；2. b；3。c；4。d;5.b；6。d；7.a；8.d；9.c；10.d；11。b；12.c；13。b;14。a;15.a；16.b；17。c；18.b；19。d。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

二．1。 1或-1；2。 0；3. —4；4. 1;5. 81；6。 0;7. 1;8。 100；9。 ai4ai8；10. I；

i11512. 0；11. 02. 0012；2)、212130143201153030；3）、；4）、; 102164100三、1.1）、1321600121313860311012111不唯5）、296。 2。 0；3. 131； 5.10012212901；10004.0001010一；6。100；7. 1）、

0012011331111. 2）、211；8。100；1221113100（221001）22100310031001100100100100100223）442（23）（231）9.（。 100100100（231）（213）（23）1

第三章向量

一、单项选择题

1. 1,2,3， 1,2都是四维列向量，且四阶行列式1231m,1232n,

则行列式12312()

(a)mn (b)mn (c)mn (d)mn

2. 设A为n阶方阵，且A0,则（ )。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

(a)A中两行（列）对应元素成比例 (b)A中任意一行为其它行的线性组合 (c)A中至少有一行元素全为零 (d)A中必有一行为其它行的线性组合

3. 设A为n阶方阵，r(A)rn，则在A的n个行向量中( )。(a)必有r个行向量线性无关

(b)任意r个行向量线性无关

(c)任意r个行向量都构成极大线性无关组

(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示

4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是（）

(a)r(A)rn (b)A的列秩为n

（c）A的每一个行向量都是非零向量（d）A的伴随矩阵存在

5. n维向量组1,2,,s线性无关的充分条件是（ )

(a)1,2,,s都不是零向量

(b)1,2,,s中任一向量均不能由其它向量线性表示(c)1,2,,s中任意两个向量都不成比例 (d)1,2,,s中有一个部分组线性无关

6. n维向量组1,2,,s(s2)线性相关的充要条件是（ (a)1,2,,s中至少有一个零向量 (b)1,2,,s中至少有两个向量成比例 (c)1,2,,s中任意两个向量不成比例

(d)1,2,,s中至少有一向量可由其它向量线性表示

）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

7. n维向量组1,2,,s(3sn)线性无关的充要条件是（ )

(a)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks使得k11k22kss0 (b)1,2,,s中任意两个向量都线性无关

(c)1,2,,s中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 (d)1,2,,s中任一部分组线性无关

8. 设向量组1,2,,s的秩为r，则（ )

(a)1,2,,s中至少有一个由r个向量组成的部分组线性无关 (b)1,2,,s中存在由r1个向量组成的部分组线性无关 (c)1,2,,s中由r个向量组成的部分组都线性无关 (d)1,2,,s中个数小于r的任意部分组都线性无关

9. 设1,2,,s均为n维向量，那么下列结论正确的是（）

(a)若k11k22kss0,则1,2,,s线性相关

(b)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,,ks,都有k11k22kss0,则

1,2,,s线性无关

(c)若1,2,,s线性相关,则对任意不全为零的数k1,k2,,ks,都有k11k22kss0

(d)若01020s0,则1,2,,s线性无关

10. 已知向量组1,2,3,4线性无关，则向量组( )

(a)12,23,34,41线性无关 (b)12,23,34,41线性无关 (c)12,23,34,41线性无关 (d)12,23,34,41线性无关

11. 若向量可被向量组1,2,,s线性表示，则( ）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

(a)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks使得k11k22kss (b)存在一组全为零的数k1,k2,,ks使得k11k22kss (c)存在一组数k1,k2,,ks使得k11k22kss

(d)对的表达式唯一

12. 下列说法正确的是（ )

使得k11k22kss0，则1,2,,s线性无关 (a)若有不全为零的数k1,k2,,ks，

使得k11k22kss0，则1,2,,s线性无关 (b)若有不全为零的数k1,k2,,ks，

(c)若1,2,,s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示

(d)任何n1个n维向量必线性相关

13. 设是向量组1(1,0,0)T，2(0,1,0)T的线性组合，则=（）

(a)(0,3,0)T (b)(2,0,1)T (c)(0,0,1)T (d)(0,2,1)T

T14. 设有向量组11,1,2,4，20,3,1,2,33,0,7,14，

TT41,2,2,0T,52,1,5,10T,则该向量组的极大线性无关组为（）

(a)1,2,3 (b)1,2,4 (c)1,2,5 (d)1,2,4,5

1(a1,a2)T,1(b1,b2)T，15. 设(a1,a2,a3)T,(b1,b2,b3)T，下列正确的是（）

(a)若,线性相关，则1,1也线性相关;(b)若,线性无关，则1,1也线性无关；

(c)若1,1线性相关，则,也线性相关； (d)以上都不对

二、填空题

1. 若1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(1,3,t)T线性相关，则t=▁▁▁▁。 2. n维零向量一定线性▁▁▁▁关。 3. 向量线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

4. 若1,2,3线性相关，则1,2,,s(s3)线性▁▁▁▁关。 5. n维单位向量组一定线性▁▁▁▁.

6. 设向量组1,2,,s的秩为r,则 1,2,,s中任意r个▁▁▁▁的向量都是它的极大

线性无关组。

7. 设向量1(1,0,1)T与2(1,1,a)T正交,则a▁▁▁▁。 8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。

9. 若向量组1,2,,s与1,2,,t等价，则1,2,,s的秩与1,2,,t的秩▁▁▁

▁.

10. 若向量组1,2,,s可由向量组1,2,,t线性表示，则r(1,2,,s)▁▁▁▁

r(1,2,,t)。

2a2,1,1,0，11. 向量组1a1,1,0,0，3a3,1,1,1T的线性关系是▁▁▁▁.

TT12. 设n阶方阵A1,2,,n,123,则A▁▁▁▁。 13. 设1(0,y,12)T，2(x,0,0)T，若和是标准正交向量,则x和y的值▁▁▁▁.

14. 两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁。

三、计算题

1. 设1(1,1,1)T，2(1,1,1)T，3(1,1,1)T,(0,,2)，问

T（1）为何值时,能由1,2,3唯一地线性表示？

（2)为何值时，能由1,2,3线性表示，但表达式不唯一？（3）为何值时，不能由1,2,3线性表示？

2. 设1(1,0,2,3)T，2(1,1,3,5)T,3(1,1,a2,1)T，4(1,2,4,a8)T，

(1,1,b3,5)T问：

(1)a,b为何值时，不能表示为1,2,3,4的线性组合？

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

（2）a,b为何值时,能唯一地表示为1,2,3,4的线性组合？

3. 求向量组1(1,1,0,4)T，2(2,1,5,6)T，3(1,2,5,2)T，

4(1,1,2,0)T,5(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极

大无关组线性表示。

4. 设1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(1,3,t)T,t为何值时1,2,3线性相关，t为何值时

1,2,3线性无关？

5. 将向量组1(1,2,0)T，2(1,0,2)T,3(0,1,2)T标准正交化。

四、证明题

1. 设112,2321,3212，试证1,2,3线性相关.

2. 设1,2,,n线性无关，证明12,23,,n1在n为奇数时线性无关；在n为偶

数时线性相关。

3. 设1,2,,s,线性相关，而1,2,,s线性无关，证明能由1,2,,s线性表示且

表示式唯一.

4. 设1,2,3线性相关，2,3,4线性无关，求证4不能由1,2,3线性表示.

,s(s2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线5. 证明：向量组1,2,性组合。

6. 设向量组1,2,,s中10，并且每一个i都不能由前i1个向量线性表示(i2,3,,s)，

求证1,2,,s线性无关。

7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关.

8.设0,1,2,,s是线性无关向量组,证明向量组0,01,02,,0s也线性无关。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

第三章向量参考答案

一、单项选择

1.b 2.d 3.a 4.b 5。b 6.d 7.d 8。a 9.b 10。c 11.c 12.d 13。a 14。b 15。 a 二、填空题

1. 5 2。相关 3. 0 4。相关 5.无关 6.线性无关 7。 -1

8.无关 9.相等 10。  11.线性无关 12。 0 13. x1,y14.对应分量成比例三、解答题

1. 解：设x11x22x33

(1)x1x2x30 则对应方程组为x1(1)x2x3

xx(1)x223111111112(3)

其系数行列式A11（1)当0,3时,A0，方程组有唯一解,所以可由1,2,3唯一地线性表示；

11101110（2)当0时,方程组的增广阵 A11100000, r(A)r(A)13,方程组有

11100000无穷多解，所以可由1,2,3线性表示,但表示式不唯一;

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

10211213(3）当3时，方程组的增广阵A121303312，r(A)r(A)，方

112900018程组无解，所以不能由1,2,3线性表示。 2。解：以1,2,3,4,为列构造矩阵

111111111011211011123a24b3001a210 351a850014a204b(1)当a1且b0时，不能表示为1,2,3,4的线性组合; （2）当a1,b任意时，能唯一地表示为1,2,3,4的线性组合.

1211301023。解:(11210111011,2,3,4,5)05527000011 462014000001,2,4为一个极大无关组，且31204, 52124

1114.解：1,2,3123t5，

13t当t5时1,2,3线性相关,当t5时1,2,3线性无关。 5。解：先正交化：

令T111,2,0 T 1222,1,=4,2,21 155T,3331,21111132=,, 1,2,2366再单位化：

T1121,，15T155,0222,23030,30,

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

2133,,3661 6T1,2,3为标准正交向量组。

四、证明题

1.证：∵3(12)4(213)0

∴5132430 ∴1,2,3线性相关

2。证：设k1(12)k2(23)kn(n1)0

则(k1kn)1(k1k2)2(kn1kn)n0 ∵1,2,,n线性无关

k1kn0kk0∴12 kn1kn01000111000011002,n为奇数n1其系数行列式=1(1)

0,n为偶数0001000011∴当n为奇数时，k1,k2,,kn只能为零，1,2,,n线性无关；当n为偶数时，k1,k2,,kn可以不全为零,1,2,,n线性相关.

3.证：∵1,2,,s,线性相关

∴存在不全为零的数k1,k2,,ks,k使得k11k22kssk0

若k0，则k11k22kss0，（k1,k2,,ks不全为零) 与1,2,,s线性无关矛盾所以k0

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

于是k1kkk12k2sks ∴能由1,2,,s线性表示。设k11k22kss ①

l11l22lss ②

则①-②得(k1l1)1(k2l2)2(ksls)s0 ∵1,2,,s线性无关 ∴kili0,(i1,2,,s)

∴kili,(i1,2,,s) 即表示法唯一 4.证:假设4能由1,2,3线性表示

∵2,3,4线性无关，∴2,3线性无关 ∵1,2,3线性相关,∴1可由2,3线性表示，

∴ 4能由2,3线性表示，从而2,3,4线性相关，矛盾 ∴4不能由1,2,3线性表示. 5。证：必要性

设向量组1,2,,s线性相关

则存在不全为零的数k1,k2,,ks,使得k11k22kss0

不妨设ks0，则k12skkks112ks1， skss即至少有一个向量是其余向量的线性组合. 充分性

设向量组1,2,,s中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设sk11k22ks1s1 则k11k22ks1s1s0,

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

所以1,2,,s线性相关。 6.证：用数学归纳法

当s=1时，10，线性无关，

当s=2时,∵2不能由1线性表示，∴1,2线性无关，

,i1线性无关设s=i—1时，1,2,,i线性相关，1,2,,i1线性无关, i可由1,2,,i1线则s=i时，假设1,2,,i线性无关。得证性表示，矛盾，所以1,2,,r（r8.证：设k00k1(01)k2(02)ks(0s)0

则(k0k1k2ks)0k11k22kss0 因0,1,2,,s线性无关,

k0k1k2ks0k10所以解得k0k1k2ks0 k20ks0所以向量组0,01,02,,0s线性无关。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

第四章线性方程组

一、单项选择题

1．设n元齐次线性方程组AX0的系数矩阵的秩为r，则AX0有非零解的充分必要条件是

( ）

(A) rn （B） rn (C) rn (D) rn

2．设A是mn矩阵，则线性方程组AXb有无穷解的充要条件是（）

(A） r(A)m （B) r(A)n (C) r(Ab)r(A)m （D） r(Ab)r(A)n

3．设A是mn矩阵,非齐次线性方程组AXb的导出组为AX0，若mn，则（）

(A） AXb必有无穷多解（B) AXb必有唯一解（C) AX0必有非零解 (D） AX0必有唯一解

x12x2x34x22x324．方程组无解的充分条件是（ )

(2)x(3)(4)(1)3(A） 1 （B） 2 (C) 3 (D） 4 x1x2x312x2x325．方程组有唯一解的充分条件是（）

x43(1)x3(3))(1))(A) 1 （B） 2 (C) 3 (D) 4

x12x2x313x2x326．方程组有无穷解的充分条件是（ )

xx(3)(4)(2)23(A) 1 (B) 2 （C) 3 (D) 4

7．已知1,2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解，1,2是导出组AX0的基本解系，

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

k1,k2为任意常数，则AXb的通解是( ）

(A) k11k2(12)122 （B） k11k2(12)21222

（C） k11k2(12)12 （D） k11k2(12)128．设A为mn矩阵,则下列结论正确的是（ )

（A）若AX0仅有零解，则AXb有唯一解（B）若AX0有非零解，则AXb有无穷多解（C) 若AXb有无穷多解，则AX0仅有零解（D）若AXb有无穷多解，则AX0有非零解

9．设A为mn矩阵，齐次线性方程组AX0仅有零解的充要条件为（）

（A） A的列向量线性无关（B) A的列向量线性相关（C) A的行向量线性无关 (D） A的行向量线性相关

x1x2x3110．线性方程组x12x23x30 ( ）

4x7x10x1231(A) 无解（B）有唯一解（C）有无穷多解 (D) 其导出组只有零解二、填空题

1. 设A为100阶矩阵,且对任意100维的非零列向量X,均有AX0,则A的秩为 .

kx12x2x302. 线性方程组2x1kx20仅有零解的充分必要条件是 .

xxx01233. 设X1,X2,则c1c2Xs和c1X1c2X2cs 。

csXs均为非齐次线性方程组AXb的解（c1,c2,cs为常数),

4。若线性方程组AXb的导出组与BX0(r(B)r)有相同的基础解系，则r(A) 。 5。若线性方程组AmnXb的系数矩阵的秩为m，则其增广矩阵的秩为。 6. 设1015矩阵的秩为8,则AX0的解向量组的秩为 .

7。如果n阶方阵A的各行元素之和均为0，且r(A)n1，则线性方程组AX0的通解为。 8. 若n元齐次线性方程组AX0有n个线性无关的解向量，则A 。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

1121x123a2,b3,x9. 设Ax2，若齐次线性方程组AX0只有零解，则a 。 1a20x31121x123a2,b3,x10. 设Ax2,若线性方程组AXb无解，则a . 1a20x311。 n阶方阵A,对于AX0，若每个n维向量都是解，则r(A) 。

12. 设54矩阵A的秩为3,1,2,3是非齐次线性方程组AXb的三个不同的解向量，若

1223(2,0,0,0)T,312(2,4,6,8)T，则AXb的通解为 .

13。设A为mn矩阵，r(A)rmin(m,n)，则AX0有个解，有个线性无关的解。

三、计算题

1. 已知1,2,3是齐次线性方程组AX0的一个基础解系,问12,23,31是否是该方程组的一个基础解系？为什么?

502. 设A3141213211311526,B113111206001，已知B的行向量都是线性方程组AX0的解,

2100232010试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么?

x1x203. 设四元齐次线性方程组为（Ι）：

xx0241）求（Ι）的一个基础解系

2)如果k1(0,1,1,0)Tk2(1,2,2,1)T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组(Ι）和（II）是否有非零的公共解？若有,求出其全部非零公共解；若无，说明理由。

4。问a,b为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。

x1ax2x3ax1x2bx341)ax1x2x31 2)x1bx2x3b2 xxaxa2xx2x4331212

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

5. 求一个非齐次线性方程组,使它的全部解为

x1112x1c3c 2123.(c1,c2为任意实数) x321322136. 设A，求42一个矩阵B，使得AB0，且r(B)2. 9528

参考答案

一、单项选择题

1。B 2。D 3.C 4.B 5.A 6.C 7。B 8.D 9。A 10.C

二、填空题

1.100 2。k2且k3 3.1 4.r 5.m 6. 7

7. k(1,1,,1)T （k为任意实数） 8。0 9. a1或3 10.a1 11。 0 12。 (,0,0,0)Tk(0,2,3,4)T,k任意实数 13.无穷，nr

三、计算题 1。是 2。不能

3. 1）v1(0,0,1,0)T,v2(1,1,0,1)T 2）k(1,1,1,1)T(其中k为任意非零常数)

1a1(1a)2T（-,,）；当a1时有无4。 1）当a2时，无解；当a2且a1时有唯一解：

2a2a2aTTT穷多解：c1(1,1,0)c2(1,0,1)(1,0,0)(其中c1,c2为任意常数)

1226

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

b(b2)b22b42bT（,,）；当b4时有2）当b1时,无解；当b1且b4时有唯一解：

b1b1b1无穷多解：c(3,1,1)T(0,4,0)T(其中c为任意常数)

5. 9x15x23x35

0101 6。 112125212

第五章特征值与特征向量

一、单项选择题

0011. 设A010,则A的特征值是( )。

100(a） —1,1，1 （b) 0，1,1 （c） -1,1，2 （d) 1,1,2

1102. 设A101，则A的特征值是( ）。

011(a) 0，1，1 (b） 1,1，2 （c) —1,1，2 （d） —1，1,1

3. 设A为n阶方阵， A2I,则( ）。

（a） |A|1 (b） A的特征根都是1 （c) r(A)n （d） A一定是对称阵

4. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量，则k1x1k2x2也是A的特征向量的

充分条件是（）。

(a) k10且k20 （b) k10且k20 （c） k1k20 (d) k10且k20

5. 若n阶方阵A,B的特征值相同，则（ )。

（a） AB （b） |A||B| (c） A与B相似（d） A与B合同

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

6. 设A为n阶可逆矩阵, 是A的特征值，则A*的特征根之一是( ).

（a） 1|A|n (b) 1|A| (c） |A| （d) |A|n

17. 设2是非奇异阵A的一个特征值，则(A2)1至少有一个特征值等于（ )。

3(a) 4/3 (b) 3/4 (c） 1/2 (d) 1/4

8. 设n阶方阵A的每一行元素之和均为a(a0)，则2A1E有一特征值为( )。

(a）a （b）2a （c）2a+1 (d） +1

9. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（）。

2a(a）线性相关（b）线性无关（c)两两相交（d）其和仍是特征向量

10. |A||B|是n阶矩阵A与B相似的（ )。

(a)充要条件 (b)充分而非必要条件（c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件

11. n阶方阵A有n个不同的特征根是A与对角阵相似的（）。

(a)充要条件（b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d）既不充分也不必要条件

112. 设矩阵A111000B010与。 相似,则,的值分别为（）

0021（a) 0,0 (b） 0，1 （c） 1,0 (d） 1，1

13. 设A,B为相似的n阶方阵,则（）。

（a)存在非奇异阵P，使P1APB (b）存在对角阵D,使A与B都相似于D (c)存在非奇异阵P,使PTAPB (d）A与B有相同的特征向量

14. 若n阶方阵A与某对角阵相似，则( )。

（a) r(A)n (b) A有n个不同的特征值

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

15. 若A相似于B，则( ）.

(a) IAIB （b) |IA||IB|

（c) A及B与同一对角阵相似 (d) A和B有相同的伴随矩阵

10016. 设A010,则与A相似的矩阵是（ ).

002110100101（a） 0100200202000002 （b) 001 (c）  （d) 11001002 17. 下列说法不妥的是（）

(a）因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零（b)属于一个特征值的向量也许只有一个（c）一个特征向量只能属于一个特征值 (d）特征值为零的矩阵未必是零矩阵

18. 若AB，则下列结论错误的是（ )

(a)EAEB （b)AB (c) 存在可逆矩阵P,使P1APB (d)trAtrB

二、填空题

1. n阶零矩阵的全部特征值为_______。

2. 设A为n阶方阵，且A2I，则A的全部特征值为_______。 3. 设A为n阶方阵，且Am0(m是自然数），则A的特征值为_______。 4. 若A2A，则A的全部特征值为_______。 5. 若方阵A与4I相似，则A_______.

6. 若n阶矩阵A有n个相应于特征值的线性无关的特征向量,则A_______。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

7. 设三阶矩阵A的特征值分别为-1，0,2，则行列式A2AI . 8. 设二阶矩阵A满足A23A2EO，则A的特征值为。 9. 特征值全为1的正交阵必是阵。

111110. 若四阶矩阵A与B相似,A的特征值为,,,,则B1E= .

234522311211. 若AB，则x ,y= 。

yx34

三、计算题

1. 若n阶方阵A的每一行元素之和都等于a,试求A的一个特征值及该特征值对应的一个特征

向量。

2. 求非奇异矩阵P，使P1AP为对角阵。

11221A131 1） A 2）  122013. 已知三阶方阵A的三个特征根为1，1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)T,(1,1,0)T,(2,1,1)T,

求矩阵A.

12124. 设A5a3,有一个特征向量1，求a,b的值，并求出对应于的特征值。

1b2113315. 设At22，有一个特征向量2，求s,t的值。

33s10016. 设Ax1y有三个线性无关的特征向量，求x,y满足的条件。

100ab7. 求正交阵P,使P1AP为对角阵,其中A。

ba8. 设三阶矩阵A的特征值为—1，2，5,矩阵B3AA2，求

(1）B的特征值;

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

(2）B可否对角化，若可对角化求出与B相似的对角阵；（3）求B,A3E。

111229. 已知矩阵A242与B335相似， y（1）求y；

（2）求一个满足P1APB的可逆阵P。

53210. 设A644，求A100.

445四、证明题

1. 设A是非奇异阵, 是A的任一特征根,求证

1是A1的一个特征根，并且A关于的特征向量也是A1关于

1的特征向量. 2. 设A2E，求证A的特征根只能是1。

3. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA. 4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.

5. 设n阶矩阵AE，如果r(AE)r(AE)n，证明：-1是A的特征值。 6. 设AB，证明AkBk.

7. 设1,2是n阶矩阵A分别属于1,2的特征向量,且12,证明12不是A的特征向量。

第五章参考答案

一、单项选择题

1.a 2。c 3。c 4.d 5.b 6.b 7。b 8.d 9。b 10.c 11.b 12。a 13.a 14。c 15。b 16。b 17。a 18。a

二、填空题

1。0 2.1,-1 3。0 4.0，1 5。4I 6.I 7。7 8。1，2 9.单位 10。24 11。

—17，—12

三、计算题 1.a,(1,1,,1)T

1132。(1）11 （112）211 1220203。130 1214.a3,b0,1 5.s9,t2,6 6.17。P212,P1ab011AP0ab

2248.（1）—4，2，—10 （2）2， (3101119。（1）y6,（2）特征值2，2,6；p10201331002(21001)2210031003100110.2(21003100)442100231002(31001) 2(31001)2(13100)231001四。证明题（略)

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

xy0

）8 (完整word版)线性代数习题集(带答案)

第六章二次型

一、单项选择题

1．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（）。

(a)A0 (b)存在阶阵C，使ACTC (c)负惯性指数为零 (d) 各阶顺序主子式为正

2．设A为n阶方阵，则下列结论正确的是（ )。

(a)A必与一对角阵合同

(b)若A的所有顺序主子式为正，则A正定

(c)若A与正定阵B合同，则A正定

(d) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同

3．设A为正定矩阵,则下列结论不正确的是（）.

(a)A可逆 (b) A1正定 (c)A的所有元素为正 (d) 任给X(x1,x2,,xn)T0,均有XTAX0

4．方阵A正定的充要条件是（）。

(a)A 的各阶顺序主子式为正; (b) A1是正定阵； (c)A的所有特征值均大于零； (d)AAT 是正定阵。

5．下列f(x,y,z)为二次型的是（）。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

(a)ax2by2cz2 (b) axby2cz (c)axybyzcxzdxyz (d) ax2bxyczx2

6．设A、B为n阶方阵，X(x1,x2,,xn)T且XTAXXTBX则A=B的充要条件是( ）.

(a) r(A)r(B) (b) ATA

(c)BTB (d) ATA，BTB，

7．正定二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为A，则( ）必成立.

(a) A的所有顺序主子式为非负数 (b) A的所有特征值为非负数 (c) A的所有顺序主子式大于零

(d) A的所有特征值互不相同

8．设A,B为n阶矩阵，若( )，则A与B合同。

(a). 存在n阶可逆矩阵P,Q且PAQB (b) 存在n阶可逆矩阵P，且P1APB (c) 存在n阶正交矩阵Q,且Q1AQB (d) 存在n阶方阵C,T，且CATB

9．下列矩阵中，不是．．

二次型矩阵的为（） 100(a)。000000

(b)010 00100230(c)2046

(d) 123 456

265789

10．下列矩阵中是正定矩阵的为（）

111 (a)2334 (b) 3426 (c) 100023 (d)

03512010211．已知A是一个三阶实对称且正定的矩阵,那么A的特征值可能是( (a)3,i, －1; (b)2，－1， 3； (c)2, i， 4; (d)1， 3, 4

二、填空题

1. 二次型f(x1,x2,x3,)x1x22x22x3x3的秩为。

）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

22．二次型f(x1,x2)x12x26x1x23x2的矩阵为 .

104T220fXAX的矩阵为。 3．设A，则二次型00322x32x1x2tx2x3正定,则t的取值范围是 . 4．若f(x1,x2,x3)2x12x25．设A为n阶负定矩阵，则对任何X(x1,x2,,xn)T0均有XTAX 。 6．任何一个二次型的矩阵都能与一个对角阵。

1101a07．设A是正定矩阵，则a满足条件 . 00a222ax38．设实二次型f(x1,x2,x3)x122x1x22x2则当a的取值为_______ 时,二次型f(x1,x2,x3)是

正定的。

9．二次型f(x1,x2)x1x2的负惯性指数是__________。 10．二次型(x1,x2)13x1x的矩阵为。 122三、计算题

1. 求一个非退化的线性变换，将下列二次型化为标准型。

224x2x3x31)f(x1,x2,x3)x122x1x22x1x32x2 22x2x3 2) f(x1,x2,x3)2x1x24x1x32x2211011T101B121ACBC。 2．设A，，求非奇异矩阵C，使1101103．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)x1x2x1x3为标准形，并写出相应的满秩线性变换 4．求非奇异矩阵P,使P1AP为对角阵。

11221A A131

12201四、证明题

21. 已知二次型f(x1,x2,x3)xTAx在正交变换xQy下的标准形为y12y2，

22,0,且Q的第3列为。 22T（Ⅰ)求矩阵A ；（II)证明AE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

2．设A、B为同阶正定矩阵，，0，求证AB也是正定矩阵。 3．设A， B是同阶正定矩阵，试证A＋B也是正定矩阵.

第六章参考答案

一、单项选择题

1． (d) 2． (c) 3． (c) 4． (b) 5． (a) 6．9．(d) 10． (c) 11． (d)

二、填空题

1. 3 2．13110 3． 120， 4．332,2 2035．0 6．合同 7．a1 8．a0

(d) 7．(c) 8． (c) (完整word版)线性代数习题集(带答案)

9．1 10．1222 三、计算题 1．

x1y1y21)x2y2y3 x3y3x1y1y2y32） x2y1y22y3

x3y30102． 100， 001x1y13．解:令100x2y1y2 即X110YC1Y

x3y3001f(x21,x2,x3)y1y1y2y1y3则：

(y2112y212y3)124(y2y3)w1y1112y22y111令32w2y2y3 即Y011WC2W w3y3001即XC,x21C2W使f(x12,x3)w2114w2

4． 1111311 211122 四、证明题

T1．解:由题意A的特征值为1,1,0.且22,0,2为特征值0的特征血量 2 所以1的特征向量若为(x1,x2,x3)T时有

22x212x30 37

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

22T 解方程即得Q的前2列为0,1,0，2,0,2

12012 Q010

10122T11002TAQ010Q000012

01210

012第二部分历年期末试题

山西财经大学

2006—2007学年第二学期期末

2007级《线性代数》课程试卷（A）

题号分数评卷人复核人一二三四五总分 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。

2、考生不得将装订成册的试卷拆散,不得将试卷或答题卡带出考场. 3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。 5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则,视为为作弊。 6、不可以使用普通计算器等计算工具。

一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分) 二、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）三、计算题（一）（共4小题,每题8分,共计32分）四、计算题(二）（共3小题，每题10分，共计30分）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

五、证明题（共2小题,每题4分，共计8分）

本题得分一、单项选择题（共5小题，每题2分,共计10分）答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将所选项填在题后的括号内,错选、多选或未选均无分）

1、设n阶方阵A与B等价,则必有（）

(A）当Aa(a0)时，Ba (B) 当Aa(a0)时，Ba （C）当A0时，B0 (D）当A0时，B0

2、设A,B为同阶可逆矩阵，则（）（A) 矩阵A与B等价（B）矩阵A与B相似 (C）矩阵A与B合同（D）矩阵A与B可交换

3、向量组Ⅰ：1,2,,r；可由向量组Ⅱ：1,2,,s线性表示，则( ） (A) 当rs时，向量组Ⅱ必线性相关（B）当rs时，向量组Ⅰ必线性相关 (C）当rs时，向量组Ⅰ必线性相关（D）当rs时，向量组Ⅱ必线性相关

1,2是对应导出组的基础解系,k1,k24、已知1和2是非奇次线性方程组Axb的两个不同的解，

为任意常数，则方程组Axb的通解（一般解）为( ) (A) k11k2(12)1222 (C) k11k2(12)12 (D) k11k2(12)12

22 （B) k11k2(12)12

1101015、若方阵C，则C的特征值为（ ) 011

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

（A) 1，0,1 （B) 1,1，2 （C） —1，1，2 （D)—1，1，1

本题得分二、填空题（共10小题，每题 2分,共计 20 分）

答题要求：将正确答案填写在横线上

1、已知1，2为2维列向量，矩阵A(212,12),B(1,2)，若行列式

A6,则B 。

2、设3

500阶方阵A012,则A的逆矩阵A1= 。

0112103、设A120，矩阵B满足ABA2BAE，其中A为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵，

001则B的行列式B= 。 4、设A是35阶矩阵,

101A的秩r(A)2，而B020,则r(BA) 。

1035、已知四阶行列式中第二列元素依次为1，2,3，4，其对应的余子式依次为4，3,2,1，则该行列式的值为。

a122，已知A与6、设三阶矩阵A212，三维列向量11304线性相关，则a= .

7、设四阶矩阵A相似于B，A的特征值为2，3，4，5,E为四阶单位矩阵,则行列式

BE 。

8、如果10阶方阵A的各行元素之和均为0,且r(A)9，则线性方程组Ax0的通解为。

9、若方阵A与对角阵相似，且Am0，(m为自然数),则A .

22210、若二次型f(x1,x2,x3)2x1x2x32x1x2tx2x3正定,则t的所属区间为。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

本题得分三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分)

答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）

111x11、解方程

11x111x1110

x1111

2、求向量组1,2,3,4,5的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向量。其中

4，0，2）T1（1，，2(2,7,1,4)T,3(1,4,1,3)T TT4（-4,-4,3,1），5(2,5,1,0)。

11123、设A3512,求A的秩。 536

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

249114123657B2324、求矩阵X，使XA2XBC.其中A，，C231。

532101

本题得分

四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）

215112531、已知向量,1,2,3,判断向量能否由向量组1,2,3线性表示，

3312641113若能,写出它的一般表示方式；若不能,请说明理由。

x1181X4112、设A，x2 x112342

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

（1）计算二次型XTAX,写出该二次型所对应的矩阵；

（2）将二次型XTAX化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。

1243、设A2x2,B5y，如果A,B相似,求 4214（1)x,y的值

（2）相应的正交矩阵P,使P1APB。

本题五、证明题（共2小题，每题4分,共计8分）得分答题要求：(请将答案写在指定位置上，并写清证明过程)

1、设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵,且A22A4E0。试证：A3E可逆，并求(A3E)1。

2、若向量组1,2,3,4线性无关，向量组12,23,34,4+1是否线性相关？说明其理由。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

2008—2009学年第二学期期末

线性代数课程试卷（A）

一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分)

本题得分答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分)

31x1. 行列式4x0 的展开式中，x2的系数为（）

10x （A） —1 (B） 2 （C） 3 （D) 4

2．设A,B为n阶非零矩阵，且AB0，则（） (A） r(A)r(B)n (B) r(A)n,r(B)0 （C） r(A)r(B)n (D) r(A)r(B)n 3．向量组1,2,,s线性无关的充要条件是（ )

,s不含零向量 ,s中任意两个线性无关

,s 线性表出

（A）向量组1,2,（B）向量组1,2, （C）向量1不能由向量组2,3,(D)任一组不全为零的数k1,k2,,ks，都使

kss0

k11k224．已知四阶方阵A有特征值0，1，2，3，则方程组AX0的基础解系所含解向量个数为

（ )

(A） 1 (B) 2 （C） 3 （D） 4

5．n阶对称阵A为正定矩阵的充分必要条件是（）

(A） A0 （B) A等价于单位矩阵E (C) A的特征值都大于0 (D）存在n阶矩阵C，使ACTC

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

本题得分

二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分) 答题要求：将正确答案填写在横线上

1．三阶行列式aij的展开式中，a32a11a23前面的符号应是。

1232．设A221,Aij为A中元aij的代数余子式，则

343A11A12A13 .

3．设n阶矩阵A的秩r(A)n1，则A的伴随矩阵A的元素之和Aij .

i1j1nn4．三阶初等矩阵E1,2的伴随矩阵为。

5．若非齐次线性方程组AXB有唯一解，则其导出组AX0解的情况是。

a1b1a1b16．若向量组1a2,1b2线性相关，则向量组2,2

a2b2ab33 的线性关系是。

27．设矩阵A的特征多项式为EA(1)(2)，则行列式

2A1A3E 。

8．如果n阶方阵A的各行元素之和均为2，则矩阵A必有特征值。

a19．设Ab1c1a2b2c2a3b3为正交矩阵,则其逆矩阵A1 。 c322210．二次型f(x1,x2,x3)2x1x2x32x1x2的正惯性指数为。

本题得分三、计算题(一）(共4小题，每题8分，共计32分）

答题要求：（请将答案写在指定位置上,解题时应写出文字说明或计算步骤）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

1．计算n阶行列式：Dn100110011010000

122。设A010000

303．设A1311

0001000011

000022， (1）用初等变换法求A1；（2)将A1表示为初等矩阵之积。 1210，B1101,且满足AX2XB,求X。 310(完整word版)线性代数习题集(带答案)

4．化二次型f(x1,x2,x3)x12x32x1x32x2x3为标准形，并写出可逆的线性变换。

本题得分四、计算题（二）（共3小题,每题10 分，共30分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤)

1．当a为何值时，方程组

3x12x2x3x43x50x22x32x46x53 x1x2x3x4x515x14x23x33x4x5a有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解。

2. 判

别向量组

（1,2,5,2）T1，2(3,0,7,14)T能否由T1（1，-1，0，4），T2(2,1,5,6)，3(1,1,2,0)T 线性表出，

向量组

并求向量组

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

1,2,3,1,2的一个极大无关组。

42213．设A242 求正交矩阵P，使PAP为对角矩阵,并写出相应的对角阵.

224

本题得分五、证明题（共2小题，每题4分,共计8分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，并写清证明过程）

1．设n阶方阵A有不同的特征值1,2，相应的特征向量分别是1,2,证明:当k1,k2全不为零

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

时，线性组合k11k22不是A的特征向量。

2。设n维列向量组1,2,,s线性相关，A为n阶方阵，证明:向量组

A1,A2,,As线性相关。

附:《线性代数》（A卷）答案要点及评分标准

一．选择题(共5小题，每题2分,共计10分） 1．B； 2．A； 3．D； 4．A； 5．C。二．填空题（共10小题,每题2分，共计20分）

0101．负号； 2．1； 3．0； 4．100或E(1,2)； 5．唯一解（或只有零解）； 6001，a1b1c1性相关； 7．—27； 8．2; 9．a2bc22; 10．3。 a3b3c3

．线49

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

三、计算题（一）（共4小题,每题8分，共计32分) 1、解:按照第一行展开得到

11Dn010000(1)n1101101001(1)n1

001000011001100012， n为奇数0， n为偶数 ………8分

2、解：

12001000(1）(AE)01000100 ………2分 002200100012000112001000100010010001200001000100011001 20000100011 0010012100010010211200所以 0100A10011 ………5分

10021（2）A1E(1,2(2))E(3,4(1))E(4,3(1))E(3(12)) ………8分

13、解：方法一：由AX2XB, 得到(A2E)XB， ……2分(A2E,E)11100111010101 ……5分 00101150

01101110001001 0(完整word版)线性代数习题集(带答案)

22所以,A2E可逆，X(A2E)1B=21. ……8分 11方法二：由AX2XB, 得到(A2E)XB, ……2分用初等行变换求X

10111(A2E,B)1100111110

1002201021 ……6分 0011122所以，A2E可逆， X(A2E)1B=21. ……8分 11

4、 f=x2212x32x1x32x2x3

=(x221x3)(x2x23)x2 ………6分

y1x1x3令 y2x2x3 即可逆线性变换为

y3x2x1y1y2y3x2y3. ………8分 x3y3y2

四、计算题（二)（共3小题，每题10分，共计30分） 1、解：由

321130r(A,b)012263111111

54331a 51

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

1000110012001200160013 a20方程组有无穷多组解，所以r(A)r(A,b)2，故a2 ……4分

10r(A,b)00010011522600000023 原方程组等价于方程组 00x12x3x45x5 x32x2x6x3452取x3x4x50，得到特解(2,3,0,0,0)T ……7分

x3100x令40,1,0,分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为 x00151(1,2,1,0,0)T，2(1,2,0,1,0)T，3(5,6,0,0,1)T

方程组的全部解为

xk11k22k33 其中k1,k2,k3为任意常数

……10分

2、解:初等行变换矩阵(1,2,3,1,2)到行最简梯矩阵为

1 (1,2,3,1,2)10421563120 002570021411100110101000021 10 ……6分

可得到1,2能由1,2,3线性表示,且

112,22123

向量组1,2,3,1,2的一个极大无关组为1,2,3 ……10分 3、解：

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

4EA22222(8)(2)2 ………4分

424得到矩阵A的全部特征值为122,38 当122时，由(2EA)x0得一个基础解系

1(1,1,0)T,2(1,0,1)T

666正交化，单位化1(1,1,0)T，2(,,)T …7分

22663当38时,由(8EA)x0的一个基础解 3(1,1,1)T 将其单位化得3(111T,,) ………9分 333666663131，使P1APB， 313121则正交阵P(1,2,3)20200020相应的对角阵为  ……10分 008五、证明题（共2小题,每题4分，共计8分） 1、证明： A(k11k22)Ak11Ak22k1A1k2A2

因为 A111,A222

A(k11k22)k111k222 而12

所以 k11k22不是A的特征向量。 ………4分

2、证明：由1,2,,s线性相关,根据定义，存在不全为0的k1,k2,,ks，使得

k11k22kss0，用矩阵A左乘等号两边得到

Ak11Ak22

Akssk1A1k2A2ksAs0

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

ki不全为0，根据线性相关的定义

得到向量组k11,k22,,kss线性相关. ………4分

山西财经大学

2009—2010学年第二学期期末

本题得分一、单项选择题(共5小题，每题2分，共计10分）答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分）

11x11.在f(x)1x11展开式中，x2的系数为 ( ）

x111 （A） -1 (B） 0 （C) 1 (D） 2

2.A是m×n矩阵,r(A)r,B是m阶可逆矩阵，C是m阶不可逆矩阵,且

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

r(C)r，则（）

(A) BAXO的基础解系由n—m个向量组成（B) BAXO的基础解系由n-r个向量组成 (C) CAXO的基础解系由n-m个向量组成（D） CAXO的基础解系由n—r个向量组成

3。设n阶矩阵A,B有共同的特征值，且各自有n个线性无关的特征向量，则（）（A) AB (B） AB,但AB0 (C) AB (D) A与B不一定相似，但

AB

4。设A,B,C均为n阶矩阵，且ABBCCAE，其中E为n阶单位阵,则

A2B2C2 （）

(A) O (B) E (C） 2E (D) 3E

1010A,B5．设，则A与B ( ） 0203(A)合同,且相似 (B)不合同，但相似

(C)合同，但不相似（D）既不合同，又不相似

本题二、填空题（共二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分) 得分

答题要求：将正确答案填写在横线上

a1b11．已知a2b2a3b312．设

A01c12a1b1c1c2m0，则2a2b2c2c32a3b3c30203c13c2 。 3c31，若三阶矩阵Q满足AQEA2Q,则Q的第一行的行向量01是。

3．已知为n维单位列向量，T为的转置，若CT ，则C2 。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

4．设1,2分别是属于实对称矩阵A的两个互异特征值1,2的特征向量，则1T2 。 5．设A是四阶矩阵，A为其伴随矩阵，1,2是齐次方程组AX0的两个线性无关解,则



r(A) 。

6．向量组1(1,3,0,5,0)T,2(0,2,4,6,0)T,3(0,3,0,6,9)T的线性关系是。

x12x22x307．已知三阶非零矩阵B的每一列都是方程组2x1x2x30的解，则

3xxx0231 。

8．已知三维向量空间R3的基底为1(1,1,0)T,2(1,0,1)T,3(0,1,1)T，则向量(2,0,0)T在此基底下的坐标是 .

2111219．设A1121000a0,则a 。 00422210．二次型f(x1,x2,x3)2x12x22x32x1x22x1x32x2x3的秩为 .

本题得分三、计算题(一）（共4小题，每题8分，共计32分）

答题要求：(请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤)

ab1．试求行列式Db1

bab2bba3bb的第四行元素的代数余子式之和。 b41001002。设A020,B010, 求(AB)1。003031

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

120,求矩阵。 3．设n阶方阵A,B满足A2BAB，已知B120A003

4．设二次型f(x1,x2,x3)ax12x22x32bx1x3(b0)中,二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12 。（1）求a,b的值；（2）用配方法化该二次型为标准形。

222

本题得分四、计算题（二）（共3小题,每题10 分，共30分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）

1．当为何值时,方程组

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

2x1x2x31x1x2x32 4x5x5x1231无解、有唯一解或有无穷多组解?在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解。

2已知向量组

T1(1,3,2,0)T，2(7,0,14,3)T ，3(2,1,0,1)，

4(5,1,6,2)T,5(2,1,4,1)T,（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把

其余向量分别用该极大无关组线性表示.

12213．已知矩阵A212；判断A能否对角化，若可对角化，求正交矩阵P，使PAP为

221对角矩阵,并写出相应的对角矩阵。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

本题得分五、证明题(共2小题,每题4分，共计8分）

答题要求：（请将答案写在指定位置上，并写清证明过程）

1．设是n阶矩阵A的属于特征值的特征向量.证明：也是A54A3E的特征向量。其中E为n阶单位矩阵.

2. 设n维向量组,,线性无关,向量组,, 线性相关，证明:必可由,,线性表示。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

2009-2010学年第二学期期末《线性代数》（A卷)答案要点及评分标准

一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1．A； 2．B； 3．C； 4．D； 5．C. 二．填空题（共10小题,每题2分，共计20分）

1．6m； 2．(2,0，1)； 3．T； 4．0； 5．0； 6．线性无关； 7． 1； 8． 1，1，-1; 9． 1； 10． 2。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分)

1、解：

abb1bab1bba1bbb ………4分 1A41A42A43A44ababababab00b100ab000(ab)3 ………8分

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

100100102、解：方法一：AB0200003010020 031093………2分

00100(ABE)102001009300 10010011001000100120 0100103092120 00010312300所以

1(AB)11

020 ………8分31023

(2）方法二：

100100100(AB)1B1A1010100………8分 03120102100130323

3、解:方法一：由A2BAB，得到A(EB)2B,……2分

020100 (EB,E)110010

002001

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

1100102101000 ……5分 21001002320120所以，EB可逆，A2B(EB)1=. ……8分 003方法二：由A2BAB，得到A(EB)2B, ……2分用初等列变换求A

01EB02B22001010010002  4032124000062001 003 ……6分

320120所以， A. ……8分 003a0b0204、解：二次型的矩阵A 根据题意得到 b02a2(2)1,4a2b212 a1,b2 ………4分

222x34x1x3(x12x3)22x226x32 f=x122x2y1x12x3令 y2x2 ,标准形为y122y226y32. ………8分

yx33四、计算题（二）(共3小题，每题10分，共计30分）

2462

511(1)(54) 由克莱姆法则 51、解： A1(完整word版)线性代数习题集(带答案)

当1且45时，方程组有唯一解; ……2分当45时

24151455r(A,b)4112105455109 4551000有r(A)r(A,b)，所以方程组无解； ……4分当1时

111001r(A,b)211121111455100000 有r(A)r(A,b)23，方程组有无穷多组解，原方程组等价于方程组为取x30，得到特解(1,1,0)T

令x31，代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为

(1,0,1)T

方程组的全部解为

xk 其中k为任意常数 ……10分

2、解：初等行变换矩阵(1,2,3,4,5)到行最简梯矩阵为

100217252313 (1,2,3,4,1115)30 0101133 214064031210011000000 ……6分

可得向量组的秩为3,

x11x

2x3163

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

向量组的一个极大无关组为1,2,3，且

4123,512 ……10分

231313133、解:A的特征多项式为

1EA22222(5)(1)2 ………3分

121得到矩阵A的全部特征值为121,35 当121时,由(EA)x0得一个基础解系

1(1,1,0)T,2(1,0,1)T

666正交化,单位化1(1,1,0)T,2(,,)T

22663当35时，由(5EA)x0的一个基础解 3(1,1,1)T 将其单位化得3(因此A能对角化

12且正交阵P(1,2,3)120666663131，使P1AP， 313111T,,) ………8分 333100010相应的对角阵为  ……10分 005五、证明题(共2小题，每题4分,共计8分） 1、证明：因为 A, 有

(A54A3E)A54A34(41)64

5353

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

根据特征值和特征向量的定义得也是A54A3E的特征向量.

………4分

2、证明：由,,线性无关,得到,线性无关，又,, 线性相关，则可以由,线性表示，所以必可由,,线性表示。

………4分

山西财经大学华商学院

2008—2009学年第二学期期末线性代数课程试卷（A）

1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时.

2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。 3、考生只允许在密封线以外答题,答在密封线以内的将不予评分。 4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔。

5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为作弊。 6、禁止使用电子翻译工具和字典.

客观题：

一、单项选择题（共10题，每题2分，共20分,1—10题）二、判断题（共10题，每题1分，共10分,11--20题）主观题:

S1：填空题（共5题，每题2分，共10分）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

S2：计算题(一） (共3题，每题6分，共18分) S3：计算题（二) （共2题，每题8分，共16分） S4：计算题(三）（共2题，每题10分,共20分） S5：证明题（共1题，每题6分，共6分）

第一部分客观题（共30分)

一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分)

a11a12a13a212a223a231。若行列式a21a22a23d,则a112a123a13等于（ )

a31a32a33a312a323a33（A） 2d （B） 3d (C） 6d （D） 6d

1232。设A010，Mij是A中元素aij的余子式，则M31M32M33=（ 111(A） 0 (B) 1 （C） 2 (D） 3 3. 设A为n阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（）

(A) |2A|2|AT| (B） (2A)12A1

(C） A*A1 （D） [(AT)T]1[(A1)T]T 4. 初等矩阵满足（）

(A）任两个之乘积仍是初等矩阵（B）任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵（D）所对应的行列式的值为1 5。下列不是．．n阶矩阵A可逆的充要条件为（）

(A) A0 (B） A可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在（D） A的等价标准型为单位矩阵

）(完整word版)线性代数习题集(带答案)

6。设A为mn矩阵,C为n阶可逆矩阵，BAC，则 ( )。 (A）秩(A）〉秩（B）（B）秩（A）= 秩（B）

（C）秩（A)< 秩（B）（D）秩(A）与秩（B）的关系依C而定 7。如果向量可由向量组1,2,,s线性表示，则下列结论中正确的是（） (A）存在一组不全为零的数k1,k2, （B) 存在一组全为零的数k1,k2, （C) 存在一组数k1,k2,ks，使得k11k22ks，使得k11k22kss 成立 kss 成立

ks，使得k11k22kss 成立

（D) 对的线性表达式唯一

8. 设1,2是齐次线性方程组AX0的解,1,2是非齐次线性方程组AXb的解，则（） (A） 211为AX0的解 (B） 12为AXb的解（C） 12为AX0的解（D) 12为AXb的解

1109. 设A101，则A的特征值是( )。

011(A) 0,1,1 (B） 1,1,2 (C) 1,1,2 （D) 1,1,1 10。若n阶方阵A与某对角阵相似，则 ( )。

（A) r(A)n （B) A有n个互不相同的特征值（C) A有n个线性无关的特征向量（D) A必为对称矩阵

二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 )注：正确选择A，错误选择B. 11. 设A和B为n阶方阵，则有(AB)(AB)A2B2。( ） 12。当n为奇数时，n阶反对称矩阵A是奇异矩阵。( ） 13. 设A,B,C为同阶方阵，ABAC,则BC.（）

14。若矩阵A有一个r阶子式D0，且A中有一个含有D的r1阶子式等于零，则A的秩等于r.

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

（）

15。若非齐次线性方程组AXb有无穷多解，则其导出组AX0一定有非零解.( ） 16 若向量组1,3,5线性无关，则向量组1,2,,9线性无关.（） 17。等价的向量组的秩相等。（）

18。设A与B都是n阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵。（） 19。矩阵A不同特征值对应的特征向量必线性无关。（ ) 20. 两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等价。( )

第二部分主观题（共70分）

题号得分

s1 三、填空题（共5小题,每小题2分，共10分）

1．在5阶行列式中，a12a25a31a43a54的符号是

5000212．若A为3阶方阵,A1为A的逆矩阵且A1，则A 。 011x1x2x303。线性方程组 2x1x2x30 仅有零解的充要条件是。

xx3x03124.已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3，则A35A27A .

223x35．实二次型f(x1,x2,x3)x122x1x2tx2,当t＝时,其秩为2。.

题号得分

s2 四、计算题(一）（共3小题,每小题6分，共18分）

212033230110261。计算4阶行列式

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

2. 已知向量组1(1,1,2,1)T,2(1,0,0,2)T,3(1,4,8,k)T线性相关,求k.

3. 设1(1,2,2)T,2(1,0,1)T,3(5,3,7)T，用施密特正交化法将该向量组正

交化。

题号得分

s3 五、计算题（二)（共2小题，每小题8分，共16分)

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

31114120B-131. 设A ， ，若矩阵X满足AXXB，求X. 1-1232

00111a2。设A ，问a为何值时，矩阵A能对角化? 100

题号得分

s4 六、计算题（三）(共2小题，每小题10分，共20分）

1.当为何值时，线性方程组

x1x2x3x4x513x2xxx3x012345 x22x32x46x535x14x23x33x4x5有解？在有解的情况下，求其全部解(若有无穷解，用其导出组的基础解系表示）。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

2. 求向量组1(2,1,4,3)T、2(1,1,6,6)T、3(1,2,2,9)T、4(1,1,2,7)T、5(2,4,4,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

题号得分

s5 七、证明题(共1小题，每题6分，共计6分）

设1和2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为p1和p2，证明p1p2不是A的特征向量。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

山西财经大学华商学院

2009—2010学年第二学期期末线性代数课程试卷（A）及答案

本题得分一、单项选择题(共10小题，每题2分,共计20分）

答题要求：请将正确选项前的字母填在题后的括号内

1。若1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式1231m，1223n,则四阶行列式321(12)(C)

(A）m+n （B）-(m+n) （C)n—m （D)m-n 2.设矩阵312a31ab6c8，则（B） 265c(A）a1b2c2 （B）a1b2c2 （C)a1b2c2 （D)a1b2c2 3。若A、B均为非零方阵，且AB=O,则有A、B（D）

(A）都可逆（B）至少有一个可逆（C）r(A）=r(B） (D）都不可逆 4。下列向量中，可由1(0,1,0)T与2(1,0,0)T线性表示的是（B）（A) (0,0,1)T (B) (0,3,0)T （C） (0,2,1)T （D） (2,0,1)T 5。设矩阵A满足A24A5EO，则（A）

（A)A与A+4E同时可逆 (B）A+5E一定可逆（C）齐次线性方程组A5EXO有非零解（D）A—E一定可逆 6。若n阶矩阵A的行列式A1，则A的秩为（D）（A）1 （B)0 (C）n-1 (D）n 7.设A为n阶方阵,且A0,有(C）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

（A）A中必有两行(列）元素对应成比例 (B)A中至少有一行（列)元素全为零

（C）A中必有一行（列）向量是其余各行(列）向量的线性组合（D)A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合

8。设A为mn矩阵，则齐次线性方程组AX=O仅有零解的充要条件是（D）（A)A的行向量线性相关 (B)A的列向量线性相关 (C)A的行向量线性无关 (D）A的列向量线性无关 9。可逆矩阵A与矩阵（A）有相同的特征值

（A）AT (B)A1 （C)A2 (D)A+E

10.1与2分别是n阶方阵A的属于特征值1,2的特征向量，若12，则1与2（B）（A)线性相关 (B）线性无关（C)相等（D）正交

本题得分二、判断题（共10小题，每题1分，共计10分）

答题要求：判断正误，正确选择A，错误选择B

11.若方阵AT可逆，则A也可逆 (A） 12.设A、B均为n阶方阵，则ABAB (B） 13.对任意n阶方阵（n〉1）A与B，都有(AB)(AB)A2B2 (B） 14.若向量组1,2,,s与1,2,,t等价，则st （B)

15。若齐次线性方程组AX=O存在基础解系，则方程组AX=b(b≠0）有无穷多解（B)

16.若同阶矩阵A与B的秩相等，则A可经过有限次的初等变换化成B （A) 17.若是方阵A的特征值，则n是An的特征值（其中n为自然数）（A）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

18.若n阶方阵A相似于对角矩阵，则A有n个互异特征值（B) 19.设X1与X2是A的任意两个特征向量，则X1X2也是其特征向量（B） 20.若A为正交矩阵，则A1 （A）

本题得分三、填空题(共10小题,每题2分，共计20分）

答题要求：请将最终答案直接填在题中横线上.

21.设A为三阶矩阵，且A2,则3A 54 22。 A011112,则 (AE)(AE)101123.设矩阵A可逆，则其伴随矩阵A可逆，且(A)11A A24.如果45阶矩阵A的行向量组线性无关，则齐次线性方程组AX=O的基础解系中含有1个向量

25。若向量组中含有零向量,则此向量组线性相关 26。若1(1,2,k,4)T与2(4,3,2,2)T正交，则k1 27.设A为正交矩阵，则ATA1

28。设三阶矩阵A的特征值为—2、1、4，则A8

29.已知—5是方阵A的特征值，则A—2E一定有一个特征值-7 30。设1,2,,s为非齐次线性方程组AX=b的一组解,如果

c11c22css也是该方程组的一个解,则ci1

i1s本题得分 S1：计算题一(共2小题，每题8分，共16分）

答题要求：写出文字说明和主要验算步骤

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

31101．计算四阶行列式

12341205

10123110101210121012解：

123412341205120502220111021320213

101231100146014610121012=20111201110031003136

00350006

2.解矩阵方程(EA)XB,其中A01011111，B20

10153100010110解：EA010111101

00110110211011110111101(EA,B)101200111110111110253012440033310031

01022X31220011111本题 S2：计算题二（共3小题，每题10分，共30分）

得分答题要求:写出文字说明和主要验算步骤

1.给定向量组1(1,1,1,1)T,2(1,1,1,1)T，3(1,3,1,3)T，

4(1,1,1,1)T ，求该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余

向量用该极大无关组线性表示。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

解：

1111(1234)111110001111310211003102111111100010000011122002020011111110001020110001000111111110001000101101110000100000

所以：r(1234)3，1,2,4是一个极大无关组，且3212

2。用其导出组的基础解系表示下面方程组的全部解

x12x2x32x402x1x2x3x41 3xx2xx12341121201212012120解：A211110515105151312110515100000

130310515100000x13x43x21 x315x45x2令x2x40，得线性方程组的一个特解0(1,0,1,0)T

x13x43x2其导出组的一般解为:

x5x5x4232令x分别为0,1 4x103310,得导出组的基础解系为：1525 01所以，方程组的全部解为:0c11c22 （c1,c2为任意实数）

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

3203.已知A222的特征值为—1,2，5，求正交矩阵P,使得P1AP

021为对角矩阵.

解:当11时,由(EA)XO，得基础解系为p1(2,2,1)T

当22时，由(2EA)XO,得基础解系为p2(2,1,2)T 当35时，由(5EA)XO，得基础解系为p3(1,2,2)T 不难验证p1,p2,p3是正交向量组，把p1,p2,p3单位化,得

p11(2/3,2/3,1/3)T;p22(2/3,1/3,2/3)Tp1p2p3T3p(1/3,2/3,2/3)

3取P(1,2,3),有P1APdiag(1,2,5)

本题 S3：证明题（共1小题,共计4分）

得分答题要求：应写出文字说明

1. 已知n维向量1,2,3线性无关，则向量组12,23,31线性

无关。

证明：k1(12)k2(23)k3(31)O 整理得：(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)3O

1,2,3线性无关

k1k30k1k20 k2k30解得：k1k2k30

所以，向量组12,23,31线性无关。

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

第三部分近六年考研试题

一、单项选择题

1.[2006—3］若a1,a2,,as均为n维列向量， A是mn矩阵，下列选项正确的是

（A) 若a1,a2,,as线性相关,则Aa1,Aa2,,Aas线性相关。 (B) 若a1,a2,,as线性相关，则Aa1,Aa2,,Aas线性无关. (C) 若a1,a2,,as线性无关，则Aa1,Aa2,,Aas线性相关.

（D）若a1,a2,,as线性无关，则Aa1,Aa2,,Aas线性无关。［ A ］

2.[2006—3、4] 设A为3的阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，

110记P010 ，则

001（A） C=P1AP。（B）C=PAP1。 (C）C=PTAP. (D） C=PAPT。［ B ］ 3.［2007-3、4] 设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是

（A） 12,23,31 (B） 12,23,31

（C) 122,223,321 （D) 122,223,321 [ A ］

2111004［2007—3、4]设矩阵A121，B010，则A与B

112000(A）合同,且相似 (B)合同，但不相似

(C)不合同,但相似（D）不合同，也不相似［ B ]

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

5. ［2008-3］设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵,若A30，则

(A） EA不可逆，EA不可逆。（B) EA不可逆,EA可逆.

126. ［2008—3］设A，则在实数域上与A合同的矩阵为

2121212112 (A）  (B) （C) (D） 12121221 [ D ］



OA7。 [2009—3] 设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A2,B3，则分块矩阵BO的伴随矩阵为 O3A*O2A*2B* （C） * (D） * [ B ］ OOO2B3B1008. ［2009—3] 设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP010. 若P(1,2,3)，

002Q(12,2,3)，则QTAQ为

210110200100（A） 110 （B) 120 (C） 010 (D） 020 [ A ］

002002002002O3B*O（A） * （B） *2AO3A9。［2010-3］设向量组I：1,2,,r可由向量组II：1,2,,s线性表出.下列命题正确的是

（A) 若向量组I线性无关，则rs （B）若向量组I线性相关，则rs

11111(A)1 (D） （B）1 （C）1 [ D ]

1111000011。［2011—3]设A为3阶方阵,将A的第2列加到第一列得到矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩

10010010,P2001,则A= 阵，记P11001010（A）P1P2 （B） P11P2 （C） P2P1 （D） P1P21 [ D ］ 12。［2011-3]设A为4×3矩阵，1,2,3是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax的通解为

(A）23k1(21) （B） 23k1(21)

22（C） 23k1(21)k2(31) (D） 23k1(21)k2(31) ［C]

(完整word版)线性代数习题集(带答案)

二、填空题

（a1，a2）。若行列式1。[2006-3、4] 已知a1,a2为2维列向量，矩阵A2a1a2,a1a2,B|A|6，则B -2 。

21112。[2006—4] 设矩阵A，E为2阶单位矩阵，矩阵满足矩阵，则B =BBAB2E1211

01000010,则A3的秩为 1 3.[2007—3、4］设矩阵A000100004。［2008—3］设3阶矩阵A的特征值是1, 2， 2，E为3阶单位矩阵，则4A1E= _3___ 3005. ［2009—3］设(1,1,1)T,(1,0,k)T。若矩阵T相似于000，则k＝

0002。

6。 [2010—3］设A,B为3阶矩阵，且|A|3,|B|2,|A1B|2，则|AB1| 3 。

7. [2011-3]设二次型f(x1,x2,x3)xATx的秩为1,A的各行元素之和为3，则f在正交变换xQy下的标准形为3y12.

三、解答题

1.［2006—3、4］设4维向量组a11a,1,1,1，a22,2a,2,2,a33,3,3a,3，a44,4,4,4a，

TTTT问a为何值时，a1,a2,a3,a4线性相关？当a1,a2,a3,a4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

2。[2006—3、4］设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a11,2,1,

Ta20,1,1是线性方程组Ax0的两个解.

T（ I ) 求A的特征值与特征向量；（ II ）求正交矩阵Q和对角矩阵，使得QTAQ；

3（III）求A及AE,其中E为3阶单位矩阵.

2680

因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容

查看全文