2020年数学 中考复习：压轴题解法探究（二）
1.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。 （1）求抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB。请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）将A(-1,0)和点B（3，0） 代入y=x2+bx+c建立方程组可解得 b=-2,c=-3所以y=x2-2x-3.
（2）设P（x,0）根据两角对应相
OEOP等可得△OPE∽△BCP,得, =PBBC而PB=3-x，OP=x，BC=AB=4代入上式可得
1329OE=-（x-）+(0 1 / 23 329。 16知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 （3）过M作MF∥y轴交NB于点F，设M(m,m-2m-3),运用待定系数法求得直线BN的解析式：y=x-3，可知F（m,m-3）,可求得MF=-m+3m,所以S△MBN=MF·OB=×（-m+3m）×3 273315 (0 2 2 =-（m-）2+ 12322. 如图，对称轴为x=1的抛物线经过A（-1，0），B（2，-3）两点。 （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标； （3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形，直接写出点E的坐标。 解析：（1）对称轴为x=1的抛物线经过A（-1，0），由对称性可知另一交点为（3，0），这样知道了三点运用待定系数法可求解析式：y=x2-2x-3. (2)利用待定系数法可求得直线AB的解析式：y=-x-1。设Q（a,-a-1）根据相似或中点坐标公式可知P（2a,-2a-2），将其代入y=x2-2x-3中， 1±51－5－５＋５解方程可得：a=,所以P(,) 42２2 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 1+5－５－５或（，） 2２ (3) ①以BC为对角线，如图可知E（2，-1） ②以BC为边，BD为对角线。如图可知 C点的横坐标为1，将x=1代入y=-x-1 得y=-2，由对称性得E（1，-4）.以DC为对角线，相当于将正方形沿直线平移DE长得到的正方形，E（2，-5）.以BE为对角线，此时， 3 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 就是将第二个图中D、E交换位置，E（0，-3）. 因为直线Y=-X-1，与轴的夹角是450，想到这一点，这几种情况就好理解了。 3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c过A（-1，0），B（3，0），C(0,3) 三点。 （1）求抛物线的解析式； （2）P（x,y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求P点横坐标x1的取值范围。 （3）过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该 抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD、CB。点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值。 解析：（1）将A（-1，0），B（3，0），C(0,3)代入y=ax2+bx+c建立方程组可得a、b、c的值，解析式: 3223x+x+3. 33Y=- （2）先求得Q点坐标，在图象上绘出此点，根据对称性可知此时P点的横坐标为-2。因为y1≤y2，所以x1≤-2或x1≥4 4 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 （3）分别作F点关于直线CE、CD的对称点F`、F``，连接F`、F``交直线CE、CD于点N、M，此时△FMN周长的值最小。由解三角形得DC=DB,CF=FB=CC，容易证得△CFD≌△COD,得BM F``与O重合，而由对称性得F`（， 3233），2勾股定理可得OF`=3，所以△FMN周长的最小值为3。 4.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=-1. （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在第二象限内，且PE=OD，求△PBE的面积。 （3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）抛物线的对称轴是直线x=-1，（2，0）由对称性知B（-4， 0）。又知C（0，-2），利用待定系数法可求抛物线：y=x2+x-2.（2）设DB=a，由△DBE∽△OBC,可得DE=a，又PE=（a+4）， 1214141214A 5 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 所以PD=（3a+4），P[-a-4,（3a+4）].将P[-a-4,（3a+4）]代入y=x2+x-2中，解方程得a1=1, a2=-4（舍去） △PBE的面积=PE·DB=。 （3）以DB为腰有两种情况 ①过M1作M1F⊥x轴，垂足为F，设M1F=m，由tan∠FBM1= 得BF=2m，由勾股定理得 520+255（负的舍去），此时M（-，） 5551214121414141258m2+4m2=1，解得m=± ②过M2作M2G⊥x轴,垂足为G。设MG=n，则BG=2n，DG=2n-1, M2D=DB=1。由勾股定理得：n2+(2n-1)2=1,解得n=0（舍去）或n=，此时M（-284，）。 55455.如图，抛物线y=ax2+bx（a>0）过点E(8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA=2，且OA:AD=1:3. （1）求抛物线的解析式； （2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值； （3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的 6 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 610高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 5（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离。 解析：（1）由OA=2，且OA:AD=1:3.可得D（2，-6），又知E(8,0)，可 12 求解析式：y=x-4x; 2（2）由题意可得M（6，-4），N（4，-6），分别作点M、N关于x轴、y轴的对称点M`、N`，可得M`（6，4）N`（-4，-6），此时四边形MNGF周长的值最小，最小值为M`N`=122 （3）过P作PF∥y轴，交OD于F。直线OD解析式可求：y=-3x，设 12 点P(a,a-4a)，则F（a,-3a）, 2①当0 610×，此方程无解。5 ②当2 a=6或a=-4(舍去)。所以当点P（6，-6）时，△ODP中OD边上的高 610为 512（4）抛物线平移，当KL经过矩形对角线交点时，即平分矩形的面积。 由题意可知M（4，-3），可得直线KL的解析式：y=-3x+9,令Y=0，求得x=3， 所以抛物线向右平移3个单位时，直线KL平分矩形的面积。 5.在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A、B。 （1）求a、b满足的关系式及c的值。 （2）当x<0时，若y=ax+bx+c（a<0）的函数值随x的增大而增大， 8 / 23 2 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 求a的取值范围。 （3）如图，a=-1时，在线上是否存使△PAB的为1？若存 当抛物在点P，面积在，请 求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）由y=x+2可得，A(-2,0),B(0,2)代入y=ax+bx+c得 b=2a+1,c=2。 （2）若x<0时，y=ax2+bx+c（a<0）的函数值随x的增大而增大，则有-b2a+111≥0，即-≥0，解得，a≥-,故a的取值范围为0>a≥-. 2a2a222 （3）过P作PF⊥x轴，交AB于F。由题意可得直线AB：y=x+2,当a=-1时，可知抛物线：y=-x2-x+2, 设P（m,-m2-m+2）,则E（m,m+2） 1∴PE=-m-2m, 由题意得：×（-m2-2m）×2=1，解得m1=m2=-1此 22 时，P(-1,2).根据同底等高面积相等，所以将直线AB向下平移一个 9 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 单位，得直线y=x+1。将y=x+1与y=-x2-x+2建立方程组，解得，x=-1+。 2或-1-2，所以P(-1+2,2)或（-1-2，-2） 6.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点坐标为（-1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的横坐标；若不存在，请说明理由 。 解析：（1）设抛物线为：y=a(x-1)2+4,将（-1，0）代入得a=-1，所以y=-x2+2x+3. 9，若存在，求出该点的1610 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 （2）设M(x2,c),N(x1,c)，x2，x1是方程x2-2x+c-3=0的两根， ∴MN=x2-x1=(x2+x1)2－４x2x1=4－４(c－3)=24－ｃ 设4-c=t2，则MN=2t,c=4-t2, 矩形周长=2(MN+MG)=2(4-t2+2t)=-2(t-1)2+10,所以当t=1时，矩形周长的有最大值，最大值为10。 （3）如图，过点P作PE∥DC交y轴于点E,分别过点P、D作PF⊥DC, DA⊥PE,则AN=PF. 因为△PNC的面积是矩形MNHG面积的 919，可得×NC×PF=×2×3 162169227即：32PF=，∴PF=.∵直线NC解析式为：y=-x+3,∴∠ 4899DEA=45,∴DE=.直线PE的解析式：y=-x+3+和直线DC距离为 440 929的另一条直线为：y=-x+3-.将这两个一次函数分别 与 48y=-x2+2x+3.建立方程组，可求得P（，）或（或（7. 3－３２－３＋６２，） ２４321543+32－３－６２，）2４如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，直线y=x+ 12121经过点A，与抛物线的另一个交点为点C（3，m），线段PQ在线2段AB上移动，PQ=1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D、G。 11 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 （1）求抛物线的解析式； （2）设四边形DEFG的面积为S，求S的最大值； （3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标。 解析：（1）由y=x+得A（-1，0）C（3，2）分别代入y=-x2+bx+c 3123建立方程组可得b=,c=2所以y=-x+x+2. 222121212(2) 设点P(m,0),则点Q(m+1,0),D(m,m+),G(m+1,m+1), 123123E(m,-m+m+2),F(m+1,-(m+1)+(m+1)+2) 2222121212S=(DE+FG)·PQ 代入整理得S=-m2+m+， ∵-<0，∴当m=时，S的最大值为： 121215 812127412（4）线段PQ在线段AB上移动，出现平行四边形时， ①当点F在点G上方时，即：DG=FG，由（2）得 12 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 -m2+m+2-m-=-m2+m+3-m-1 11解得：m=,∴P（，0） 2212321212121212②当点F在点G上方时，同理可得点P(8. 1+15,0) 2抛物线y=ax2-4x+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A， 点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知△ABC的面积为3. （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ∥AC交y轴于点Q，AQ的长度为d，求d与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当d=4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点M，连接MN，若△AMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标。 13 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 解析：（1）令y=0，可得B（1，0）C（3，0），A(0,3a) 1由△ABC的面积为1，可得×2×3a=3，解得a=1 2所以，y=x2-4x+3. (2)设P（m,m2-4m+3）,由PQ∥AC,可设直线PQ解析式：y=-x+b,将P点坐标代入可得：b=m2-3m-3，所以d=m2－3m(m>2) (3)当d=4时，m2－3m=4，解得m=4或m=-1（舍去）所以P（4，3）， 设点G（n,n2-4n+3）D(2,-1),N(0,-1), 利用待定系数法可得直线PD：y=2x-5, 直线AG：y=(n-4)x+3,将y=2x-5与y=(n-4)x+3建立方程组可求 816816，。由AN=AM得：4+9=（）2+（﹣－５）6－n6－n6－ｎ6－ｎ1062109624988）2. 解得：n=或，所以G（，）或（，） 3173717289交点M（ 9. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）和点B,与y轴交于点C（0，-3）顶点为D （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断△BCD的形状，并说明理由； （3）点P在抛物线上，点Q在直线y=x上，是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 14 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 解析：（1）把A（1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c，可求得解析式： y=x+2x-3. （2）由（1）得D(-1，-4)，令y=0，可得B（-3，0）.BD=20,CD=2,BC= 18,由勾股定理逆定理可知△BCD为直角三角形。 2 （3）设P（m,m2+2m-3）,Q（m,m） ①以OC为边，则有PQ=AC，即：m2+2m－3－ｍ=3 解得：m=-1或2或-3. ②以OC为对角线，则PC∥OQ,可知PC的解析式：y=x-3与y=x2+2x-3建立方程组可求得x=0或-1. 故点P(-1,4)或（2，5）或（-3，0）. 10.如图，已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D。 15 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 （1）若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.①求点M和点N的坐标； ②在抛物线的对称轴上找一点Q，使AQ－ＢＱ的值最大，请直接写出点Q的坐标； ③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明 理由； （2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明 理由。 解析：（1）①由y=-2x2+2x+4可知M(，)，再将x=代入y=-2x+4得N(，3).②作点B关于对称轴的对称点E，可知E (1，4). 连接AE并延长交对称轴于点Q，此时AQ－ＢＱ的值最大。由A点和E点，可得直线AE解析式：y=-4x+8,所以Q（，6） ③不存在，设点P（x,-2x+4）则点D（x,-2x2+2x+4）.因为四边形MNPD为菱形，所以NM=PD，即：-2x2+2x+4-（-2x+4）=-3.解得x=(舍去) 16 / 23 12921212129212知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 或x=,故点P（，1），而PN=1+4=5≠MN，所以不存在点P，使四边形MNPD为菱形； （3）当点P横坐标为1 时，可得P(1,2),此时A(2，0)，B（0，4）， ①当∠BDP为直角时，因为△PDB∽△BOA,列比例式可求得D(1,4)过点A、B、D的解析式利用待定系数法可求：y=-2x2+2x+4 ②当∠DBP为直角时,因为△PDB∽△BAO, PDPB且PA==PAPC3232595,PC=2,PB=5,得PD=,所以D(1,),又A(2，0)，B（0，4）代入 2255二次函数一般式，解方程组可得:a=-,b=3,c=4.故解析式为：y=-22x2+3x+4. 10. 如图，抛物线y=-1（x+2）(x-m)(m>0)与x轴交于A、B两点（Am在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC。 （1）若△ABC为直角三角形，求m的值； （2）在（1）的条件下，点D是第一象限抛物线上一动点，过D点的直线交x轴、y轴的正半轴于E、F，连接OD，当OD的长最小时，求△OEF面积的最小值； （3）直线y=x+b经过点B，与抛物线交于另一点G，点P在y轴上，点Q在抛物线上，以点B、G、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。 17 / 23 12知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 解析：（1）由题意知若△ABC为直角三角形，只能是∠ACB=900，令y=0，得A(-2,0) ,C(0,2),B(m,0)，∴有AC2+BC2=AB2,即：8+4+m2=（m+2） 2, 解得：m=2。 121212（2）由（1）知y=-x2+2,设D（x, -x2+2）,则有OD2=x2+(-x2+2)2, 整理得 OD2= 1（x2-2）2+3, ∴当x=2时，OD2最小,也就是OD最小. 4此时D（2，1）。设直线EF解析式：y=kx+b将D点代入得：b=1-2k,y=kx+1-2k,令y=0得x= 2k－１ ｋ2k－１11∴△OEF面积=OE·OF=××（1-2k） 22ｋ=（ 12 －－ｋ）+22 －２ｋ∴△OEF面积的最小值为22。 18 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 (3)此问有两种情况①以GB为对角线，利用相似建立等式可求得P（0，4）.②以GB为边，同理可求得P(0,-19). 11.如图，已知二次函数的图象M经过A（-1，0），B（4，0），C（2，-6）三点。 （1）求该二次函数的解析式； （2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标； （3）设图象M的对称轴为l，点D（m,n）（-1 19 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 解析：（1）设二次函数解析式：y=ax2+bx+c，将A（-1，0），B（4，0），（2，-6），代入可得：a=1,b-3,c=-4 ∴y=x2-3x-4. ABAG（3）若△ABG与△ABC相似，则有,又AB=5,AC=35， 可得=ACABAG= 55552 .直线AC：y=-2x-2,设G（x,-2x-2）,由（x-1）2+(-2x-2)2=(),33232310) 3可求得x=,G(,-（4） 过D作DK∥y轴交AC于点K，由点A,C可得直线AC：y=-2x-2。设D（m,m2-3m-4） 则k(m,-2m-2), ∴KD=-m2+m+2 △ACD的面积=×KD×（2+1），即：×（-m2+m+2）×（2+1）= 20 / 23 121227 8知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 解得：m=,∴D(,- 1212213521). 由y=x2-3x-4知对称轴x=，可得E(,-) 4224设P(x,x2-3x-4).①以DE为边，因为四边形DEQP是平行四边形，所以 317PQ∥DE且PQ=DE，所以－x=2，解得x=-或 222因此，P1(-,-),P2(,-) ②以DE为对角线，因为四边形DEQP是平行四边形，所以DE与PQ互相平分，此时P3与顶点重合，P（，-3225）。 41294729412.如图，抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，对称轴与x轴交于点M，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，且PM=AB。 （1）求抛物线的解析式； （2）点K是x轴正半轴上一点，点A、P关于点K的对称点分别为A1、P1，连接PA1、P1A1，若PA1⊥p1A1，求点K的坐标； （3）矩形ADEF的边AF在x轴负半轴上，边AD在第二象限，AD=2，DE=3。将矩形ADEF沿x轴正方向平移t（t>0）个单位，直线AD、EF分别交抛物线于G、H。问：是否存在实数t，使得以点D、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。 21 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 解析：（1）令y=0,ax2-2ax-3a=0,解得：x=-1或3.∴A(-1,0)，B(3，0)， bAB=PM=4，由对称轴x=-=1 2aP（1，4）代入y=ax2-2ax-3a可得 a=-1,所以y=-x2+2x+3. （2）由对角线平分且PA1⊥p1A1知四边形APA1P1是矩形，过点P1作P1Q⊥x轴交于点Q，则有△P1A1Q≌△PAM,得P1Q=PM=4,A1Q=AM=2， A1QP1Q=又容易证得△P1A1Q∽△A1PM，∴,可得A1M=8,可以求得PMA1MOK=4，即：K（4，0） （3） 存在 由题意，点G的横坐标为t-1，点H的横坐标为t-4，若GH为平行四边形的一条边，则DG=FH 22 / 23 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 ∴-（t-4）2+2（t-4）+3-2=-（t-1）2+2（t-1）+3 23解得：t= 6若GH为平行四边形的一条对角线，则DG=FH ∴-（t-4）2+2（t-4）+3=-（t-1）2-2（t-1）-3+2 解得t= 7±3 223 / 23 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容