一、相似
1．如图①，已知直线l1∥l2 ， 线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB＝BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2 ， l1于点D，E(点A，E位于点B的两侧，满足BP＝BE，连接AP，CE．
（1）求证：△ABP≌△CBE．
（2）连接AD、BD，BD与AP相交于点F，如图②． ①当 时，求证：AP⊥BD；
②当
(n＞1)时，设△PAD的面积为S1 ， △PCE的面积为S2 ，【答案】（1）证明：BC⊥直线l1 ， ∴∠ABP＝∠CBE． 在△ABP和△CBE中，
（2）①证明：如图，延长AP交CE于点H．
∵△ABP≌△CBE， ∴∠PAB＝∠ECB，
∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°， ∴∠AHE＝90°， ∴AP⊥CE． ∵
，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2 ，
∴△CPD∽△BPE，
求 的值．
∴
∴DP＝EP．
，
∴四边形BDCE是平行四边形，∴CE∥BD． ∵AP⊥CE，∴AP⊥BD． ②解：∵ ∵CD∥BE， ∴△CPD∽△BPE， ∴
． ，∴BC＝nBP，
∴CP＝(n－1)BP．
令S△BPE＝S，则S2＝(n－1)S， S△PAB＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S． ∵
∴S1＝(n＋1)(n－1)S， ∴
．
，
【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得△ABP≌△CBE；
（2）①、延长AP交CE于点H，由（1）知△ABP≌△CBE，所以可得∠PAB＝∠ECB，而∠∠ECB+∠BEC=
，所以可得∠PAB+∠BEC=
，即∠AHE=
，所以AP⊥CE；已知
=2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD，由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE∥BD，再根据平行线的性质即可求得AP⊥BD；
②方法与①类似，由已知条件易证得△CPD∽△BPE，则可得对应线段的比相等，然后可将△PAD的面积和△PCE的面积用三角形BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。
2．已知，如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，且AO＝CO，BC＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P是抛物线第一象限上一点，连接PB交y轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段OQ长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）在(2)的条件下，过点Q作直线l⊥y轴，在l上取一点M(点M在第二象限)，连接AM，使AM＝PQ，连接CP并延长CP交y轴于点K，过点P作PN⊥l于点N，连接KN、CN、CM．若∠MCN＋∠NKQ＝45°时，求t值． 【答案】（1）解：如图1，
当x=0时，y=3， ∴A（0，3）， ∴OA=OC=3， ∵BC=4， ∴OB=1，
∴B（﹣1，0），C（3，0），
把B（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中得：
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）解：如图2，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3）， 过P作PG⊥x轴于G， ∵OQ∥PG， ∴△BOQ∽△BGP， ∴ ∴ ∴d=
d=﹣t+3（0＜t＜3）
，
，
（3）解：如图3，连接AN，延长PN交x轴于G，
由（2）知：OQ=3﹣t，OA=3， ∴AQ=OA﹣OQ=3﹣（3﹣t）=t， ∴QN=OG=AQ=t，
∴△AQN是等腰直角三角形， ∴∠QAN=45°，AN= ∵PG∥OK， ∴ ∴ OK=3t+3， AK=3t，
∵∠QAN=∠NKQ+∠ANK，。 ∴∠NKQ+∠ANK=45°， ∵∠MCN+∠NKQ=45°， ∴∠ANK=∠MCN， ∵NG=CG=3﹣t，
∴△NGC是等腰直角三角形， ∴NC=
（3﹣t），∠GNC=45°，
∴∠CNH=∠NCM+∠NMC=45°， ∴∠NKQ=∠NMC， ∴△AKN∽△NMC， ∴
， ，
， t，
∵AQ=QN=t，AM=PQ，
∴Rt△AQM≌△Rt△QNP（HL）， ∴MQ=PN=﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）=﹣t2+3t， ∴
t2﹣7t+9=0， t1=
＞3，t2=
， ，
∵0＜t＜3，
∴t1＞3，不符合题意，舍去， ∴t=
．
【解析】【分析】（1）根据函数图像与坐标轴交点的坐标特点，得出A点的坐标，再根据点到坐标轴的距离得出OA=OC=3，又BC=4，从而得出OB的距离，进而得出B,C两点的坐标，再将B,C两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3中得出一个关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）过P作PG⊥x轴于G，根据P点的横坐标得出P点坐标设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，得出
△BOQ∽△BGP，根据相似三角形对应边成比例得出OQ∶PG=OB∶BG,从而得出d关于t的函数关系式；
（3）连接AN，延长PN交x轴于G，由（2）知：OQ=3﹣t，OA=3，从而得AQ=OA﹣OQ=3﹣（3﹣t）=t，进而得QN=OG=AQ=t，从而判断出△AQN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出∠QAN=45°，AN=
t，根据平行线分线段成比例得出
PG∶OK=CG∶OC,故OK=3t+3，AK=3t，根据等式的性质得出∠ANK=∠MCN，判断出△NGC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出NC=
（3﹣t），∠GNC=45°，再判
断出△AKN∽△NMC，根据相似三角形对应边成比例得出 A K ∶M N = A N ∶N C ，再利用HL判断出Rt△AQM≌△Rt△QNP，故MQ=PN=﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）=﹣t2+3t，从而得出关于t的方程，求解并检验即可得出答案
3．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， =________；②当α=180°时， =________． （2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 【答案】（1）
；
（2）解：如图2，
，
当0°≤α＜360°时， 的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB，
又∵
，
∴△ECA∽△DCB， ∴
（3）解：①如图3，
，
∵AC=4 ∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC= P，
．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点
，CD=4，CD⊥AD，
，
∵AC= ∴AD=
∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE=
∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得
，
=2，
，CD=4，CD⊥AD，
，
∴BD=
．
综上所述，BD的长为 或
．
【解析】【解答】（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=
∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴ ∴
②如图1，
,BD=8÷2=4， ．
，
，
当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵ ∴
，
【分析】（1）①当α=0°时，Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；②如图1，当α=180°时，根据平行线分线段成比例定理得出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。
（2）当0°≤α＜360°时， A E∶ B D 的大小没有变化，由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB，进而得出∠ECA=∠DCB，又根据EC∶DC=AC∶BC=
,根据两边对应成比例，及夹角相等的三
;
角形相似得出△ECA∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=
（3）①如图3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=
；②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线
交AC于点P，在Rt△ADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的长，根据AE=AD-DE算出AE的长，由（2），可得AE∶BD=
,从而得出BD的长度。
4．在正方形 垂直．
中， ，点 在边
的平行线交射线
上， ，点 是在射线 上，使
上的
一个动点，过点 作 于点 ，点 在射线 始终与直线
（1）如图1，当点 与点 重合时，求 的长；
（2）如图2，试探索：
的比值是否随点 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的
理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图3，若点 在线段 上，设 出它的定义域．
，
，求 关于 的函数关系式，并写
【答案】（1）解：由题意，得 在Rt△ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴
∴ 中，
,
∵ ∴△ ∴ ∴ ∴
∽△
（2）解：答： 的比值随点 的运动没有变化 理由：如图，
∵ ∥ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴△ ∴ ∵ ∴
∽△ ，
,
∴ 的比值随点 的运动没有变化,比值为
（3）解：延长 交 的延长线于点
∵ ∥ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴
∵ ∥ , ∴ ∥ ∴ ∵ ∴ 又
∥
,
,
∴ ∴
它的定义域是
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出 A B = B C = C D = A D = 8 , ∠ C = ∠ A = 90 °，在Rt△ B C P 中，根据正切函数的定义得出tan ∠ P B C = P C ∶B C，又 tan ∠ P B C =，从而得出PC的长，进而得出RP的长，根据勾股定理得出PB的长，然后判断出△ P B C ∽△ P R Q，根据相似三角形对应边成比例得出PB∶RP=PC∶PQ,从而得出PQ的长； （2）RM∶MQ的比值随点 Q 的运动没有变化,根据二直线平行同位角相等得出∠ 1 = ∠ A
B P , ∠ Q M R = ∠ A，根据等量代换得出∠ Q M R = ∠ C = 90 °，根据根据等角的余角相等得出∠ R Q M = ∠ P B C ，从而判断出△ R M Q ∽△ P C B，根据相似三角形对应边成比例，得出PM∶MQ=PC∶BC,从而得出答案；
（3）延长 B P 交 A D 的延长线于点 N， 根据平行线分线段成比例定理得出PD∶AB=ND∶NA,又N A = N D + A D = 8 + N D ，从而得出关于ND的方程，求解即可得出ND，根据勾股定理得出PN，根据平行线的判定定理得出PD∥MQ,再根据平行线分线段成比例定理 得出PD∶MQ=NP∶NQ,又RM∶MQ=3∶4,RM=y，从而得出MQ=y,又 P D = 2 , N Q = P Q + P N = x +，根据比例式，即可得出y与x之间的函数关系式。
5．如图，Rt△AOB在平面直角坐标系中，已知：B（0， D.
），点A在x轴的正半轴上，
OA=3，∠BAD=30°，将△AOB沿AB翻折，点O到点C的位置，连接CB并延长交x轴于点
（1）求点D的坐标；
（2）动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿x轴的正方向运动，当△PAB为直角三角形时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，当△PAB为以∠PBA为直角的直角三角形时，在y轴上是否存在一点Q使△PBQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】 （1）解：∵B（0， ∴OB= ∵OA= ∴AC=3. ∵∠BAD=30°， ∴∠OAC=60°. ∵∠ACD=90°， ∴∠ODB=30°， ∴ =
， . OB，
），
∴OA=3，
∴OD=3， ∴D（﹣3，0）；
（2）解：∵OA=3，OD=3，∴A（3，0），AD=6， ∴AB=2
，当∠PBA=90°时.
∵PD=2t， ∴OP=3﹣2t. ∵△OBA∽△OPB， ∴OB2=OP•OA， ∴3﹣2t= ∴t= ；
=1，解得t=1，当∠APB=90°时，则P与O重合，
（3）解：存在.
①当BP为腰的等腰三角形. ∵OP=1，∴BP= ∴Q1（0，
+2），Q3（0.
=2， ﹣2）；
②当PQ2=Q2B时，设PQ2=Q2B=a， 在Rt△OPQ2中，12+（ ∴Q2（0，
）；
）
+2），Q2（0，
），Q3（0.
﹣
﹣x）2=x2 ， 解得x=
，
③当PB=PQ4时，Q4（0，﹣
综上所述：满足条件的点Q的坐标为Q1（0， 2），Q4（0，﹣
）.
【解析】【分析】（1）根据已知得出OA、OB的值以及∠DAC的度数，进而求得∠ADC，
即可求得D的坐标；（2）根据直角三角形的判定，分两种情况讨论求得；（3）求得PB的长，分四种情形讨论即可解决问题.
6．
（1）【探索发现】 如图1，是一张直角三角形纸片， 以
，小明想从中剪出一个
为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得
的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________. （2）【拓展应用】如图2，在 用含a、h的代数式表示 ；
（3）【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，
，小明从中剪出了一个面积最大的矩形
矩形的面积. 【答案】 （1） （2）解：
∽ ，可得
设
当
，由
时，
最大值为 .
于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P
， ，
，
，
，
，
，
为所剪出矩形的内角 ，直接写出该
中，
，BC边上的高
，矩形PQMN
的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值
（3）解：如图，过DE上的点P作 作
于点H，
则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形，
设 ，则 ， ，
， ， 知 ，得
，
，
，
由 即
∽
， ，
，
则矩形BGPH的面积
当
，
、ED为 ，
，
中位线，
时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.
【解析】【解答】（1）解：
，
又
，
四边形FEDB是矩形，
，
则
故答案为： ；
，
【分析】（1）由中位线知EF= BC、ED= AB、由 △APN∽△ABC知
，可得PN=a-
，设PQ=x，由S
可得；（2）由
PQMN=PQ•PN=
矩形
，据此可得；（3）结合图形过DE上的点P作PG⊥BC于点G，延长
GP交AE延长线于点I，过点P作PH⊥AB，设PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知
，据此求得EI=
，PH= 可得答案.
，再根据矩形BGPH的面积S=
7．
（1）问题发现：如图①，
正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF. ①写出线段CF与DG的数量关系； ②写出直线CF与DG所夹锐角的度数. （2）拓展探究： 如图②，
将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明. （3）问题解决 如图③，
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，O为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE的长的最小值.（直接写出结果）
【答案】 （1）①CF= （2）解：如图：
DG，②45
①连接AC、AF,在正方形ABCD中，延长CF交DG与H点，
∠CAD= ∠BCD=45 , 设AD=CD=a，易得AC=
a=
AD,
AG,
同理在正方形AEFG中，∠FAG=45 ,AF=
∠CAD=∠FAG, ∠1=∠3 又
∠CAD-∠2=∠FAG-∠2,
△CAF∽DAG,
=
,
CF=
DG;
∠5+∠6=45 ，
（1）中的结论仍然成立
②由△CAF∽DAG，
∠4=∠5，
∠ACD=∠4+∠6=45 , ∠5+∠6+∠7=135 ，
在△CHD中，∠CHD=180 -135 =45 ，
（3）OE的最小值为
.
【解析】【解答】（3）如图：
由∠BAC=∠DAE=90 ,可得∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE, 可得△BAD≌△CAE,
∠ACE=∠ABC=45 , 又
∠ACB=45 ,
∠BCE=90 ,即CE⊥BC,
根据点到直线的距离垂线段最短，
OE⊥CE时，OE最短，此时OE=CE,△OEC为等腰直角三角形， OC= AC=2,
由等腰直角三角形性质易得，OE=
OE的最小值为
.
DG;②45 ；(2)连接AC、AF,在正方形ABCD中，可得 CF=
DG，在△CHD中，∠CHD=180 -135 =45 ， ，
【分析】（1）①易得CF= △CAF∽DAG，
=
,
（1）中的结论是否仍然成立；（3）OE⊥CE时，OE最短，此时OE=CE,△OEC为等腰直角三角形，OC= AC=2,可得OE的值.
8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA ， CD为边作矩形ACDE ， 直线AB与直线CE ， DE的交点分别为F ， G ．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形． ①若点G为DE中点，求FG的长． ②若DG=GF ， 求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D ， 使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）①在正方形ACDE中，有DG=GE=6 在Rt△AEG中，AG= ∵EG∥AC ∴△ACF∽△GEF ∴ ∴ ∴
，
②如图1，在正方形ACDE中，AE=ED
∠AEF=∠DEF=45°， 又EF=EF，∴△AEF≌△DEF ∴∠1=∠2（设为x） ∵AE∥BC ∴∠b=∠1=x ∵GF=GD ∴∠3=∠2=x
在△dbf中，∠3+∠FDb+∠b=180° ∴x+（x+90°）+x=180°，解得x=30°
∴∠B=30°
∴在Rt△ABC中，BC=
（2）在Rt△ABC中，AB=
如图2，当点D在线段BC上时，此时只有GF=GD
∵DG∥AC ∴△BDG∽△BCA
设BD=3x，则DG=4x，BG=5x ∴GF=GD=4x，则AF=15-9x ∵AE∥CB， ∴△AEF∽△BCF ∴
∴
，即
解得x1=1，x2=5（舍去）
∴腰长GD=4x=4
如图3，当点D在线段BC的延长线上，且直线ABGF=Dg ，
设AE=3x ， 则EG=4x ， AG=5x ，
CE的交点在AE上方时，此时只有 ，∴FG=DG=12+4x ， ∵AE∥BC ∴△AEF∽△BCF ∴ ∴
，即x2=4
解得x1=2，x2=-2（舍去） ∴腰长GD=4x+12=20
如图4，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB ， EC的交点在BD下方时，此时只有DF=DG ， 过点D作DH⊥FG。
设AE=3x ， 则EG=4x ， AG=5x ， DG=4x+12 ∴FH=GH=DG·cos∠DGB= ∴GF=2GH= ∴AF=GF-AG= ∵AC∥DG ∴△ACF∽△GEF ∴
，
∴ 解得x1=
，即7x2=288cos ，x2=
（舍去）
∴腰长GD=4x+12=
如图5，当点D在线段Cb的延长线上时，此时只有DF=Dg，过点D作Dh⊥AG ，
设AE=3x ， 则EG=4x ， AG=5x ， DG=4x-12 ∴FH=GH=DG·cos∠DGB= ∴AF=AG−FG= ∵AC∥EG ∴△ACF∽△GEF ∴
∴ 解得x1=
，即7x2=288 ，x2=
（舍去）
∴腰长GD=4x-12=
，
综上所述，等腰△DFG的腰长为4，20，
【解析】【分析】（1）①此小题考查相似三角形的判定与性质；由正方形的性质可得AG//EG，则△ACF∽△GEF，即可得FG：AF=EG：AC=1:2，则只要由勾股定理求出AG即可；
②由正方形性的对称性，不难得出∠1=∠2，而由GF=GD可知∠3=∠2，在△BDF中，由三角形内角和为180度，不难求出∠b的度数，可知是一个特殊角的度数，从而求出BC即可；（2）因为BC=9，所以B是定点，动点是D，因为点D是直线BC上一点，随着点D的位置的变化，E和F点的位置也跟着变化；需要分类计论点D在线段BC上，点D在BC的延长线和点D在CB的延长线上，再逐个分析等腰三角形的存在性，根据相似三角形的
性及三角函数分析解答即可．
9．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3.
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式.
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于 的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由.
【答案】 （1）解：∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB＝4；
∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3
（2）解：连接DN.∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，
∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN， ∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP
（3）解：存在.理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝
，
∵S△ABD＝ AB•DN＝ AD•DB∴DN＝
，
∵△AMN∽△ABP，∴ （k2+1），
，即
＝ ，∴AN2＝AD2﹣DN2＝
当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1）， S△ABP＝ PB•AD＝ （4k+3）×4＝2（4k+3）， ∴
整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+ 当点P在B点下方时，
∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝ PB•AD＝ [﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）
，k2＝2﹣
，
∴
化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2， 综合以上所得，当k＝2±
或k＝﹣2时，△AMN的面积等于
【解析】【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DN.∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA证明△AMN∽△ABP；（3）存在.把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2−4k−2＝0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝−（4k＋3），解关于k的一元二次方程.
10．如图，已知一次函数y=﹣ x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.
（1）求线段AB的长度；
（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.
①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；
②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.
【答案】 （1）解：当x=0时，y=4， ∴A（0，4）， ∴OA=4，
当y=0时，- x+4=0， x=3， ∴B（3，0）， ∴OB=3，
由勾股定理得：AB=5
（2）解：①如图1，过N作NH⊥y轴于H，过M作ME⊥y轴于E，
tan∠OAB=
，
∴设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，
∴M（3x，-4x+4），
由旋转得：AM=AN，∠MAN=90°， ∴∠EAM+∠HAN=90°， ∵∠EAM+∠AME=90°， ∴∠HAN=∠AME， ∵∠AHN=∠AEM=90°， ∴△AHN≌△MEA， ∴AH=EM=3x，
∵⊙N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NG⊥x轴， ∴NG=OH， 则5x=3x+4， 2x=4， x=2，
∴M（6，-4）；
②如图2，由①知N（8，10），
∵AN=DN，A（0，4）， ∴D（16，16）， 设直线DM：y=kx+b，
把D（16，16）和M（6，-4）代入得：
，
解得：
，
∴直线DM的解析式为：y=2x-16， ∵直线DM交x轴于E， ∴当y=0时，2x-16=0， x=8， ∴E（8，0），
由①知：⊙N与x轴相切，切点为G，且G（8，0）， ∴E与切点G重合， ∵∠QAP=∠OAB=∠DCE，
∴△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应， 分两种情况：
i）当△DCE∽△QAP时，如图2，∠AQP=∠NDE， ∵∠QNA=∠DNF， ∴∠NFD=∠QAN=90°， ∵AO∥NE， ∴△ACO∽△NCE， ∴ ∴
∴CO= ， 连接BN， ∴AB=BE=5， ∵∠BAN=∠BEN=90°， ∴∠ANB=∠ENB， ∵EN=ND， ∴∠NDE=∠NED， ∵∠CNE=∠NDE+∠NED， ∴∠ANB=∠NDE， ∴BN∥DE， Rt△ABN中，BN= sin∠ANB=∠NDE= ∴ ∴NF=2 ∴DF=4
， ， ，
，
，
，
，
∵∠QNA=∠DNF， ∴tan∠QNA=tan∠DNF= ∴
，
，
∴AQ=20，
∵tan∠QAH=tan∠OAB= ∴5x=20， x=4，
∴QH=3x=12，AH=16， ∴Q（-12，20），
，
设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，
同理易得：直线NQ的解析式：y=- x+14， ∴P（0，14）；
ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，
∴∠APN=∠CDE， ∵∠ANB=∠CDE， ∵AP∥NG， ∴∠APN=∠PNE， ∴∠APN=∠PNE=∠ANB， ∴B与Q重合， ∴AN=AP=10， ∴OP=AP-OA=10-4=6， ∴P（0，-6）；
综上所述，△APQ与△CDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，-6）
【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB的长度；（2）①根据同角的三角函数得：tan∠OAB= 得x的值，计算M的坐标即可；
②如图2，先计算E与G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ与△CDE相似时，
，设EM=3x，AE=4x，则
AM=5x，得M（3x，-4x+4），证明△AHN≌△MEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可
顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：
i）当△DCE∽△QAP时，证明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO= tan∠QNA=tan∠DNF=
，AQ=20，则tan∠QAH=tan∠OAB=
，根据三角函数得：
，设QH=3x，
AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；
ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）.
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F.
（1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接DG，若AC∥EF时. ①求证：△KGD∽△KEG； ②若
，AK=
，求BF的长.
【答案】 （1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK，
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH， 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG， ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°， ∴∠KGE+∠OGA=90°， ∴EF是⊙O的切线.
（2）解：①∵AC∥EF，∴∠E=∠C， 又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD，
又∠DKG=∠CKE， ∴△KGD∽△KGE. ②连接OG，如图所示.∵ 设
，∴
，AK= ，
， ，则
KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k. 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2 ， 即
，
，
，
，则
，
设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k， 由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ， 在Rt△OGF中， ∴
，∴
，∴
，
【解析】【分析】（1）连接OG.根据切线的判定，证出∠KGE+∠OGA=90°，故EF是⊙O的切线.（2）①证∠E=∠AGD，又∠DKG=∠CKE，故△KGD∽△KGE.②连接OG. 设
，
，
，则
，
，在Rt△AHK中，根据勾股定
理得AH2+HK2=AK2 ， 即
；在Rt△OGF中，
；由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ，
，
，
12．如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
（1）【问题引入】 若点O是AC的中点，
，求 的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
（2）【探索研究】
若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证： （3）【拓展应用】
如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若
，
，求 的值．
；
【答案】 （1）解：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.∵ON∥AG，∴
.∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴NG＝CN.∵MN∥AG，∴ .
（2）解：证明：由(1)可知 ，
，∴
=1
，∴
（3）解：在△ABD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB，BD的延长线分别相交于点F，C.由(2)可得 交于点E，B.由(2)可得
【解析】【分析】（1）作AG∥MN交BN延长线于点G,证△ABG∽△MBN得 即
,同理可证△ACG∽△OCN得 进行求解,
(2)由
,
可知:
, 在△ACD中有
,
,
,
.在△ACD中，过点P的直线与AC，CD的延长线分别相
,结合AO=CO,得NG=CN,从而由
(3)由(2)可知,在△ABD中有
从而 ,因此可得:
.
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