一道组合数化简题的多解思维

邸银山

【期刊名称】《高中数理化》 【年(卷),期】2017(000)014 【总页数】1页(P10) 【作 者】邸银山

【作者单位】甘肃省秦安县第一中学 【正文语种】中 文

例 已知n,k∈N*,且k≤n,化简:

思路1 由于与组合数有关的和式化简问题,往往可借助倒序求和加以巧解,所以本题需要先对变形处理,以便创设有利情境. 解法1 (倒序求和法) 因为所以 设则

又注意到将以上两式相加可得 所以S=(n+1)·2n-2.故所求

上述求解过程的关键是化简得到后，利用倒序求和法.关于这个表达式的化简,还可以利用导数法. 所以求导得取x=1,得

思路2 在方法1中给出了结论又注意到k=(k-1)+1,所以灵活运用该结论可将拆为两数之和的形式,以便重组化简原式. 解法2 (拆项重组法) 因为

所以等式成立.接下来,充分利用该结论即可顺利获解. 因为当k≥2时,有 故

上述求解过程的关键是充分利用结论将分拆为当k≥2时),以便灵活运用重组法及组合数恒等式加以化简.

思路3 由于化简式与二项式(1+x)n的展开式的外在结构比较接近,所以可考虑求导知识及赋值法在解题中的灵活运用. 解法3 (导数法) 因为 两边求导得 两边同乘x得

再进行两边求导得 n(nx+1)(1+x)n-2= 对上式取x=1,得

一般地,设函数f(x)=(ax+b)n,n∈N*,则由二项式定理可知

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn.于是,借助求导、赋值的处理技巧可得许多有趣的结论.例如:求导得

f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1, 取x=1,则有a1+2a2+3a3+…+nan=f′(1); 取x=-1,则有

将式①两边同乘x得 xf′(x)=a1x+2a2x2+3a3x3+…+nanxn,求导得 因为[xf′(x)]′=f′(x)+xf″(x),取x=1,则

按照这样的处理思路(乘x、求导、赋值),有兴趣的读者还可以继续探究.

综上,不同的思维切入点,往往可获得不同的解题体验,真可谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”!