维普资讯 http://www.cqvip.com 广西教育学院学报 ２００２年第３期 白控系统穿越频率的一种通用求法 张义民 （平顶山师专科研处，河南平顶山４６７００２） 摘要：以自动控制系统的开环对数幅频是曲线的斜率为桥梁，给出一种求解系统穿越频率 的通用方法。 关键词：斜率穿越频率交换频率相位裕量 ｌ中图分类号ｌ ＴＰ ２ ｌ文献标识码ｌ Ａ ｌ文章编号ｌ １００６—９４１０（２００２）０３—００６２—０３ 自动控制系统的动态能用其开环频域指标一穿越频率（∞ ）和相应裕量（Ｙ）来衡量，其中穿越 频率反映了系统的快速性，相位裕量反映了系统的稳定性。而相位裕量又需由穿越频率求得，即Ｙ—ｎ ＋ （∞ ）。因此，求解穿越频率是分析一个自动控制系统的关键环节。 目前关于自动控制原理方面的书籍，在利用系统的开环对数幅频特性求解穿越频率时，都是直接给出一 个公式。由于自动控制系统种类繁多，因此，求解穿越频率的公式也五花八门” ，许多初学者往往因记不 住这些公式而苦恼，。这里介绍—种通用的求解穿越频率的方法。 这种方法是以系统开环对数幅频曲线斜率为桥梁，引出有关各段的方程式，联立求解，即町求得穿 越频率∞ 。 具体求解步骤如下： １．找出其对应分贝值为已知的与穿越频率∞ 最接近的频率∞ 一２．从∞．．开始，将∞．．一∞ 之间的交接频率依次标为∞．、∞：、∞ ……； ’３．列出开环对数幅频曲线在∞。．与∞ 之间各段的方程式。这些方程式的等号左边为求解该斜率的表 达式，右边为斜率值，方程式的个数为∞．．与∞ 之间的交接频率数个加ｌ。例如∞．．与∞ 之间有两个交接频 率：∞ 和∞：，若∞ ∞。，∞．～∞：和∞：～∞ 段的斜率分别为ｋｌ，ｋｌ和ｋ１．则可列出３个方程式： （（１）０）一Ｌ（（１）Ｉ） ， ∞ Ｉ ｌｇｏ ｏ—ｌｇｏ Ｉ ４Ｏ １ （（１）Ｉ）一 （（１）２） ， ２０ ｌｇｏ Ｉ—ｌｇｏ ２ ‘ １ ＼ ６ ＼ １５０ Ｏ 一 （（１）２）一 （（１） ） ， 。２０ ：…。（２０ｄＢ／Ｉ）Ｌｄｅｃ－＇ｋ ｏ／ ｒａｄ・ ｌｇｏ ２一ｌｇｏ 一 …… 。４０ 图１例１中系统的开环对数幅频特性 ６２ 维普资讯 http://www.cqvip.com 然，最后一个方程式中Ｌ（６０ ）＝０ ４．将所列方程式联立起来，解出６０ 。 下面举例说明： 例ｌ已知典ＩＩ系统的开环对数Ｉ晤频特性 如图１所示，求该系统的穿越频率∞ 。 解：由图中可知Ｌ（１）＝４０ｄＢ，所以有 ６０ ＩＩ：ｌｒａｄ／ｓ Ｌ（６ａＩＩ）＝４０ｄＢ 由图ｌ可知，６０．，与６０ 之问只一个交接频率６０。＝６ｒａｄ／ｓ，所以可列出两个方程式。６０ ～６０。段曲线 的斜率为－－４０ｄＢ／ｄｅｃ，则 ！ 二 ｌｇｏ ｌ—ｌｇｏ。 ：一４０ ［￣ｌＪＬ（６０Ｉ）－－Ｌ（６０ＩＩ）＝一４０Ｉｇ ６０ｌ＋４０１ｇ ６０Ｉ－ ６０。～６０ 段是曲线的斜率是为－－２０ｄＢ／ｄｅｃ，则 ￡（（１） ）一￡（（１）Ｉ） ｌｇｏ 一ｌｇｏ ＝一２０ 其中Ｌ（６０ ）＝０ Ⅱｌ】一Ｌ（ １）：一２０Ｉｇ￣＋２０１ｇ ｌ （２） 由（１）、（２）得：Ｌ（６０ ）＝２０ Ｉ ｇ—Ｔ（１）０ （３） 将６０。ｌ＝ｌ ｒａｄ／ｓ，Ｌ（６０。．）＝４０ｄＢ， Ｉ＝６ｔａｄ／ｓ代入（３），解得 ６０ ＝ｌ６．７ｒａｄ／ｓ 例２ 已知某随动系统是的开环传递函数为 Ｇ㈤： 求该系统的相位稳定裕量Ｙ。 解：Ｇ㈤： 而 ，故 Ｋ＝２８．６ 。‘２一２０１ｇＫ＝２９．ｈｉ Ｂ １ Ｉ Ｉ ㈣ 而 ∞ Ⅳ ６３ 维普资讯 http://www.cqvip.com 于是，该系统的开环对数幅频率曲线如图２所 。 由于Ｌ（Ｉ）＝２０１ｇＫ＝２９．ＩｄＢ，故有 ・，一Ｉ ｒａｄ／ｓ Ｌ（ ・，） ２９・ＩｄＢ 笔 由图２可知， ”与 ｃ之问只的一 三 ３０ －２０ｄＢ／ｄｅｃ ＼ 个交接频率（＾）Ｉ一５ｒａ【Ｉ／ｓ， ２０ ４０ｄ （ｏ ｄＩｓ ∞．，～ 。段和 。～ 段曲线的斜率 １０ 一０】ｕ（ｏ ＼０Ｊ 一 ０分）Ｊ ＪＪ－２０和－－４０ｄＢ／ｄｅｃ． 经过和例ｌ类似的计算 ＼ ～ ｌｏ０ 一 －ｚ ｚ ＯＣ １【＾Ｊ Ｏ 一 把（＾）．，＝Ｉ ｒａｄ／ｓ，Ｌ（（＾）．，）＝２９．ＩｄＢ，（＾）Ｉ ＝５ｒａｄ／ｓ代入可得 （＾） 一Ｉ２ｒａｄ／ｓ 所以相位稳定裕量 Ｙ＝１８０。－－９０ ｔｇ－’Ｔｍ（＾）ｃ－－ｔｇ－’Ｔ、（＾） ＝１８０ －－９０ －ｔｇ’０．２×１２－－ｔｇ’０．０１×１２＝１５．８０ 从上面两个例子可以看出，只要找到一个对应分贝值为已知的频率，就可求得穿越频率，求解的关 键足列ｆ｛Ｉ 之问的各段的斜率方程式。 这种求解穿越率的方法易懂、易记，其中的计算也很简单，且适用于 种自控系统。 另外，从例２也可以看出，若已知穿越频率，也可以根据系统开环对数幅频曲线的斜率，反过米求出 系统的开环增益，这里不再赘述。 参考文献： …孔凡才・自动控制原理与系统机械工业出版社Ｉ９８７ Ｉ１２一ｌ Ｉ６ Ｉ２Ｉ夏德钤・自动控制理论机械工业出版社Ｉ９９６ ｌ４３一ｌ５６ Ｉ３Ｉ姜泓・自动控制理论机械Ｔ业 版社Ｉ９９４ ９０—１０５ 智兴・自动控制 论机械工业ｊＪｊ版社Ｉ９８７ ２０４—２３９ Ｉ５Ｉ涂植英何均正・自动控制理论 重庆人学ｌＪＩ版社１９９４ １５４—１５５ 【基金项目】河南省自然科学基金项目 ６４