巴彦淖尔市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

巴彦淖尔市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

11ann，则此数列的第4项是（ ） 22135A．1 B． C. D．

2481． 已知数列{an}的首项为a11，且满足an12． 以椭圆

+

=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为

=

，则

﹣S

（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足（ ） A．2

B．4

C．1

D．﹣1

3． 已知Py）（x，为区域A．6

B．0

C．2

D．2

z=2x﹣y的最大值是 内的任意一点，当该区域的面积为4时，（ ）

4． 拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（ ） A．4 C．8

5． 给出下列两个结论：

B．6 D．10

①若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；

②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；

则判断正确的是（ ） A．①对②错 6．

B．①错②对

C．①②都对

D．①②都错

+（a﹣4）0有意义，则a的取值范围是（ ）

C．a≠2 D．a≠4

+x）=f（﹣x），则f（

）=（ ）

A．a≥2 B．2≤a＜4或a＞4

7． 若函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（A．2或0

B．0

C．﹣2或0 D．﹣2或2

=，

．．是平面

8． 如图，已知平面

，，，

体积的最大值是（ ）

是直线上的两点，上的一动点，且有

是平面内的两点，且，则四棱锥

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A． B． C． D．

9． 设x，y满足线性约束条件的值为（ ） A．2

B．

C．

D．3

，若z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a

10．若a＞0，b＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

11．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）

A．92% A．1

B．2

B．24% C．3

D．4

C．56% D．5.6%

12．数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+2，a5+3构成公比为q的等比数列，则q=（ ）

二、填空题

13．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．

B．

C．

，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成

D．

14．如图所示，在三棱锥C﹣ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是 ．

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15．已知函数f（x）=围是 ．

，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范

16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示． x 0 4 5 ﹣1 f（x） 1 2

2

1 下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）的极大值点为0，4； ②函数f（x）在[0，2]上是减函数；

③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；

⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．

17．fx）+∞）f2）=0，flog8x）定义在R上的偶函数（在[0，上是增函数，且（则不等式（＞0的解集是 ．

18．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7．

三、解答题

19．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法 知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：

甲单位 87 88 91 91 93 乙单位 85 89 91 92 93 第 3 页，共 19 页

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（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位对法律知识的 掌握更稳定；

（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的 分数差至少是4的概率.

20．本小题满分12分 设函数f(x)exalnx Ⅰ讨论f(x)的导函数f'(x)零点个数; Ⅱ证明:当a0时,f(x)2aalna

21．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．

（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记fx）fx）=ax2+bx+c与g=ax2+bx+c•lnx′x0）直线AB的斜率为k若（满足k=f（，则称其为“K函数”．判断函数（（x）是否为“K函数”？并证明你的结论．

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22．本小题满分10分选修44：坐标系与参数方程选讲

2x3t2在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长y52t2度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，圆C的方程为25sin． Ⅰ求圆C的圆心到直线的距离；

Ⅱ设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求PAPB．

23．已知函数f（x）=|x﹣a|．

（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值． （2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．

24．已知：函数f（x）=log2

，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．

（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；

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（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

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巴彦淖尔市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

2． 【答案】 A

【解析】解：∵椭圆方程为

+

=1，

∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣∴双曲线方程为

，

设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0）， ∵=，

∴

=，

整理得：

=5，

化简得：5x=12y﹣15， 又∵，

∴5

﹣4y2

=20，

解得：y=或y=（舍），

∴P（3，），

∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0， ∴点M到直线PF1的距离d=

=1，

第 7 页，共 19 页2，0），

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易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，

结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心． 故

﹣

=

=

=2，

故选：A．

【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．

3． 【答案】A 解析：解：由

作出可行域如图，

由图可得A（a，﹣a），B（a，a）， 由

∴A（2，﹣2），

化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，

∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6． 故选：A． 4． 【答案】

x2y2p

【解析】解析：选D.双曲线C的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，

222

，得a=2．

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∴p＝4，即拋物线方程为y2＝8x， 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

2

y＝8x由，解得 x＝0（舍去）或x＝8，则P到E的准线的距离为8＋2＝10，故选D.

xy＝±

5． 【答案】C

【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．

②根据逆否命题的定义可知②正确． 故选C．

【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．

6． 【答案】B 【解析】解：∵∴

，

+（a﹣4）0有意义，

解得2≤a＜4或a＞4． 故选：B．

7． 【答案】D

【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ）， ∵f（

+x）=f（﹣x），

=

，

可知函数的对称轴为x=

根据三角函数的性质可知， 当x=∴f（

时，函数取得最大值或者最小值． ）=2或﹣2

故选D．

8． 【答案】A

【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】由题知：是直角三角形，又因为，所以PB=2PA。 作于M，则。 令AM=t，则

，所以

。

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所以

又底面为直角梯形，所以

故答案为：A 9． 【答案】B

即为四棱锥的高，

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z， ∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0． 平移直线y=ax﹣z，

由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．

当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件． 此时a=． 故选：B．

10．【答案】C

【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1， ∴y=+=（a+b）∴y=+的最小值是4． 故选：C．

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

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=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．

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11．【答案】C

【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为 0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率（不小于80分）为56% 故选C

【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是

12．【答案】A

．

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d， 由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，

2

得：（a3+2）=（a1+1）（a5+3）， 2

整理得：a3+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3

2

即（a1+2d）+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3． 2

化简得：（2d+1）=0，即d=﹣．

∴q===1．

故选：A．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．

二、填空题

13．【答案】 则DM∥C1B1，

【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM， 在在直三棱柱中，∠ACB=90°， ∴DM⊥平面AA1C1C，

则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角， 则DM=，AD=

=

=，

则tan∠MAD=．

法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，

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则∵AC=BC=1，侧棱AA1=∴

=（﹣，，﹣

），

，M为A1B1的中点，

=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量

设AM与平面AA1C1C所成角为θ， 则sinθ=|则tanθ= 故选：A

|=

【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．

14．【答案】 30° ． 【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG故∠GEF即为EF与CD所成的角． 故答案为：30°

DC=2，GF

AB=1，

又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．

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【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．

15．【答案】 （0，1） ．

【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：

令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点， 即方程f（x）=k有三个不同的实根， 故答案为（0，1）．

【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．

16．【答案】 ①②⑤ ．

【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；

因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；

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由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，

根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，

综上正确的命题序号为①②⑤． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．

17．【答案】 （0，

）∪（64，+∞） ．

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2）， 又f（x）在[0，+∞）上为增函数， ∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2， ∴x＞64或0＜x＜

．

}

即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜故答案为：（0，

）∪（64，+∞）

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．

18．【答案】 ＞

x

【解析】解：∵y=3是增函数， 又0.8＞0.7，

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0.80.7∴3＞3．

故答案为：＞

【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．

三、解答题

19．【答案】（1）x甲90,x乙90,s甲【解析】

试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.

22421,s乙8，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）. 5290，x乙（8589919293）90 试题解析：解：（1）x甲（8788919193）124[(8790)2(8890)2(9190)2(9190)2(9390)2] 5512s乙[(8590)2(8990)2(9190)2(9290)2(9390)2]8

5248，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分） ∵5 s甲21515考

点：1.平均数与方差公式；2.古典概型． 20．【答案】

【解析】：Ⅰf'(x)exa，因为定义域为(0,)， xaxxx有解 即xea有解. 令h(x)xe，h'(x)e(x1)， x当x0,h'(x)0,h(0)0h(x)0 f'(x)0ex所以，当a0时，f'(x)0,无零点； 当a0时，有唯一零点.

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Ⅱ由Ⅰ可知，当a0时，设f'(x)在(0,)上唯一零点为x0， 当x(x0,),f'(x)0，f(x)在(x0,)为增函数；

aex0x0a x0aaaaf(x0)ex0alnx0alnx0a(lnax0)ax0alna2aalna

x0ex0x0当x(0,x0)，f'(x)0,f(x)在(0,x0)为减函数.

ex021．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数， 则有g′（x）=2ax+b+=

＞0；

2

从而有2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；

2

又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，

故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

22

（Ⅱ）函数f（x）=ax+bx+c是“K函数”，g（x）=ax+bx+c•lnx不是“K函数”， 2

事实上，对于二次函数f（x）=ax+bx+c，

k=

又f′（x0）=2ax0+b， 故k=f′（x0）；

=a（x1+x2）+b=2ax0+b；

2

故函数f（x）=ax+bx+c是“K函数”； 2

对于函数g（x）=ax+bx+c•lnx，

不妨设0＜x1＜x2，则k=

=2ax0+b+；

而g′（x0）=2ax0+b+

；

故=，化简可得，

=；

设t=，则0＜t＜1，lnt=；

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设s（t）=lnt﹣则s（t）=lnt﹣故s（t）＜s（1）=0； 则lnt≠

；

；则s′（t）=＞0；

是（0，1）上的增函数，

2

故g（x）=ax+bx+c•lnx不是“K函数”．

【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】Ⅰ∵C:25sin ∴C:225sin ∴C:x2y225y0，即圆C的标准方程为x2(y5)25． 直线的普通方程为xy530． 所以，圆C的圆心到直线的距离为0553222x1x2x(y5)5Ⅱ由，解得或

y52y51yx53所以 23．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）≤m， ∴|x﹣a|≤m， 即a﹣m≤x≤a+m，

∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}， ∴

，解得a=2，m=3．

32 ． 2|PA||PB|(31)2(552)2(32)2(551)232（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，

则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|． 当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾． 当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0

，成立．

当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立． 综上不等式的解集为（﹣∞，

]．

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．

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24．【答案】

+2x，

【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2=log2（1﹣∵y=1﹣

）+2x；

在（1，+∞）上是增函数，

故y=log2（1﹣

）在（1，+∞）上是增函数；

又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数； ∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增； 而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0， h（2）=﹣log23+4＞0；

同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；

故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点， 故函数h（x）有两个零点；

（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为 1﹣故a=结合函数a=

＜a＜0；

即﹣1＜a＜0．

=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；

；

的图象可得，

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【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．

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