四点共圆模型

共圆模型

模型1 共端点，等线段模型

OA图①CBAOCBOA图③CB图②

如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．

如图②，若OA＝OB＝OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．

11如图③，常见结论有：∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC.

22模型分析

∵OA＝OB＝OC.

∴A、B、C三点到点O的距离相等．

∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．

∵∠ACB是AB的圆周角，∠AOB是AB的圆心角，

1∴∠ACB＝∠AOB.

21同理可证∠BAC＝∠BOC.

2（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．

（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例

如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD．

求证：∠1＋∠2＝90°.

A1CD2B

证明

EA1C图①DA1C图②D2B2B

证法一：如图①，

∵AB＝AC＝AD． ∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙A上． ∴∠ABC＝∠2. 在△BAC中，∵∠BAC＋∠ABC＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②，

∵AB＝AC＝AD．∴∠BAC＝2∠1．∵AB＝AC， ∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙O上． 延长BA与圆A相交于E，连接CE． ∴∠E＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE.

∵BE为⊙A的直径，∴∠BCE＝90°． ∴∠2＋∠ACE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°. 小猿热搜

1．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点 D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E．求证：∠1＝∠2．

ADE2PBCP1DE2BA1C

证明

∵A、D关于AP轴对称，∴AP是BD的垂直平分线． ∴AD＝AB，ED＝EB．又∵AB＝AC.

∴C、B、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．

∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD. ∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB. ∴∠1＝∠2.

2．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长．

DCCDEABAB

解答

以A为圆心，以a为半径作圆，延长BA交⊙A于E点，连接ED． ∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA. ∵AC＝AD， ∴∠DCA＝∠CDA. ∴∠DAE＝∠CAB.在△CAB和△DAE中． ADACDAECAB AEAB∴△CAB≌△DAE. ∴ED＝BC＝b ∵BE是直径，∴∠EDB＝90°. 在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，

∴BD＝BE2ED2＝2a2b2＝4a2b2．

模型2 直角三角形共斜边模型

模型分析

如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB， ∴A、B、C、D四点共圆．

（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；

（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一． 模型实例

例１ 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问： （１）图中有多少组四点共圆？ （２）求证：∠ADF＝∠ADE．

解答

（１）６组

①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处； ②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处； ③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处； ④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处； ⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处； ⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．

（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1. 同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１. ∴∠ADF＝∠ADE．

例２ 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外 角平分线于点F，求证：FE=DE.

解答

如图，连接DB、DF.

∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线， ∴∠CBF=45°，∠DBC=45°， ∴∠DBF=90°． 又∵∠DEF=90°，

∴D、E、B、F四点共圆． ∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）． ∴△DEF是等腰直角三角形． ∴FE=DE．

1.如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FGBC

AEDFB证明：由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴∠DBC=∠DEG，

同理，Rt∠EDF与Rt△DGE共斜边DE， ∴D、E、F、G四点共圆． 于是∠DEG=∠DFG， 因此，∠DBC=∠DFG． 于是FG∥BC

2. 如图， BE.CF为△ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：AD⊥BC.

GC

AFHB

EDC

3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.

APDRQBC

4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.

ADEB

THC

证明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°， ∴D，E，H在以AT为直径的圆上， ∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE， 又∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC， ∴∠ATD=∠ATE， ∴∠AHD=∠AHE．

补充：

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