高级微观经济学习题

高级微观经济学习题

uA(xA,xB,yA)xA.yAxB习题1,,xAxBx,yAyBy （1）

uB(xB,xA,yB)xB.yBxA求满足帕累托效率需要满足下列两个条件：

(1.1)

uAxAuBxAuBxBuAxBuu (2) AyAuByBuByBAyA(1.2)uAxA.uBxBuBxA.uAxB0 (3) 其中根据（1）式：

uAxA12x0.50.5y10.50.5AxB，uAA2xBxA，uAyB1，uByA1，

uByB10.50.52xByB

根据上述五个式子计算条件（2）和（3）：

11ux0.5x0.5AxA2ux0.5x0.5BxBuyAAyA,

Au2BByBA1x0.5x0.5xByB12AAAx0.52Bx0.5xBBuBxAu12xB, uAxB12xA,

ByB1y0.52Bx0.5yBBuAyA12y0.5Ax0.5yAA首先计算第一个条件：

uAxAuBuyxAuBxBuAxB AAuByBuByBuAyA将上述四个式子带入上述条件，有

yA2xByBxx2A， AyBxByA移项后并在两边同加1，yAx2xA1yB2xB1， AyAxByB 有(xA1)2(xB1)2，——>xAxB或xAxxyAyByAyBy ByABy

,

再看第二个条件：

uAxA.uBxBuBxA.uAxB0，将前面的计算结果带入这个条件：

10.50.510.50.51xAyA10，即有xByB224根据第一个条件推出的结论：yAyBxAxB10，

yAyBxAxB1xAxBx所以，

4yAyBy10可以表示为

1y10，4x此时第二个条件成立，帕累托效率存在。

2hi习题2 一个班有I个学生，每个学生i花h小时学习，成本为

2，收益为(hih

)，(i)hh

可导，凹函数，'(帕累托均衡？

hi1)0，满足稻田条件lim'(h)，hihi，求纳什均衡和

h0Ih1.纳什均衡解的思路：求一个人的最优解时，将其他人给定为最优解固定不变，即h。在该题中由于考虑到天赋无差别，行为人之间完全对称，所以hi都相同：

*h1h2h3.....hih*

hihi2求收益最大化：maxi()

2h求纳什均衡时应写为：

hihi2

maxi()2hiI1*hII

FOC：对hi求导，有：

hiI1*hihhiIIIh0 i'()*ihiI1*hiI1*2h(h)IIIII1*hhiI得：hii'( )*hiI1*hiI1*2h(h)IIII

将h1h2h3.....hih*带入上式得：h*i'(1)I1 I2.解帕累托均衡：在该均衡中，每个人都相同，所以有h1h2h3.....hih*，

h*h*2带入收益最大化公式有：maxi(*)

2hh**Foc，对h求导：'i(*)h*0，得ho。

h*也就是在帕累托均衡中，每个人的努力都为0，因为一旦有人学习会给别人造成负外部性。在该均衡并不稳定，如果有人稍微学习，就可以获得正的收益。比如一个人学习时间为，

2hihi2i()收益为i()，所以始终存在某些正值，使得只要偏离均衡就有22h获得正收益的机会。

习题3：下面的三个题根据林达尔-萨缪尔森条件：

MRSiyxiMRTSyv，即

iuiy1推导 uxf'(v)iii（1）uiilnylnxi,yv 解：根据林达尔-萨缪尔森条件

uiy1， uxf'(v)iiiuiyiy，uixix1，所以均衡条件为ii1yixi

yxiii（2）uixiui(y),yf(v) 根据林达尔-萨缪尔森条件

uiy1， uxf'(v)iiiui'(y)1c'(y) 1f'(v)uiyui'(y)，uixi1，所以均衡条件为i（c(y)vc[f(v)]vc'(y)f'(v)11c'(y)） f'(v)

（3）uixiilny,yv 根据林达尔-萨缪尔森条件

uiy1， uxf'(v)iiiuiy

习题4.

iy，uixi1，f'(v)1所以均衡条件为

yii1yi

iui(x,y)xiiy1iv例3.y

qxiqiywi求林达尔均衡：首先将效用函数做单调变换，取对数：

lnui(x,y)ilnxi(1i)lny

满足林达尔均衡条件：

p*xi*qi*y*p*wi** (xi,y)(xi,y)****qypv0i构造拉格朗日函数：

Lilnxi(1i)lny(wixiqiy)

对上式求xi,y的导数，

qLi1L1i，qii,得： xixiwiyywi（推导过程：由ixi，1iqiy，将这两个式子相加，得：xiqiy1；又

xiqiywi，所以我们得到xiiwi(1i)wiyqi

1） wi

由于每个人需要的公共物品都是y，对公共物品的总支付为

qy*，

ii

qy*(1)w，所以推出 qy*(1iiiiiiiw)i

又因为y*q(1i)wi(1i)wi，从而推出qi。 qi(1i)wii

习题5：求纳什均衡和林达尔均衡

uilnxiilny,yv txigiwis..qi1giqiy,i解：根据林达尔均衡条件

uiy1，可以计算出， f'(v)iuixiuiyiy11 ux1xf'(v)iiiii根据纳什均衡条件：（1） 解纳什均衡

uiyy11，有i1

1xif'(v)uixif'(v)maxuiln(wigi)iln(gigj)

ij根据上面的纳什均衡条件

iy1xi11，有： f'(v)1i0yixi （1） xiy根据xigiwi，有

xyw （2）

iiii将（1）式代入（2）式推出

iyiywi(ii1i1)ywiyiNEwiii1i

1（2） 解林达尔均衡：

maxuiln(wigi)iln(gigj)

ij构造拉格朗日函数：Llnxiilny(wixiqiy) 对xi，y求导：

L110xxxi1iiixiqiywiwi Liq0qyiiiyy1i (1) wiwi1

得:xi xi1i从而有：将(1)式代入

将(1)式代入qiyiwLE得：yqiyii ii(1i)比较纳什均衡与林达尔均衡的大小：

yLEwwn1w1ww1w222...nn...

1(11)(12)(1n)(11)(11)(1)12nw11iyNEi1iw21i...1iwn1i

1由于

i1i1i，所以

i11i111，所以yLEyNE。

i1习题6：太湖打鱼，每船成本r0，派出b艘船捕鱼的收益pf(b)，f(b)表示捕鱼的数量，每艘船捕到

f(b)条，单价p0。 b（1） 派出船的均衡数量， （2） 派出船的最优数量，

（3） 若达到PE均衡，每艘船征多少税， （4） 如果一人承包，派出船的数量。

解：(1) 在公海打鱼，由于属于公有产权，对于每个打鱼者来说，只要打鱼的收益大于成本，就有继续打鱼的动力，直至利润为零，因此均衡数量为：

pf(b*)b*r，即每艘船的打鱼数量0f(b*)r b*p(2)求最优数量：MAXpf(b)rb，对b求导数：

Foc:pf'(b)r0f'(b)如图示：

ppr，这个最优数量小于均衡数量，如下图： p

（3） 由于不征税导致过度捕捞，所以征税使得捕捞量从b*降到b，即如图，征税使得

ppf(bp)rf(bp)rtpr。直线rp移动到f'，使，其中f'(b)，解得：t ppbpbp（4） 一个人承包同（2）的解相同。