学而通 黄冈教育 教师: 学生: 高考指数函数和对数函数 一.基础知识
(一)指数与指数幂的运算
n1(根式的概念:一般地，如果，那么叫做的次方xanx,a*根，其中>1，且?( Nnn
n负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。 0,0
a(a,0),nnnn当是奇数时，，当是偶数时， a,aa,|a|,nn,,a(a,0),2(分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定: m*nmna,a(a,0,m,n,N,n,1) m,11*n a,,(a,0,m,n,N,n,1)mnmana
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质
rr，sra,aa(a,0,r,s,R)(1)? ; rsrs (a),a(a,0,r,s,R)(2) ; rrs(ab),aa(a,0,r,s,R)(3) ( (二)指数函数及其性质
x1、指数函数的概念:一般地，函数叫y,a(a,0,且a,1)
做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R( 注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1(
2、指数函数的图象和性质 a>1 0 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过函数图象都过 定点(0，1) 定点(0，1) 注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出: x[f(a),f(b)](1)在[a，b]上，值域是f(x),a(a,0且a,1) 1 学而通 黄冈教育 教师: 学生: [f(b),f(a)]或; f(x),1(2)若，则;取遍所有正数当且仅当x,0f(x) x,R; xf(1),a(3)对于指数函数，总有; f(x),a(a,0且a,1)二、对数函数 (一)对数 xa,N(a,0,a,1)1(对数的概念:一般地，如果，那么数叫x 做以为底的对数，记作:(— 底数，— 真NNx,logNaaa((( 数，— 对数式) logNa 说明:1 注意底数的限制，且; a,0a,1? x2 ; a,N,logN,x?alogN a3 注意对数的书写格式( ? 两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数; lgN? 2 自然对数:以无理数为底的对数的对数e,2.71828？? ( lnN 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b, N, b logN,aa 底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果a,0，且a,1，M,0，N,0，那么:1 ? M?，;2 ,log(MlogMlogNlog,logMN),?aaaaaN ; logNa nlogM3 ( logM,n(n,R)?aa 注意:换底公式 logbclogb,a,0a,1c,0c,1b,0 (，且;，且;)( alogac 利用换底公式推导下面的结论 1nn(1);(2)( logb,logb,logbmaaalogamb(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数，且叫做对y,logx(a,0a,1)a 2 学而通 黄冈教育 教师: 学生: 数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+?)( x 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，? x注意辨别。如:， 都不是对数函数，y,2logxlog2y,55 而只能称其为对数型函数( 2 对数函数对底数的限制:，且( a,1)(a,0? 2、对数函数的性质: a>1 0 函数图象都函数图象都过定过定点(1，点(1，0) 0) 1、指数函数与对数函数 log21、(2009湖南文)的值为( ) 2 11A( B( C( D( ,,22222、(2012安徽文)( ) log9log4，,23 11,,A( B( C( D( 42 23、(2009全国?文)设则 ( ) aebece,,,lg,(lg),lg, abc,,acb,,cab,,cba,,A. B. C. D. xyfx,()4、(2009广东理)若函数是函数的反函数，其图像经过yaaa,,,(0,1)且点(,)aa，则( ) fx(), 12A. logx B. logx C. D. x12x22 x，15、(2009四川文)函数的反函数是( ) y,2(x,R) A. B. y,1，logx(x,0)y,log(x,1)(x,1)22 3 学而通 黄冈教育 教师: 学生: C. D. y,,1，logx(x,0)y,log(x，1)(x,,1)22 6、(2009全国?理)设，则( ) abc,,,log,log3,log2,323 A. B. C. D. abc,,acb,,bac,,bca,, 10.3a,log2,b,log3,c,()7、设，则( ) 11232 A. B. C. D . a,b,ca,c,bb,c,ab,a,c【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。 1b8、若a,0，,1，则 ( ) log()22 A(a,1,b,0 B(a,1,b,0 C. 0,a,1, b,0 D. 0,a,1, b,0 AxxBa,,,,,log2,(,)AB,9、(2009江苏)已知集合，若则实数的取值范围a,,2 (,)c，,是，其中= c 【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 11ab10、设，且，则( ) m,，,225,,mab A. B.10 C.20 D.100 10 y,1，ln(x,1)(x,1)11、(2010全国文)函数的反函数是( ) x，1x,1x，1x,1A.y=-1(x>0) B. y=+1(x>0) C. y=-1(x R) D.y=+1 (x R) ,,eeee xx，14,2,3,012、方程的解是_________ . 1,12(lg,lg25),10013、(2011四川理)计算_______ ( 4 14、函数的单调增区间是__________ 。 f(x),log(2x，1)5 22fxx()lg,fab()1,15、已知函数,若,_________ . fafb()()，, 【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉. 23232255516、7)设，则a，b，c的大小关系是 abc,,,(),()，()555 A.a,c,b B.a,b,c C.c,a,b D.b,c,a 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 17、(2010四川理)2log10，log0.25,( ) 55 4 学而通 黄冈教育 教师: 学生: A.0 B.1 C. 2 D.4 2518、(2010天津文)设( ) alog4blogclog,,,，(3)，，则545 A( B. C. D. a,c,bb,c,aa,b,cb,a,c【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。 1x19、(2011四川文)函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是( ) y,()，12 x20、(2012四川文)函数的图象可能是( ) yaaaa,,,,(0,1) 【点评】函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用. xyfx,()f(2)1,21、(2009广东文) 若函数是函数的反函数，且，yaaa,,,(0，且)1 fx(),则( ) 1x,2logxA( B( C( D(2 logx12x22 xf(2)1,【解析】函数的反函数是,又,即,fxx()log,log21,yaaa,,,(0，且)1aa a,2所以,,故,选A. fxx()log,2 x，3yx,lg22、(2009北京理)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的y,lg10 点( ) A(向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B(向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C(向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 5 学而通 黄冈教育 教师: 学生: D(向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2,x23、(2009全国?文)函数的图像( ) y,log22，x 24、 A. 关于原点对称 B.关于直线对称 C.关于轴对称 D.关于直线对称 yyx,yx,, (,2,2)【解析】本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为关于原点对称，又f(,x),f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。 1xfx(1)，24、(2009辽宁文)已知函数满足:x?4,则,;当x,4时,，()fx()fx()fx()2 则,( ) f(2log3)，2 1131A. B. C. D.882412 log,0,xx,,2,f(a),f(,a)25、(2010天津理)若函数=,若,则实数a的取值范围f(x),log(),0,,xx1,,2 是( ) A.(-1，0)?(0，1) B.(-?，-1)?(1,+?) C.(-1，0)?(1,+?) D.(-?，-1)?(0,1) 【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在(0，1)上时，不等号的方向不要写错。 log,0xx,,1326、(2010湖北文)已知函数，则( ) fx(),ff(()),,x92,0x,, 11A.4 B. C.-4 D- 44 y,lgx27、(2011安徽文)若点在 图像上，a,1,则下列点也在此图像上的是( ) (a,b) 1102(10a,1,b)A. B. C. D. (,b)(,b，1)(a,2b)aa 2,ab,2，，,,,,baalglgba,lgyx,lg【解析】由题意，，即也在函数 图像上. 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系. 1,x,,2,x1,f(x),,,1logx,x1f(x),22,28、(2011辽宁理)设函数，则满足的x的取值范围是 ( ) ,[,1,2][1,，,)[0,，,) A( B( C([1，+] D( [0,2] 6 学而通 黄冈教育 教师: 学生: 2xMxRfgx,,,{|(())0},29、(2012重庆文)设函数集 fxxxgx()43,()32,,,，,, NxRgx,,,{|()2},则为( ) MN (1,)，,(,1),,A(B((0,1) C((-1,1) D( 【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定. 430、函数的最大值是______ . yxx,，,log([2,4])2logx2 31、 若实数,,满足,，则的最大是 . xfxmxmxm()(2)(3),,，，,,,xRfx,()0gx()0,32、已知,.若或, gx()22,, 则的取值范围是________ . m 【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对进行讨论. m f(x),lg(x，1)33、已知函数. 0,f(1,2x),f(x),1(1)若,求的取值范围; x g(x),f(x)(2)若是以2为周期的偶函数,且当0,x,1时,有,求函数 g(x) y,g(x)(x,[1,2])的反函数. 2、函数的零点部分 4,4,,1xx,1、函数，，,的图象和函数的图象的交点个数是fx，，gx,logx,22,4，3,,1xxx, ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数的零点必落在区间( ) f(x),logx，2x,12 11111,,,,,,,,,1A. B. C. D.(1,2) ,,,,,,84422,,,,,, 7 学而通 黄冈教育 教师: 学生: x3、数fx的零点与gxx,，,422的零点之差的绝对值不超过0.25， 则fx，，，，，， 可以是( ) 2A. fxx,,41 B. fxx,,(1) ，，，， 1xC. fxe,,1 D. f(x),ln(x,)，，2 11x3(),x4((10上海理)若是方程的解，则属于区间( ) xx002 212111,,,,,,,,,1,,0,A( . B( . C( D( ,,,,,,,,323323,,,,,,,, lg2xx，,5((10上海文)若是方程式的解，则属于区间( ) xx00 A((0，1). B((1，1.25). C((1.25，1.75) D((1.75，2) x6((10天津理)函数的零点所在的一个区间是( ) ，，fx,2，3x A( B( C( D( ，，，，，，，，0,11,2,2,,1,1,0 x7(函数的零点所在的一个区间是( ) ，，fx,e，x,2 A( B( C( D( ，，，，，，，，0,11,2,2,,1,1,0 f(x),4sin(2x，1),x,8(设函数则在下列区间中函数不存在零点的是f(x)( ) A( B( C( D( ,,,,,,,,0,22,4,4,,2,2,0 1xfx,2，9、浙江文)已知是函数的一个零点，若，，，，，，，，xx,1,xx,x,，,010201,x 则( ) A(， B(， ，，，，，，，，fx,0fx,0fx,0fx,01212 C(， D(， ，，，，，，，，fx,0fx,0fx,0fx,01212 441xx,， ?，,10(函数的图象和函数的图象的交点个数是gxx()log,fx(),,22xxx,，,431，, ( ) A(4 B(3 C(2 D(1 8 学而通 黄冈教育 教师: 学生: x11(若函数fx的零点与gxx,，,422的零点之差的绝对值不超过0.25，，，，， 可以是( ) 则fx，， 1,,2x，，fx,lnx,A. B. C. D. fxx,,41fxx,,(1)fxe,,1,,，，，，，，2,, 2,mxx1,(1,1],,,,T,412((09重庆理)已知以为周期的函数，其中fx(),,12,(1,3],,,xx,, 3()fxx,。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为( ) m,0m 15815484(,)(,7)A( B( C( D( (,7)(,)333333 2,，2,3,,0xxx,13((10福建理)函数fx的零点个数为( ) ，，,,2，lnx,x,0, A(0 B(1 C(2 D(3 aab,1,,,,14.(11天津)(对实数和b，定义运算“,”: 设函数aab,,,bab,1.,,, 22fxxxxxR()2,.,,,,,yfxc,,()若函数的图像与轴恰有两个公x，，，， 共点，则实数的取值范围是 c 33,,,,,,,,,,21,,,,,,,,21, A( B( ，，,,,,,,24,,,, 1131,,,,,,，,,,，,1,,,,,，,1,, C( D( ,,,,,,,,4444,,,,,,，, x15(11陕西)函数f(x)=—cosx在[0，+?)内 ( ) (A)没有零点 (B)有且仅有一个零点 (C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点 2mxkx,，,2016.(11重庆)设m，k为整数，方程在区间(0,1)内有两个不同的根，则m+k的最小值为 (A)-8 (B)8 (C)12 (D) 13 xa,0a,117、若函数 (且)有两个零点，则实数a的取值范围 f(x),a,x,a {a|a,1}是 . 9 学而通 黄冈教育 教师: 学生: xx96370,,,,18、方程 的解是 (. log73 y,f(x)y,g(x)[,2,2]19、已知函数和在的图象如下所示: 给出下列四个命题: f[g(x)],0g[f(x)],0 ?方程有且仅有6个根 ?方程有且仅有3个根 ? f[f(x)],0g[g(x)],0方程有且仅有5个根 ?方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ??? ((将所有正确的命题序号填在横线上). fxfx(4)(),,,20、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函f(x) f(x),m(m,0)数,若方程在区间上有四个不同的根,则xxxx,,,,,,8,81234 xxxx，，，,_________.1234 2,,2x,, 21(已知函数fx(),若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，x,3,(1),2xx,,, 则数k的取值范围是_______ ,x223，,x22((08湖北文)方程的实数解的个数为 ( 223((08上海理)方程的解可视为函数的图像与函数yx,，2xx，,,210 14xax，,,40的图像交点的横坐标(若方程的各个实根xxxk，，，(4)?y,12kx ,,4ik,12，，，yx,所对应的点()均在直线的同侧，则实数a的取值范围x，,,ixi,, 是 ( x24((09山东理)若函数有两个零点，则实数a的取，，fx,a,x,a，，a,0.a,1 10 学而通 黄冈教育 教师: 学生: 值范围是 。 fxfx(4)(),,,R25(已知定义在上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函f(x) 在区间上有四个不同的根,则数,若方程xxxx,,,，，，，fx,mm,0,,,8,81234 xxxx，，，,_________.1234 2yxxa,,，26((10全国I理)直线,1与曲线有四个交点，则的取值范围ya是 。 327((07全国II理)已知函数。 ，，fx,x,x (1)求曲线在点处的切线方程; ，，，，，，y,fxMt,ft (2)设a,0，如果过点可作曲线的三条切线，证明:，，，，a,by,fx 。 ，，,a,b,fa 228((08四川理)已知x,3是函数的一个极值点( fxaxxx()ln(1)10,，，, (?)求;(?)求函数的单调区间; afx() yfx,()(?)若直线与函数的图像有3个交点，求b的取值范围( yb, 93229((09江西文)设函数 fxxxxa()6,,，,2 ,fxm(),(1)对于任意实数，恒成立，求的最大值; xm fx()0,(2)若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 a 132230((09天津文)设函数 f(x),,x，x，(m,1)x,(x,R,)其中m,03 m,1时，(?)当曲线处的切线斜率; y,f(x)在点(1，f(1)) (?)求函数的单调区间与极值; (?)已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意x,xx,xf(x)1212 f(x),f(1)的，恒成立，求的取值范围。 x,[x,x]m12 1a32yfx,()a,0，，31((10湖北文)设函数，其中。曲线在fx,x,x，bx，c32 11 学而通 黄冈教育 教师: 学生: yfx,()点处的切线方程为。(1)确定的值;(2)设曲线在点，，，，P0,f0y,1bc, ,,处的切线都过点。证明:当时，;(,())(,())xfxxfx及xx,fxfx()(),，，0,211221212 yfx,()(3)若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围。 ，，0,2a 12 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容