2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式：锥体的体积公式为V=
1
Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3
1． 已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则 A．MÍN B.NÍM C．MÇN={2,3}D.MÈN{1,4} 2.下列命题中的假命题是 A．\"xÎR,2
x-1
>02x-1>0 B. \"xÎN*,(x-1)2>0
C．$ xÎR,lgx<1 D. $xÎR,tanx=2 3、极坐标方程r=cosq和参数方程í
ìx=-1-t
（t为参数）所表示的图形分别是
y=2+3tî
A、圆、直线 B、直线、圆
C、圆、圆 D、直线、直线
uuuruuur
4、在RtDABC中，ÐC=90°AC=4，则AB×AC等于
A、-16 B、-8 C、8 D、16
1
ò2xdx等于
A、-2ln2 B、2ln2 C、-ln2 D、ln2
5、
4
6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，c=2a,则
A、a>b B、a7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15 8.用直线x=-表示a，b两数中的最小值。若函数
的图像关于
1
对称，则t的值为 2
A．-2 B．2 C．-1 D．1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的．．．横线上
9．已知一种材料的最佳入量在110g到210g之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g
10．如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点。已知PA=2，点P到
的切线上PT=4，则弦的长为 。 11．在区间
2
上随机取一个数x，则
2
2
2
的概率为
12．图2是求1+2+3+…+100的值的程序框图，则正整数n= ．
开始 i=1,s=0 i=i+1 s=s+i2是 i£n? 否 输 出s 结束 图2
3
13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm的几何体的三视图，则h= cm．
14．过抛物线x=2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点，A,B在
2
x轴上的正射影分别为D,C．若梯形ABCD的面积为122，则p= ．
15．若数列{an}满足：对任意的nÎN，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的
*
m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是1,2,3…，n,…，则
数列(an)*是0,1,2,…，n-1,…．已知对任意的nÎN，an=n，则(a5)= ，
{}*2*
((an)*)*= ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=
3sin2x-2sin2x．
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （II）求函数f(x)的零点的集合。
17．（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图 （Ⅰ）求直方图中x的值
（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。
18．（本小题满分12分） 如图5所示，在正方体（Ⅰ）求直线BE的平面（II）在棱
19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过655km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过4区域。
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。
5E是棱
所成的角的正弦值；
平面
的中点。
上是否存在一点F，使证明你的结论。
km化 æ83ö P2ç6÷ç-3，÷èø区 域 P3(8,6) 融 已 冰 （-53，-1）P1 A（-4,0） B（4，0） x 20.（本小题满分13分）
已知函数f(x)=x2+bx+c(b,cÎR),对任意的xÎR，恒有f'(x)£f(x)。 （Ⅰ）证明：当x³0时，f(x)£(x+c)；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)-f(b)£M(c-b)恒成立，求M的最小值。
21．（本小题满分13分）
数列{an}(nÎN)中，
*
2
2
2
是函数fn(x)=
131
x-(3an+n2)x2+3n2anx的极32
小值点
（Ⅰ）当a=0时，求通项an；
（Ⅱ）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题
1-5 cbadd 6-8 abd 二、填空题 9.
10. 6 11. 2/3 13. 4 14. 2 15. 2 n2
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