必修一第一章复习
知识点一 集合的概念 1．集合
一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素
构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 知识点二 集合与元素的关系 1．属于
如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三 集合的特性及分类 1．集合元素的特性
________、________、________. 2．集合的分类
(1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示
名称 符号 知识点四 集合的表示方法 1．列举法
把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
非负整数集(自然数集) N * N或N＋ 整数集 Z Q 实数集 R 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法． 知识点五 集合与集合的关系 1．子集与真子集
定义 如果集合A中的________元素子集 都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 如果集合A⊆B，但存在元素真子集 ________，且________，我们称集合A是集合B的真子集
2.子集的性质
(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A⊆B，B⊆C，则________． (4)如果AB，BC，则________． 3．集合相等
定义 如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合相等 ________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等 4.集合相等的性质 如果A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，________________________.
知识点六 集合的运算
符号语言 图形图言 (Venn图) ________(或________) ________(或________) 符号语言 图形语言 (Venn图) A＝B 1．交集
自然语言 由___________________ _____________________ 组成的集合，称为A与B的交集 2．并集
自然语言 由_________________ _________________组成的集合，称为A与B的并集
3.交集与并集的性质
交集的运算性质 并集的运算性质 符号语言 图形语言 符号语言 图形语言 A∩B＝_________ A∪B＝_______________ A∩B＝________ A∩A＝________ A∩∅＝________ A⊆B⇔A∩B＝________ 4.全集
A∪B＝________ A∪A＝________ A∪∅＝________ A⊆B⇔A∪B＝________ 在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________． 5．补集
文字语言 符号语言 图形语言
对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________ ∁UA＝________________ 典例精讲
题型一 判断能否构成集合
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。
2
题型二 验证元素是否是集合的元素
1、已知集合Axxm2n2,mZ,nZ. 求证：（1）3A；
（2）偶数4k-2(kZ)不属于A.
2、集合A是由形如m3nmZ,nZ的数构成的，判断
1是不是集合A中的元素.
23题型三 求集合
3x＋y＝2
1．方程组
2x－3y＝27
的解集是( )
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；
⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
2x＋y＝0，能表示方程组
x－y＋3＝0
的解集的是( )
B．②③④⑤ D．②⑤⑥
A．①②③④⑤⑥ C．②⑤
1＋a1
3.数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素.
1－a3
xyz|xyz|
4．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，用列举法表示集合M
|x||y||z|xyz为 。
题型四 利用集合中元素的性质求参数
1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．等腰三角形
2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，，b，则b－a＝________.
ba
3.已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________. 4.已知集合A＝{x|ax－3x＋2＝0}.
(1)若A是单元素集合，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
5.已知集合A是由0，m，m－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 C．0或3
B．3 D．0或2或3
2
2
2
6．(2016·浙江镇海检测)已知集合A是由0，m，m－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.
题型五 判断集合间的关系
1、设Mxxk1k1,kZ,Nxx,kZ，则M与N的关系正确的是（ ） 2442A. M=N B.MN C.MN D.以上都不对
2．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}； (2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．
1n1p1
3．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}，试确定M，N，
62326
P之间的关系.
题型六 求子集个数
1．已知集合A＝{x|ax＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
2
题型七 利用两个集合之间的关系求参数
1.已知集合A＝{1,2，m}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.
2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不可能是( )
A．0 C．2
B．1 D．3
3
3．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}. (1)若B⊆A，求实数m的取值范围； (2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
题型八 集合间的基本运算
1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
2．已知集合M＝{x|－3 B．2 D．4 4．(2016·全国卷Ⅲ理，1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( ) A．[2,3] C．[3，＋∞) 5．下列关系式中，正确的个数为( ) ①(M∩N)⊆N；②(M∩N)⊆(M∪N)； ③(M∪N)⊆N；④若M⊆N，则M∩N＝M. A．4 C．2 2 B．(－∞，2]∪[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞) B．3 D．1 6．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________. 7．(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2 A．3∈S,3∈T C．3∈∁US,3∈T B．3∈S,3∈∁UT D．3∈∁US,3∈∁UT 题型九 根据集合运算的结果求参数 1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________. 2 2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}. (1)求A∩B； (2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围． 3．设A＝{x|x＋8x＝0}，B＝{x|x＋2(a＋2)x＋a－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围. 4．已知集合A＝{x|x＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x－ax＋b＝0}，满足(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值. 5．U＝{1,2}，A＝{x|x＋px＋q＝0}，∁UA＝{1}，则p＋q＝________. 4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁UA)≠∅，则( ) A．k＜0 C．0＜k＜2 2 2 22 2 2 2 2 B．k＜2 D．－1＜k＜2 2 2 6．已知集合A＝{x|x－ax＋a－19＝0}，B＝{x|x－5x＋6＝0}，C＝{x|x＋2x－8＝0}，试探求a取何实数时，(A∩B)∅与A∩C＝∅同时成立. 题型十 交集、并集、补集思想的应用 1．若三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围． 题型十一 集合中的新定义问题 1．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集． 2．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为( ) A．7 C．32 B．12 D．64 3．当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪ N′＝( ) A．{0,1,3,4} C．{1,3} B．{1,4} D．{0,3} 4．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)，对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝( ) A．(X∪Y)∩∁UZ C．(∁UX∪∁UY)∩Z B．(X∩Y)∪∁UZ D．(∁UX∩∁UY)∪Z 31 5．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a43叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________. 6．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}. (1)试举出两个数集，求它们的差集； (2)差集A－B与B－A是否一定相等说明理由； (3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6 知识点二 两个函数相等的条件 1．定义域________． 2．________完全一致． 知识点三 区间的概念及表示 1．一般区间的表示 设a，b∈R，且a 定义 符号 知识点四 函数的表示方法 函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法． 知识点五 分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的________，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的________，值域是各段值域的________． 知识点六 映射的概念 设A，B是两个________________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________________，在集合B中都有________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 知识点七 函数的单调性 1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 R (－∞，＋∞) {x|x≥a} {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． 2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间． 3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则知识点八 函数的最大值、最小值 最值 类别 最大值 最小值 1 为减(增)函数． f(x) 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有__________ (1)对于任意的x∈I，都有________ (2)存在x0∈I，使得______________ 结论 性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值． 知识点九 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的概念 (2)存在x0∈I，使得________ M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) 结论 2.性质 (1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 函数f(x)是偶函数 f(－x)＝－f(x) 函数f(x)是奇函数 (2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反． (3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数． 例1 (2016年10月学考)函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为( ) A．{x|x>－3} C．{x|x>3} B．{x|x>0} D．{x|x≥3} 例2 (2016年4月学考)下列图象中，不可能成为函数y＝f(x)图象的是( ) 1logx，x>1， 例3 已知函数f(x)＝3 －x2－2x＋4，x≤1，例4 (2015年10月学考)已知函数f(x)＝ 则f(f(3))＝________，f(x)的单调递减区间是________． x＋a＋|x－a| 2 ，g(x)＝ax＋1，其中a>0，若f(x)与g(x)的图象 有两个不同的交点，则a的取值范围是________． a(x<0)， 例5 已知函数f(x)＝ (a－3)x＋4a(x≥0) x 满足对任意的x1 例6 (2016年4月学考改编)已知函数f(x)＝11 －. x－1x－3 (1)设g(x)＝f(x＋2)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由； (2)求证：函数f(x)在2,3)上是增函数． 例7 (2015年10月学考)已知函数f(x)＝ax＋(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)当a<2时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减． 1 例8 (2016年10月学考)设函数f(x)＝2的定义域为D，其中a<1. (|x－1|－a)(1)当a＝－3时，写出函数f(x)的单调区间(不要求证明)； (2)若对于任意的x∈0,2]∩D，均有f(x)≥kx成立，求实数k的取值范围． 2 11＋，a∈R. x＋1x－1 一、选择题 1．函数f(x)＝1－2＋A．(－3,0] C．(－∞，－3)∪(－3,0] x1 x＋3 的定义域为( ) B．(－3,1] D．(－∞，－3)∪(－3,1] 2．下列四组函数中，表示同一个函数的是( ) A．y＝－2x与y＝x－2x B．y＝(x)与y＝|x| C．y＝x＋1·x－1与y＝(x＋1)(x－1) D．f(x)＝x－2x－1与g(t)＝t－2t－1 3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 4．已知f(x)是一次函数，且ff(x)]＝x＋2，则f(x)等于( ) A．x＋1 C．－x＋1 B．2x－1 D．x＋1或－x－1 2 2 23 5．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是( ) 1 A．f：x→y＝x 21 C．f：x→y＝x 4 1 B．f：x→y＝x 31 D．f：x→y＝x 6 6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( ) A．4B．3C．2D．1 7．若函数y＝ax＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为( ) A．2B．－2C．2或－2D．0 8．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(4)＝f(1)＝0，且在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式 x·f(x)<0的解集为( ) A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪(－1,0) C．(－4，－1)∪(1,4) D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 二、填空题 1 1－x，x≥0，2 9．已知函数f(x)＝1 x，x<0， 2 若f(a)＝a，则实数a＝________. 10．设f(x)＝ax＋bx＋2是定义在1＋a,1]上的偶函数，则f(x)>0的解集为________． 11．若关于x的不等式x－4x－a≥0在1,3]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 三、解答题 1＋ax12．已知函数f(x)＝的图象经过点(1,3)，并且g(x)＝xf(x)是偶函数． x＋b(1)求函数中a、b的值； (2)判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明． 13．已知二次函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b在区间2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求f(x)的解析式； (2)若b>1，g(x)＝f(x)＋mx在2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围． 222 答案精析 知识条目排查 知识点一 1．确定的不同的 全体 2．每个对象 知识点二 1．属于 ∈ 2．不属于 ∉ 知识点三 1．确定性 互异性 无序性 2．(1)有限个 (2)无限个 3．正整数集 有理数集 知识点四 1．一一列举出来 2．共同特征 知识点五 1．任意一个 A⊆B B⊇A x∈B x∉A AB BA 2．(1)任何集合 ∅⊆A (2)A⊆A (3)A⊆C (4)AC 3．集合B是集合A的子集(B⊆A) 4．如果A＝B, 则A⊆B，且B⊆A 知识点六 1．属于集合A且属于集合B的所有元素 {x|x∈A，且x∈B} 2．所有属于集合A或属于集合B的元素 {x|x∈A，或x∈B} 3．B∩A B∪A A A ∅ A A B 4．所有元素 U 5．不属于集合A ∁UA {x|x∈U，且x∉A} 题型分类示例 例1 D 例2 A ∵A＝B，∴2∈B，则a＝2.] 例3 {4} 解析 ∵全集U＝{2,3,4}，集合A＝{2,3}，∴∁UA＝{4}． 例4 A ∵A∩B＝A，∴A⊆B. ∵A＝{1,2}，B＝{1，m,3}， ∴m＝2，故选A.] 例5 B 由B中不等式变形得 (x－2)(x＋4)>0， 解得x<－4或x>2， 即B＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)． ∵A＝－2,3]， ∴A∪B＝(－∞，－4)∪－2，＋∞)． 故选B.] 例6 C 图中的阴影部分是M∩P的子集， 不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁IS的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁IS，故选C.] 例7 A A＝{x|1≤3≤81} ＝{x|0≤x≤4}， xB＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2} ＝{x|x<－1或x>2}， ∴A∩B＝{x|2 2．C 由x－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2. 又集合A＝{x|－1≤x≤1}，∴A⊆B， 故选C.] 3．D 5．A ∁UB＝{2,4,5,7}，A∩(∁UB)＝{3,4,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5}，故选A.] 6．A 因为全集U＝{－1,1,3}， 集合A＝{a＋2，a＋2}，且∁UA＝{－1}， 所以1,3是集合A中的元素， 所以 a＋2＝1， a＋2＝3 2 2 2 由 a＋2＝1， 2 a＋2＝3， a＋2＝3，由2 a＋2＝1， 2 或 a＋2＝3， 2 a＋2＝1， 得a＝－1. 得a无解， 所以a＝－1，故选A.] 7．D A＝{x|x－8x＋15＝0}＝{3,5}， ∵B⊆A，∴B＝∅或{3}或{5}， 若B＝∅时，a＝0； 1 若B＝{3}，则a＝； 3 1 若B＝{5}，则a＝. 511 故a＝或或0，故选D.] 35 8．D ∵集合A＝{x|x≥16}＝{x|x≤－4或x≥4}， 2 B＝{m}，且A∪B＝A，∴B⊆A， ∴m≤－4或m≥4， ∴实数m的取值范围是 (－∞，－4]∪4，＋∞)，故选D.] 9．{1,2} 10．0 1 解析 A＝{1，a}，∵x(x－a)(x－b)＝0， 解得x＝0或a或b， 若A＝B，则a＝0，b＝1. 11．4 解析 全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{－1,0,1,2,3}，∁UA＝{－2,4}， ∵B⊆∁UA，则集合B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}， 因此满足条件的集合B的个数是4. 12．1，＋∞) 解析 由x－x<0，解得0 解析 由|x－2| 2 B＝(－1,3)． 2－a≤－1， ∵B⊆A，则 2＋a≥3 解得a≥3. 答案精析 知识条目排查 知识点一 非空数集 唯一确定 从集合A到集合B {f(x)|x∈A} 知识点二 1．相同 2．对应关系 知识点三 1．a，b] (a，b) a，b) (a，b] 知识点五 对应关系 并集 并集 知识点六 非空的集合 任意一个元素x 唯一 知识点八 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 题型分类示例 例1 C 例2 A 当x＝0时，有两个y值对应，故A不可能是函数y＝f(x)的图象．] 例3 5 －1，＋∞) 1 解析 f(3)＝log3＝－1， 3 ∴f(f(3))＝f(－1)＝－1＋2＋4＝5， 当x≤1时，f(x)＝－x－2x＋4 ＝－(x＋1)＋5， 对称轴x＝－1， 2 2 f(x)在－1，1]上递减，当x>1时，f(x)递减， ∴f(x)在－1，＋∞)上递减． 例4 (0,1) x，x>a， 解析 由题意得f(x)＝ a，x≤a， 在平面直角坐标系内分别画出0 的图象， 由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时， 0 解得0 例6 (1)解 ∵f(x)＝∴g(x)＝f(x＋2)＝ 11－， x－1x－3 0 11－， x＋1x－1 11 ∵g(－x)＝－ －x＋1－x－1＝ 11－＝g(x)， x＋1x－1 又∵g(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}， ∴y＝g(x)是偶函数． (2)证明 设x1，x2∈2,3)且x1 ＝ 1111－)－(－) x1－1x1－3x2－1x2－3 2(x1－x2)(x1＋x2－4) ， (x1－1)(x1－3)(x2－1)(x2－3) ∵x1，x2∈2,3)且x1 11 例7 (1)解 因为f(－x)＝－ax＋＋ －x＋1－x－1＝－(ax＋ 11＋) x－1x＋1 ＝－f(x)， 又因为f(x)的定义域为{x∈R|x≠－1且x≠1}， 所以函数f(x)为奇函数． (2)证明 任取x1，x2∈(0,1)，设x1 则f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)＋＋ (x1－1)(x2－1)(x1＋1)(x2＋1) 11 ＝(x1－x2)a－－] (x1－1)(x2－1)(x1＋1)(x2＋1)2(x1x2＋1) ＝(x1－x2)a－2]． 2 (x1－1)(x2－1)因为0 (x1－1)(x2－1)2(x1x2＋1) 所以a－2<0. 2 (x1－1)(x2－1) 又因为x1－x2<0，所以f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减． 例8 解 (1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是1，＋∞)． (2)当x＝0时，不等式f(x)≥kx成立； 当x≠0时，f(x)≥kx等价于 2 2 2 2 k≤ 1 2. [x(|x－1|－a)] 设h(x)＝x(|x－1|－a) －x[x－(1－a)]，0＜x≤1，＝x[x－(1＋a)]，1＜x≤2. ①当a≤－1时，h(x)在(0,2]上单调递增， 所以0 2. 4(1－a) 1－a1－a②当－1 42即0 2. 4(1－a) 2 1－a③当0≤a＜1时，h(x)在(0，]上单调递增， 2在 1－a，1－a)上单调递减，在(1－a,1]上单调递减， 2 在1,1＋a)上单调递增，在(1＋a,2]上单调递增， 1－a所以h(1)≤h(x)≤max{h(2)，h()}且h(x)≠0. 2(1－a)1－a因为h(2)＝2－2a>＝h()， 42所以－a≤h(x)≤2－2a且h(x)≠0. 2 当0≤a＜时，因为|2－2a|＞|－a|， 31 所以k≤2； 4(1－a) 2 当≤a＜1时，因为|2－2a|≤|－a|， 31 所以k≤2， 2 a21 综上所述，当a<时，k≤2； 34(1－a)21 当≤a<1时，k≤2. 3a考点专项训练 1．A 要使函数有意义， 1－2≥0，则 x＋3>0， x x≤0， 即 x>－3. 故－3 2．D 在A选项中，前者的y属于非负数，后者的y≤0，两个函数的值域不同； 在B选项中，前者的定义域x≥0，后者的x∈R，定义域不同； 在C选项中，前者定义域为x>1，后者为x>1或x<－1，定义域不同； 在D选项中，两个函数是同一个函数，故选D.] 3．B 4．A f(x)是一次函数，设f(x)＝kx＋b， ff(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2， 即kx＋kb＋b＝x＋2，k＝1， 2 2 kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1. 则f(x)＝x＋1，故选A.] 5．A 8．D 求x·f(x)<0即等价于求函数在第二、四象限图象x的取值范围． ∵偶函数f(x)(x∈R)满足f(4)＝f(1)＝0， ∴f(4)＝f(－1) ＝f(－4)＝f(1)＝0， 且f(x)在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减与递增， 如图可知：即x∈(1,4)时，函数图象位于第四象限， x∈(－∞，－4)∪(－1,0)时，函数图象位于第二象限， 综上所述，x·f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)， 故选D.] 2 9．－1或 3 1 解析 当a≥0时，f(a)＝1－a＝a， 22得a＝； 3 1 当a<0时，＝a，解得a＝－1或1(舍去)． a2 ∴a＝－1或. 310．(－1,1) 解析 ∵f(x)为定义在1＋a,1]上的偶函数， ∴1＋a＝－1，∴a＝－2， 又f(－x)＝f(x)，即ax－bx＋2＝ax＋bx＋2， ∴2bx＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－2x＋2. ∴由f(x)>0得，－2x＋2>0， 解得－1 解析 若关于x的不等式x－4x－a≥0在1,3]上恒成立， 则a≤x－4x在1,3]上恒成立， 令f(x)＝x－4x＝(x－2)－4，x∈1,3]， 对称轴x＝2，开口向上， 2 2 2 2 2 2 2 2 f(x)在1,2)递减，在(2,3]递增， ∴f(x)min＝f(2)＝－4，∴a≤－4. x＋ax3 12．解 (1)∵函数g(x)＝xf(x)＝是偶函数， x＋b则g(－x)＝g(x)． －x－axx＋ax∴＝恒成立， －x＋bx＋b即x－b＝x＋b恒成立，∴b＝0. 又函数f(x)的图象经过点(1,3)， ∴f(1)＝3，即1＋a＝3， ∴a＝2. (2)由(1)知g(x)＝xf(x)＝2x＋1， 2 3 3 g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 设x2>x1>1， 则g(x2)－g(x1)＝2x2＋1－2x1－1 ＝2(x2－x1)(x2＋x1)． ∵x2>x1>1，∴(x2－x1)(x2＋x1)>0， ∴g(x2)>g(x1)， ∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数． 13．解 (1)f(x)＝a(x－1)＋2＋b－a. ①当a>0时，f(x)在2,3]上单调递增， f(2)＝2，故 f(3)＝5，a＝1，所以 b＝0. 2 2 2 2＋b＝2，即 3a＋2＋b＝5， 2 ②当a<0时，f(x)在2,3]上单调递减， f(2)＝5， 故f(3)＝2， 所以 a＝－1，b＝3. 2 2＋b＝5，即3a＋2＋b＝2， 所以f(x)＝x－2x＋2或f(x)＝－x＋2x＋5. (2)因为b>1，所以f(x)＝－x＋2x＋5， 所以g(x)＝－x＋(m＋2)x＋5在2,4]上为单调函数， 故 2 2 m＋2 2 ≤2或 m＋2 2 ≥4， 所以m≤2或m≥6. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容