历年高考数学真题精选28 异面直线所成角

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题28 异面直线所成的角（学生版）

一．选择题（共12小题）

1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( ) 1A．

5B．5 6C．5 5D．2 22．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A．3 2B．15 5C．10 5D．3 33．（2016•新课标Ⅰ）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m、n所成角的正弦值为( ) A．3 2B．2 2C．3 31D．

34．（2014•大纲版）已知二面角l为60，CD，AB，ABl，Cl，A为垂足，ACD135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )

A．

1 4B．2 4C．3 4D．

1 25．（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为( ) A．

1 10B．

2 5C．30 10D．

2 26．（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ) A．

1 6B．3 61C．

3D．3 37．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )

第1页（共20页）

A．5 5B．5 3C．25 53D．

58．（2010•全国）在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A2AB，M、N分别是BC、CC1的中点，则异面直线AB1与MN所成的角等于( ) A．30

B．45

C．60

D．90

9．（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )

A．30

B．45

C．60

D．90

10．（2009•黑龙江）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为( ) A．10 101B．

5C．310 103D．

511．（2018•上海）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直

线的条数为( )A．1

B．2

C．3

第2页（共20页）

D．4

12．（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是( ) A．(0,2)

B．(0,3)

C．(1,2)

D．(1,3)

二．填空题（共5小题）

13．（2016•全国）已知BACD为直二面角，RtABCRtADC，且ABBC，则异面直线AB与CD所成角的大小为 ．

14．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD5，ADC90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大

值是 ．

15．（2015•浙江）如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 ．

16．（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，设异面直线EM与AF所成的角为，BC的中点，E、F分别为AB、则cos的最大值为 ．

17．（2012•四川）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，

第3页（共20页）

则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 ．

三．解答题（共5小题）

18．（2019•上海）如图，在正三棱锥PABC中，PAPBPC2,ABBCAC3． （1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角； （2）求PABC的体积．

19．（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如2图，¶AC长为，·A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．

33（1）求三棱锥CO1A1B1的体积；

（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．

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历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题28 异面直线所成的角（教师版）

一．选择题（共12小题）

1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( ) 1A．

5B．5 6C．5 5D．2 2【答案】C

【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， Q在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，

A(1，0，0)，D1(0，0，3)，D(0，0，0)，B1(1，1，3)，

uuuuruuuurAD1(1，0，3)，DB1(1，1，3)，设异面直线AD1与DB1所成角为，

uuuuruuuur|AD1gDB1|255ruuuur异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为则cosuuuu，．故选： C．

55|AD1|g|DB1|25

2．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A．3 2B．15 5C．10 5D．3 3【答案】C

第5页（共20页）

【解析】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点， 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为(0,])，

2可知MN1512，NPBC1； AB12222作BC中点Q，则PQM为直角三角形； QPQ1，MQ1AC，ABC中，由余弦定理得 21AC2AB2BC22ABgBCgcosABC41221()7，

2AC7，MQ711；在MQP中，MPMQ2PQ2； 22在PMN中，由余弦定理得

MNNPPM2gMNgNP222(cosMNP522112)()2()10222； 55222210又异面直线所成角的范围是(0，]，AB1与BC1所成角的余弦值为．

523．（2016•新课标Ⅰ）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m、n所成角的正弦值为( ) A．3 2B．2 2C．3 31D．

3【答案】A

【解析】如图：//平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABA1B1n， 可知：n//CD1，m//B1D1，Q△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是CD1B160． 则m、n所成角的正弦值为：3． 2

4．（2014•大纲版）已知二面角l为60，CD，AB，ABl，Cl，A为垂足，

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ACD135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )

A．

1 4B．2 4C．3 4D．

1 2【答案】B

【解析】如图，过A点做AEl，使BE，垂足为E，过点A做AF//CD，过点E做

EFAE，连接BF，QAElEAC90

QCD//AF又ACD135FAC45EAF45

在RtBEA中，设AEa，则AB2a，BE3a，

在RtAEF中，则EFa，AF2a，在RtBEF中，则BF2a，

异面直线AB与CD所成的角即是BAF，

AB2AF2BF2(2a)2(2a)2(2a)22．故选：B． cosBAF2ABgAF422a2a

5．（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为( ) A．

1 10B．

2 5C．30 10D．2 2【答案】C

【解析】直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：

//1BC 的中点为O，连结ON，MNB1C1OB，则MN0B是平行四边形，BM与AN所

2成角就是ANO，QBCCACC1，

设BCCACC12，CO1，AO5，AN5，

MBB1M2BB12(2)2226，

第7页（共20页）

AN2NO2AO2630在ANO中，由余弦定理可得：cosANO．

2ANgNO10256

6．（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ) A．

1 6B．3 61C．

3D．3 3【答案】B

【解析】如图，取AD中点F，连接EF，CF，QE为AB的中点，EF//DB， 则CEF为异面直线BD与CE所成的角，

QABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，CECF．

设正四面体的棱长为2a，则EFa，CECF(2a)2a23a．

CE2EF2CF2a23在CEF中，由余弦定理得：cosCEF．故选：B．

2CEgEF623a2

7．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )

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A．5 5B．5 3C．25 53D．

5【答案】A

【解析】分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系， QCACC12CB，可设CB1，CACC12

A(2，0，0)，B(0，0，1)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0) uuuuruuuurBC1(0，2，1)，AB1(2，2，1)

uuuuruuuuruuuuuuruuuuur可得BC1gAB10(2)22(1)13，且|BC1|5，|AB1|3， uuuuruuuur向量BC1与AB1所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，

uuuuruuuurBC1gAB15uruuuuuur|设直线BC1与直线AB1夹角为，则cos|uuuuu故选：A．

5|BC1|g|AB1|8．（2010•全国）在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A2AB，M、N分别是BC、CC1的中点，则异面直线AB1与MN所成的角等于( ) A．30 【答案】C

【解析】在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A2AB，M、N分别是BC、CC1的中点， 以A为原点，在平面ABC中过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴， 建立空间直角坐标系，设A1A2AB2， 则A(0，0，0)，B(3311，，0)，B1(，，2)，C(0，1，0)， 2222uuuuruuuur23332311，，0)，AB1(，，2)，MN(，，N(0，1，)，M()，

24242424343g341，60． 2B．45 C．60 D．90

uuuuruuuur|AB1gMN|uruuuur设异面直线AB1与MN所成的角为，则cosuuu|AB1|g|MN|异面直线AB1与MN所成的角等于60．故选：C．

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9．（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )

A．30 【答案】C

【解析】延长CA到D，使得ADAC，则ADAC11为平行四边形， DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，

B．45 C．60 D．90

又A1DA1BDB2AB，则三角形A1DB为等边三角形，DA1B60故选：C． 10．（2009•黑龙江）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为( ) A．10 101B．

5C．310 103D．

5【答案】C

【解析】Q正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点， BA1//CD1，A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，

设AA12AB2，则A1E1，BE12122，A1B12225，

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A1B2BE2A1E2521310cosA1BE． 2gA1BgBE10252异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为310．故选：C． 10

11．（2018•上海）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直

线的条数为( )A．1 【答案】C

B．2

C．3

D．4

【解析】在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直线中，

与直线BC1异面的直线有：A1B1，AC，AA1，共3条．故选：C．

12．（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是( ) A．(0,2) 【答案】A

【解析】设四面体的底面是BCD，BCa，BDCD1，顶点为A，AD2 在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0a2 （1） 取BC中点E，QE是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，

B．(0,3)

C．(1,2)

D．(1,3)

第11页（共20页）

a所以在三角形AED中，AEED1()2 2aQ两边之和大于第三边221()22 得0a2 （负值0值舍）（2）

由（1）（2）得0a2． 二．填空题（共5小题）

13．（2016•全国）已知BACD为直二面角，RtABCRtADC，且ABBC，则异面直线AB与CD所成角的大小为 ． 【答案】

 3【解析】分别取AD、BD、AC的中点E、F、G，连结EF、EG、BG、DG， 设ABBC2，则ADCD2，EF11AB1，EGCD1， 22BGAC，DGAC，BGD是二面角BACD的平面角， QBACD为直二面角，BGDEFG是等边三角形，

QEF//AB，EG//DC，FEG是异面直线AB与CD所成角， QFEG2，BGDG2，BD222，FG1，

3，异面直线AB与CD所成角为

．故答案为：． 33

14．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD5，ADC90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大

值是 ．

第12页（共20页）

【答案】6 6【解析】如图所示，取AC的中点O，QABBC3，BOAC， 在RtACD中，AC12(5)26．作DEAC，垂足为E，DE15630． 6DC21666，CE，EOCOCE． COCA6236过点B作BF//AC，作FE//BO交BF于点F，则EFAC．连接DF．FBD为直线AC与BD所成的角．则四边形BOEF为矩形，BFEO6． 3EFBO32(6230)．则FED为二面角DCAB的平面角，设为． 22则DF2(30230230302510)()2cos5cos…，cos1时取等号． 626233106()22． 33DB的最小值6BF6直线AC与BD所成角的余弦的最大值3．

DB26

15．（2015•浙江）如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 ．

【答案】

7 8【解析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME//AN，异面直线AN，CM所成的角就是EMC，

第13页（共20页）

QAN22，ME2EN，MC22，

又QENNC，ECEN2NC23，

EM2MC2EC22837cosEMC．

2EMgMC22228

16．（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，设异面直线EM与AF所成的角为，BC的中点，E、F分别为AB、则cos的最大值为 ．

【答案】

2 5【解析】根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB2，则： A(0，0，0)，E(1，0，0)，F(2，1，0)； y2； M在线段PQ上，设M(0，y，2)，0剟uuuuruuurEM(1,y,2),AF(2,1,0)；

uuuuruuurcos|cosEM,AF|2yy25g5；

设f(y)2yy5g52，f(y)2y55(y5)y522；

函数g(y)2y5是一次函数，且为减函数，g(0)50； g(y)0在[0，2]恒成立，f(y)0； f(y)在[0，2]上单调递减；

第14页（共20页）

y0时，f(y)取到最大值

2． 5

17．（2012•四川）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 ．

【答案】90

【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，

uuuruuuur则D(0，0，0)，N(0，2，1)，M(0，1，0)，A1(2，0，2)，DN(0，2，1)，A1M(2，

1，2)

uuuruuuuruuuruuuurDNgA1M0，所以DNA1M，即A1MDN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90，

故答案为：90．

三．解答题（共5小题）

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18．（2019•上海）如图，在正三棱锥PABC中，PAPBPC2,ABBCAC3． （1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角； （2）求PABC的体积．

解：（1）QM，N分别为PB，BC的中点，MN//PC， 则PCA为AC与MN所成角，

在PAC中，由PAPC2，AC3，

PC2AC2PA233可得cosPCA，

2PCgAC4223AC与MN的夹角为arccos3； 4（2）过P作底面垂线，垂直为O，则O为底面三角形的中心， 连接AO并延长，交BC于N，则AN32，AOAN1． 23PO22123．

VPABC331132323． 4

19．（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如2AC长为，·图，¶A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．

33第16页（共20页）

（1）求三棱锥CO1A1B1的体积；

（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．

解：（1）连结O1B1，则O1A1B1AO11B1SVO1A1B13，△O1A1B1为正三角形，

313，VCO1A1B1OO1SVO1A1B1． 4312（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1//AA1， ，BB1AA11， BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）连结BC、BO、OC，AOBAO11B13，AOC2，BOC， 33BOC为正三角形，BCBO1，tanBB1C1，

直线B1C与AA1所成角大小为45．

20．（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC． （Ⅰ）证明：平面AEC平面AFC

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

第17页（共20页）

【答案】B

【解析】（Ⅰ）连接BD，设BDIACG，连接EG、EF、FG， 在菱形ABCD中，不妨设BG1，由ABC120，可得AGGC3，

BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC，又AEEC，

所以EG3，且EGAC，在直角EBG中，可得BE2，故DF在直角三角形FDG中，可得FG6， 222322)，可得EF22(2， 2222， 2在直角梯形BDFE中，由BD2，BE2，FD从而EG2FG2EF2，则EGFG， （或由tanEGBgtanFGDEBFD2g2g1， BGDG2可得EGBFGD90，则EGFG) ACIFGG，可得EG平面AFC，

由EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC；

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度， 建立空间直角坐标系Gxyz，由（Ⅰ）可得A(0，3，0)，E(1，0，2)， 2)，C(0，3，0)， 2uuuruuur即有AE(1，3，2)，CF(1，3，uuuruuuruuuruuurAEgCF131ruuur故cosAE，CFuuu|AE|g|CF|962F(1，0，2)， 23． 3则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为3． 3第18页（共20页）

21．（2014•湖南）如图，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A、

B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的中点，DO面，垂足为O．

（Ⅰ）证明：AB平面ODE；

（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．

【答案】B

【解析】（1）证明：如图QDO面，AB，DOAB， 连接BD，由题设知，ABD是正三角形，

又E是AB的中点，DEAB，又DOIDED，AB平面ODE； （Ⅱ）解：QBC//AD，

BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角，

由（Ⅰ）知，AB平面ODE，

ABOE，又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角，

从而DEO60，不妨设AB2，则AD2，易知DE3，

3OD233， 在RtDOE中，DODEsin60，连AO，在RtAOD中，cosADOAD242故异面直线BC与OD所成角的余弦值为

3． 4

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22．（2010•湖南）如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点．

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM平面A1B1M．

解：（1）如图，因为C1D1//B1A1，所以MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角， QA1B1面BCC1B1 A1B1M90 QA1B11，B1M2 tanMA1B12 即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为2． （Ⅱ）QA1B1面BCC1B1，BM面BCC1B1 A1B1BM①

由（1）知B1M2，BM2，B1B2 BMB1M② QA1B1IB1MB1

由①②可知BM面A1B1M

QBM面ABM

平面ABM平面A1B1M．

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