函数的基本性质详细知识点和题型分类（含课后作业）

（一）函数的单调性与最值

★知识梳理

一、函数的单调性

1、定义：

设函数yf(x)的定义域为A，区间IA

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是，I称为yf(x)的。

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是，I称为yf(x)的。

2、单调性的简单性质：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：

增函数f(x)增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)增函数g(x)是减函数。

3、判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1 任取x1，x2∈D，且x12 作差f(x1)－f(x2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）○；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○。

★热点考点题型探析 考点1 判断函数的单调性

【例】试用函数单调性的定义判断函数f(x)2在区间（1，+）上的单调性. x1

【巩固练习】证明：函数f(x)

2x在区间（0，1）上的单调递减. x1

第 1 页 共 1 页

考点2求函数的单调区间

1.指出下列函数的单调区间：

（1）y|x1|； （2）yx22|x|3.

2. 已知二次函数f(x)x22ax2在区间(∞，4)上是减函数，求a的取值范围.

【巩固练习】

1．函数yx26x的减区间是（ ）.

A . (,2] B. [2,) C. [3,) D. (,3]

2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.

2A. y=－x+1 B. y=xC. y= x2－4x＋5 D. y=

x（-，1）3. 已知函数f(x)在上单调递减，在[1单调递增，那么f(1)，f(－1)，f(3)之间的大小关系为. ，+）4.已知函数f(x)是定义在[1,1]上的增函数,且f(x1)f(13x),求x的取值范围.

5. 已知二次函数f(x)ax22x2在区间(∞，2)上具有单调性，求a的取值范围.

第 2 页 共 2 页

二、函数的最大（小）值：

1、定义：设函数yf(x)的定义域为A

如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为yf(x)的； 如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为yf(x)的。 2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○

2 利用图象求函数的最大（小）值； ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

考点3函数的最值

53【例】求函数y32xx2,x[,]的最大值和最小值：

22

【巩固练习】

41．函数y在区间3,6上是减函数，则y的最小值是___________.

x232. 已知函数f(x)x2x1,x[0,]的最大（小）值情况为（ ）.

233 A. 有最大值，但无最小值 B. 有最小值，有最大值1

4419 C. 有最小值1，有最大值 D. 无最大值，也无最小值

44. 已知函数yx22x3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,求m的取值范围.

3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.

(二)函数的奇偶性

★知识梳理

第 3 页 共 3 页

函数的奇偶性

1、定义： ①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。 ②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。

2、函数奇偶性的性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上： 奇奇=奇， 偶偶=偶，

奇偶=非奇非偶，

奇奇=偶，奇÷奇=偶， 偶偶=偶，偶÷偶=偶， 奇×偶=奇，奇÷偶=奇 非零常数×奇=奇， 非零常数×偶=偶。

3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○

2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3 作出相应结论： ○

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

★热点考点题型探析 考点1 判断函数的奇偶性

【例】判断下列函数的奇偶性：

1（1）f(x)x3； （2）f(x)|x1||x1|；（3）f(x)x2x3.

x

考点2函数的奇偶性综合应用

【例1】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)

【例2】已知f(x)是偶函数，x0时，f(x)2x24x，求x0时f(x)的解析式.

第 4 页 共 4 页

1，求f(x)、g(x). x1

【例3】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(,0)上是减函数。试判断函数f(x)在区间(0,)上的单调性，并给予证明。

【巩固练习】

1．函数yx(|x|1)(|x|≤3)的奇偶性是（ ）.

A．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数

2.若奇函数f(x)在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]上是（ ）. A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1 C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－1

3.若偶函数f(x)在(,1)上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

3233C．f(2)f(1)f()；D．f(2)f()f(1)

22

A．f()f(1)f(2)；B．f(1)f()f(2)；

324. 设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)0，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)为

5．已知f(x)x5ax3bx8，f(2)10，则f(2).

6.已知函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)。求函数f(x)的解析式。

课后练习

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

第 5 页 共 5 页

1．下面说法正确的选项（ ） A．函数的单调区间可以是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间 A．

上为增函数的是（ ） B．

C．

D．

3．函数A． B．是单调函数时，的取值范围（ ）

C ． D．

4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ）

A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值 5．函数，是（ ）

A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与6．函数 A．7．函数A．8．函数

在

和 B．在区间

是增函数，则

C．

B．

都是增函数，若

C．

，且

有关

那么（ ）

D．无法确定

的递增区间是（ ） D．

在实数集上是增函数，则 （ ）

11A．k B．k C． D．

229．定义在R上的偶函数 A．

C．10．已知 A．

，满足 B． D．

在实数集上是减函数，若

B．

，且在区间

上为递增，则（ ）

，则下列正确的是（ ）

.

C． D．

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．函数12．函数

在R上为奇函数，且

，则当

，

，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .

（已知）可用

的=和来表示，且

为奇函数，

13．定义在R上的函数

为偶函数，则= .

14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，

①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).

第 6 页 共 6 页

15．（12分）已知

16．（12分）判断下列函数的奇偶性 ①

； ②

，求函数得单调递减区间.

；③；

b17．（12分）已知f(x)x2017ax58，f(2)10，求f(2).

x

18．（12分））函数f(x),g(x)在区间a,b上都有意义，且在此区间上

①为增函数，；

②为减函数，.

判断f(x)g(x)在a,b的单调性，并给出证明.

19．（14分）在经济学中，函数f(x)的边际函数为Mf(x)，定义为Mf(x)f(x1)f(x)，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x台的收入函数为R(x)3000x20x2（单位元），其成本函数为C(x)500x4000（单位元），利润的等于收入与成本之差。 ①求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)；

②求出的利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)是否具有相同的最大值； ③你认为本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义。

20．（14分）已知函数在实数，使得

，且

上为减函数，并且在

，

上为增函数.

，试问，是否存

在

习题：

题型一：判断函数的奇偶性

第 7 页 共 7 页

1.以下函数：（1）y1(x0)；（2）yx41；（3）y2x；（4）ylog2x；（5）ylog2(xx21)，

x1x2(6)f(x)；其中奇函数是，偶函数是，非奇非偶函数是。

x222.已知函数f(x)=x1x1,那么f(x)是( ) A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数

题型二：奇偶性的应用

1.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),它们在4,0上的图像分别如 图（2-3）所示，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。

yy-4-20x-4-20y=g(x)xy=f(x)图(2-3)

2.已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d为常数，若f(7)7，则f(7)____ 3.下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（） A.f(x)sinxB.f(x)x1C.f(x)1x2xaaxD.f(x)ln 22x4.已知函数yf(x)在R是奇函数，且当x0时，f(x)x22x，则x0时，f(x)的 解析式为。

5.若fx是偶函数,且当x0,时,fxx1,则fx10的解集是（ ） A.x1x0 B.xx0或1x2 C.x0x2 D.x1x2 题型三：判断证明函数的单调性

1.判断并证明f(x)22在(0,)上的单调性 x12.判断f(x)2x2x1在(,0)上的单调性 题型四：函数的单调区间

1.求函数ylog0.7(x3x2)的单调区间。 2.下列函数中，在(,0)上为增函数的是（ ）

第 8 页 共 8 页

2A.yx24x8B.yax3(a0) C.y2x1 D.ylog1(x) 23.函数f(x)x1x的一个单调递增区间是（ ） A.0, B.,0 C.0,1 D.1,

4.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( ) A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=

4x D.y=x2-4x+3 5.函数y=54xx2的递增区间是( )

A.(-∞，-2) B.[-5，-2] C.[-2，1] D.[1，+∞) 题型五：单调性的应用

1.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( ) A.[3，+∞ )B.(-∞，-3] C.{-3} D.(-∞，5]

2.已知函数f(x)=2x2

-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)时是减函数，则f(1)等于( )

A.-3 B.13 C.7 D.由m而决定的常数．

3.若函数f(x)x3ax2bx7在R上单调递增，则实数a,b一定满足的条件是（ ） A．a23b0B.a23b0

C．a23b0

D．a23b1

4.函数f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恒成立，则b的最小值为。 5.已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。

第 9 页 共 9 页